2019-2020学年福建省三明市三地三校高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2019-2020学年福建省三明市三地三校高一上学期期中联考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年福建省三明市三地三校高一上学期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1．若集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用交集概念及运算即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵集合，，‎ ‎∴‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查交集的概念及运算，利用好数轴是解题的关键，属于基础题.‎ ‎2．函数恒过定点（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】令真数等于1，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 令，则，‎ 即函数恒过定点，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握对数函数的性质，属于基础题．‎ ‎3．是（ ）‎ A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ‎【答案】C ‎【解析】利用象限角的定义直接求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎ ‎∴是第三象限角，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查角所在象限的判断，考查象限角的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．‎ ‎4．有一组试验数据如图所示：‎ ‎2. 01‎ ‎3‎ ‎4. 01‎ ‎5. 1‎ ‎6. 12‎ ‎3‎ ‎8. 01‎ ‎15‎ ‎23. 8‎ ‎36. 04‎ 则最能体现这组数据关系的函数模型是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用函数的表格关系判断函数的解析式的可能性，然后验证求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由函数的表格可知，函数的解析式应该是指数函数类型与幂函数类型，选项C不正确；‎ 当x＝2.01时，y＝2x﹣1≈3；y＝x2﹣1≈3，y＝x3＞7，‎ 当x＝3时，y＝2x﹣1＝7；y＝x2﹣1=8，y＝x3＝27，‎ 排除A，D.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的解析式的判断与应用，函数的模型的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．‎ ‎5．函数的零点所在的区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】计算区间端点值,判断符号,根据零点存在性定理可得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为函数的图象连续不断,‎ 且,，，‎ 根据零点存在性定理可知,函数的在区间内有零点.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了利用零点存在性定理判断零点所在区间,属于基础题.‎ ‎6．在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.‎ ‎【详解】‎ 函数，与，‎ 答案A没有幂函数图像，‎ 答案B.中，中，不符合，‎ 答案C中，中，不符合，‎ 答案D中，中，符合，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.‎ ‎7．化简（其中为第二象限角）的结果为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用同角基本关系式即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由于为第二象限角，所以 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查同角基本关系式，考查恒等变换能力，属于基础题.‎ ‎8．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的定义域为实数集即ax2+2ax+1≠0的解集为R，即ax2+2ax+1＝0无解，讨论a是否为零，令判别式小于0即可．‎ ‎【详解】‎ 解：因为f（x）的定义域为R 又f（x）有意义需ax2+2ax+1≠0‎ 所以ax2+2ax+1＝0无解 当a＝0是方程无解，符合题意 当a≠0时△＝4a2﹣4a＜0，解得 0＜a 综上所述0≤a 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等价转化的能力、考查二次方程解的个数取决于判别式，属于基础题．‎ ‎9．素数也叫质数，部分素数可写成“”的形式（是素数），法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（ ）（参考数据：）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由2170，令2170＝k，化指数式为对数式求解．‎ ‎【详解】‎ 解：2170．‎ 令2170＝k，则lg2170＝lgk，‎ ‎∴170lg2＝lgk，‎ 又lg2≈0.3，∴51＝lgk，‎ 即k＝1051，‎ ‎∴与最接近的数为1051．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，考查运算能力，是基础题．‎ ‎10．已知函数，且对定义域上的任意有，当时，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意明确函数的单调性，利用单调性比较大小即可.‎ ‎【详解】‎ 令x＝1，y＝0可得f（1）＝f（1）f（0）‎ ‎∵f（1）＞1，∴f（0）＝1‎ 当x＜0时，f（x﹣x）＝f（0）＝f（x）f（﹣x）＝1‎ ‎﹣x＞0，f（﹣x）＞1，∴‎ ‎∴x∈R时，f（x）＞0‎ 任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝f[（x1﹣x2）+x2]﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）f（x2）﹣f（x2）＝f（x2）[f（x1﹣x2）﹣1]‎ ‎∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0‎ ‎∵x＜0时，f（x）＜1，∴f（x1﹣x2）﹣1＜0‎ ‎∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）‎ ‎∴f（x）是定义域上的增函数；‎ 又 ‎∴‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性，考查函数的性质，考查赋值法的而运用，考查函数值大小的比较，属于中档题．‎ 二、多选题 ‎11．下列说法正确的是（ ）‎ A．函数在定义域上是减函数 B．函数有且只有两个零点 C．函数的最小值是1‎ D．在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称 ‎【答案】CD ‎【解析】利用熟知函数的图象与性质逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 对于A，在定义域上不具有单调性，故命题错误；‎ 对于B，函数有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；‎ 对于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确；‎ 对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2﹣x的图象关于y轴对称，命题正确.‎ 故选：CD ‎【点睛】‎ 本题考查函数的性质，涉及到单调性、最值、对称性、零点等知识点，考查数形结合能力，属于中档题.‎ ‎12．下列说法错误的是（ ）‎ A．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度 B．若，则 C．若角的终边过点，则 D．当时，‎ ‎【答案】ABC ‎【解析】利用弧度制的定义、正切函数的符号、三角函数的定义、三角函数线等知识，逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 对于A，长度等于半径的弦所对的圆心角为弧度，命题错误；‎ 对于B，若，则，命题错误；‎ 对于C，若角的终边过点，则，命题错误；‎ 对于D，当时，，命题正确.‎ 故选：ABC ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题的真假关系，涉及角的范围的确定，任意三角函数的定义以及弧度角的计算，综合性较强，但难度不大．‎ 三、填空题 ‎13．若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】. ‎ 故答案为.‎ ‎14．已知f（x）是偶函数，当x＜0时，f（x）＝，则当x＞0时，f（x）＝__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据偶函数性质求解析式.‎ ‎【详解】‎ 当时，‎ ‎【点睛】‎ 已知函数的奇偶性求函数解析式，主要抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式.‎ ‎15．函数的定义域是_______，单调增区间是_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由对数的真数大于0，解不等式即可得到所求定义域；由t＝x2+2x﹣3在定义域上的单调性，以及对数函数的单调性，复合函数的单调性：同增异减，即可得到所求增区间．‎ ‎【详解】‎ 解：函数f（x）（x2+2x﹣3），‎ 由x2+2x﹣3＞0，解得x＞1或x＜﹣3，‎ 即定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）；‎ 由t＝x2+2x﹣3在（﹣∞，﹣3）递减，在（1，+∞）递增，‎ yt在（0，+∞）递减，‎ 可得f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣3）．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），（﹣∞，﹣3）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数大于0，考查函数的单调区间的求法，注意复合函数的单调性：同增异减，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎16．已知函数 若方程恰有三个实数根，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令f（t）＝2，解出t，则f（x）＝t，讨论k的符号，根据f（x）的函数图象得出t的范围即可．‎ ‎【详解】‎ 解：令f（t）＝2得t＝﹣1或t（k≠0）．‎ ‎∵f（f（x））﹣2＝0，∴f（f（x））＝2，‎ ‎∴f（x）＝﹣1或f（x）（k≠0）．‎ ‎（1）当k＝0时，做出f（x）的函数图象如图所示：‎ 由图象可知f（x）＝﹣1无解，即f（f（x））﹣2＝0无解，不符合题意；‎ ‎（2）当k＞0时，做出f（x）的函数图象如图所示：‎ 由图象可知f（x）＝﹣1无解，f（x）无解，即f（f（x））﹣2＝0无解，不符合题意；‎ ‎（3）当k＜0时，做出f（x）的函数图象如图所示：‎ 由图象可知f（x）＝﹣1有1解，‎ ‎∵f（f（x））﹣2＝0有3解，∴f（x）有2解，‎ ‎∴1，解得﹣1＜k．‎ 综上，k的取值范围是（﹣1，]．‎ 故答案为：（﹣1，]‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点个数与函数图象的关系，数形结合思想，属于中档题．‎ 四、解答题 ‎17．求下列各式的值:‎ ‎（1）;‎ ‎（2）‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）利用诱导公式化简求值即可；‎ ‎（2）利用对数与指数的运算法则计算即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎（2）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数求值，指数式与对数式的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18．已知集合，集合. ‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）解对数不等式可得集合A，进而求补集即可；‎ ‎（2）由布列不等式组，解之即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，‎ 所以，‎ 所以；‎ ‎（2）由知 解得，即实数的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查解对数不等式，考查补集运算，考查集合之间的包含关系，属于简单题目.‎ ‎19．已知幂函数的图象过点. ‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设函数在上是单调函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）根据幂函数的图象过点（2，4），列方程求出α的值，写出f（x ‎）的解析式；‎ ‎（2）写出函数h（x）的解析式，根据二次函数的对称轴与单调性求出k的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设，‎ 因为的图象过点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴； ‎ ‎（2）函数，‎ 对称轴为； ‎ 当在上为增函数时， ‎ 当在上为减函数时，，解得 ‎ 所以的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．‎ ‎20．某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入万元，甲、乙两种商品分别可获得万元的利润，利润曲线，，如图所示.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？‎ ‎【答案】（1），；（2）当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为万元.‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）由图可知，点在曲线 上，将两点的坐标代入曲线的方程，列方程组可求得.同理在曲线上，将其代入曲线的方程可求得.（2）设投资甲商品万元，乙商品万元，则利润表达式为，利用换元法和配方法，可求得当投资甲商品万元，乙商品万元时，所获得的利润最大值为万元.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题知，在曲线上，‎ 则，‎ 解得，即.‎ 又在曲线上，且，则，‎ 则，所以.‎ ‎（2）设甲投资万元，则乙投资为万元，‎ 投资获得的利润为万元，则 ‎，‎ 令，‎ 则.‎ 当，即（万元）时，利润最大为万元，此时（万元），‎ 答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为万元.‎ ‎21．已知函数与函数（且）互为反函数，且. ‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若对于任意都有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）根据可得值，结合反函数得到函数的解析式；‎ ‎（2）由题意可得在上成立等价于在上成立，进而变量分离求最值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，，所以，‎ 所以，，‎ 又函数与函数互为反函数，‎ ‎∴. ‎ ‎（2）即 ‎，‎ 令，因为，所以，‎ 所以在上成立等价于在上成立，‎ 即在上成立， ‎ 因为在单调递减，在单调递增 所以当时，，‎ 所以，解得，‎ 所以实数的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查与对数函数相关的不等式恒成立，考查指对函数的互化，考查换元法、参变分离，属于中档题.‎ ‎22．已知函数. ‎ ‎（1）求的零点；‎ ‎（2）设，判断函数的奇偶性，并证明；‎ ‎（3）若，求的值.‎ ‎【答案】(1) 与 (2) 偶函数，证明见解析；(3) ‎ ‎【解析】（1）利用换元法解指数型方程即可得到的零点；‎ ‎（2）利用偶函数定义证明即可；‎ ‎（3）利用函数的对称性可得结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）令，得，即 令，则，即，‎ 解得或， ‎ 所以或，‎ 所以函数的零点为与 ‎（2），‎ 为偶函数，证明如下 函数的定义域为，关于原点对称， ‎ 且对于任意，都有，‎ 所以函数为偶函数.‎ ‎（3）因为，‎ ‎，‎ 所以，即函数的图像关于直线对称， ‎ 所以，若，则.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数型函数的图像与性质，考查函数的对称性与零点问题，考查转化思想，属于中档题.‎