【数学】2020届一轮复习人教A版综合法和分析法学案

【数学】2020届一轮复习人教A版综合法和分析法学案

‎2.2　直接证明与间接证明 ‎2.2.1　综合法和分析法 ‎　1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.‎ ‎2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.‎ 综合法和分析法 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法 框图 表示 →→‎ →…→ ‎（P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论）‎ →‎ →‎ →…‎ ‎→eq x(得到一个明显 ‎（Q表示要证明的结论）‎ 特点 顺推证法或由因导果法 逆推证法或执果索因法 ‎1.综合法的特点 综合法的特点是从“已知”看“未知”，逐步推理，实际上是寻找使结论成立的必要条件.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎2.综合法的书写格式 从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式，它的常见书面表达是“因为，所以”或“⇒”.‎ ‎3.分析法的特点 ‎（1）分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的过程，实际上是寻找使结论成立的充分条件.‎ ‎（2）分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等.‎ ‎4.用分析法书写证明过程时的格式 ‎“要证……，‎ 只需证……，‎ 只需证……，‎ ‎……‎ 由于……显然成立（已知，已证…），‎ 所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略.‎ ‎ 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）‎ ‎（1）综合法是执果索因的逆推证法.（　　）‎ ‎（2）分析法就是从结论推向已知.（　　）‎ ‎（3）分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆.（　　）‎ 答案：（1）×　（2）×　（3）√‎ ‎ 下面对命题“函数f（x）＝x＋是奇函数”的证明不是用综合法的是（　　）‎ A.∀x∈R且x≠0有f（－x）＝（－x）＋＝－＝－f（x），所以f（x）是奇函数 B.∀x∈R且x≠0有f（x）＋f（－x）＝x＋＋（－x）＋＝0，所以f（x）＝－f（－x），所以f（x）是奇函数 C.∀x∈R且x≠0，因为f（x）≠0，所以＝＝－1，所以f（－x）＝－f（x），所以f（x）是奇函数 D.取x＝－1，则f（－1）＝－1＋＝－2，又f（1）＝1＋＝2，则f（－1）＝－f（1），所以f（x）是奇函数 解析：选D.A，B，C选项中的证明过程都是“由因导果”，因此是综合法，而选项D是特值法验证，并不能证明命题.‎ ‎ 用分析法证明：要证①A>B，只需证②C6abc.‎ ‎【证明】　因为a，b，c是正数，‎ 所以b2＋c2≥2bc，‎ 所以a（b2＋c2）≥2abc.①‎ 同理，b（c2＋a2）≥2abc，②‎ c（a2＋b2）≥2abc.③‎ 因为a，b，c不全相等，‎ 所以b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥2ab三式中不能同时取到“＝”.‎ 所以①②③式相加得 a（b2＋c2）＋b（c2＋a2）＋c（a2＋b2）>6abc.‎ 综合法证明问题的步骤 ‎　 ‎ ‎　1.如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.‎ ‎（1）求证：DC⊥平面PAC；‎ ‎（2）求证：平面PAB⊥平面PAC.‎ 证明：（1）因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.‎ 又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.‎ ‎（2）因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.‎ 因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.‎ 又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.‎ 又AB⊂平面PAB，‎ 所以平面PAB⊥平面PAC.‎ ‎2.求证：sin（2α＋β）＝sin β＋2sin αcos（α＋β）.‎ 证明：因为sin（2α＋β）－2sin αcos（α＋β）‎ ‎＝sin[（α＋β）＋α]－2sin αcos（α＋β）‎ ‎＝sin（α＋β）cos α＋cos（α＋β）sin α－2sin αcos（α＋β）‎ ‎＝sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α ‎＝sin[（α＋β）－α]＝sin β.‎ 所以原命题成立.‎ 探究点2　分析法的应用 ‎　已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B为锐角.‎ ‎【证明】　要证B为锐角，根据余弦定理，‎ 只需证明cos B＝＞0，‎ 即证a2＋c2－b2＞0.‎ 由于a2＋c2－b2≥2ac－b2，‎ 要证a2＋c2－b2＞0，‎ 只需证2ac－b2＞0.‎ 因为a，b，c的倒数成等差数列，‎ 所以＋＝，‎ 即2ac＝b（a＋c）.‎ 要证2ac－b2＞0，‎ 只需证b（a＋c）－b2＞0，‎ 即b（a＋c－b）＞0，‎ 上述不等式显然成立，所以B为锐角.‎ ‎　 分析法证明数学问题的方法 ‎　1.当a＋b>0时，求证：≥（a＋b）.‎ 证明：要证 ≥（a＋b），‎ 只需证（）2≥，‎ 即证a2＋b2≥（a2＋b2＋2ab），‎ 即证a2＋b2≥2ab.‎ 因为a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，‎ 所以≥（a＋b）成立.‎ ‎2.已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤ .‎ 证明：a⊥b⇔a·b＝0，要证≤ ，‎ 只需证|a|＋|b|≤ |a＋b|，‎ 只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2（a2＋2a·b＋b2），‎ 只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，‎ 只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即证（|a|－|b|）2≥0，‎ 上式显然成立，故原不等式得证.‎ 探究点3　分析—综合法的应用 ‎　△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：（a＋b）－1＋（b＋c）－1＝3（a＋b＋c）－1.‎ ‎【证明】　法一：要证（a＋b）－1＋（b＋c）－1‎ ‎＝3（a＋b＋c）－1，‎ 即证＋＝，‎ 即证＋＝3，即证＋＝1.‎ 只需证c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b＋c），‎ 只需证c2＋a2＝ac＋b2.‎ 因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.‎ 由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos 60°，‎ 即b2＝c2＋a2－ac，c2＋a2＝ac＋b2，‎ 此式即分析中欲证之等式，‎ 所以原式得证.‎ 法二：因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，‎ 所以B＝60°.‎ 由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos 60°，‎ 得c2＋a2＝ac＋b2，两边同时加ab＋bc，得 c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b＋c），‎ 两边同时除以（a＋b）（b＋c），‎ 得＋＝1，‎ 所以＋＝3，‎ 所以＋＝，‎ 所以（a＋b）－1＋（b＋c）－1＝3（a＋b＋c）－1.‎ 分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推，分析法容易探路，综合法条理清晰，易于表达，但思路不太好想，因此在选择证明方法时，一定要有“综合性选取”意识，明确数学证明方法不是孤立的，应当善于将两种不同的证明方法结合在一起运用.　 ‎ ‎　1.设a，b∈（0，＋∞），且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.‎ 证明：法一：（分析法）‎ 要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，‎ 即需证（a＋b）（a2－ab＋b2）＞ab（a＋b）成立.‎ 又因a＋b＞0，‎ 故只需证a2－ab＋b2＞ab成立，‎ 即需证a2－2ab＋b2＞0成立，‎ 即需证（a－b）2＞0成立.‎ 而依题设a≠b，则（a－b）2＞0显然成立.‎ 由此不等式得证.‎ 法二：（综合法）‎ a≠b⇔a－b≠0⇔（a－b）2＞0⇔a2－2ab＋b2＞0⇔a2－ab＋b2＞ab.‎ 因为a＞0，b＞0，‎ 所以a＋b＞0，‎ 所以（a＋b）（a2－ab＋b2）＞ab（a＋b）.‎ 所以a3＋b3＞a2b＋ab2.‎ ‎2.在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：（a＋1）2≥（b＋1）（c＋1）.‎ 证明：由已知得 所以x＝，y＝，‎ 即x＋y＝＋，‎ 从而2a＝＋.‎ 要证（a＋1）2≥（b＋1）（c＋1），‎ 只需证a＋1≥成立.‎ 只需证a＋1≥即可.‎ 也就是证2a≥b＋c.而2a＝＋，‎ 则只需证＋≥b＋c成立即可，‎ 即证b3＋c3＝（b＋c）（b2－bc＋c2）≥（b＋c）bc，‎ 即证b2＋c2－bc≥bc，‎ 即证（b－c）2≥0成立，‎ 上式显然成立，‎ 所以（a＋1）2≥（b＋1）（c＋1）.‎ ‎——————————————————————————————————————‎ ‎1.如图所示是解决数学问题的思维过程的流程图，则在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方式匹配正确的是（　　）‎ A.①综合法，②分析法 B.①分析法，②综合法 C.①综合法，②反证法 D.①分析法，②反证法 解析：选A.由已知到可知，进而得到结论的应为综合法；由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线对应的思维方式分别为综合法、分析法.‎ ‎2.命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明过程为：“cos4θ－sin4θ＝（cos2θ－sin2θ）（cos2θ＋sin2θ）＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”，其应用了（　　）‎ A.分析法　　　　　　　　　　 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.类比法 解析：选B.从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路.‎ ‎3.设a，b，c成等比数列，而x，y分别是a，b和b，c的等差中项，求证：＋＝2.‎ 证明：由题知c＝，x＝，y＝，‎ 则＋＝＋＝＋＝＋ ‎＝＋＝2，即＋＝2.‎ ‎　　　　　　　‎ 知识结构 深化拓展 对于一些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，还是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难.为了保证探索方向准确及过程快捷，人们常常把分析法与综合法结合起来使用，形成了分析—综合法.‎ ‎（1）思维模式 ‎（2）框图表示 用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示所要证明的结论，则分析—综合法可用框图表示.‎ ‎[A　基础达标]‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.分析法是从要证的结论出发，逐步寻求结论成立的（　　）‎ A.充分条件　　　　　　　　 B.必要条件 C.充要条件 D.等价条件 解析：选A.由分析法的要求知，应逐步寻求结论成立的充分条件.‎ ‎2.要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明（　　）‎ A.2ab－1－a2b2≤0‎ B.a2＋b2－1－≤0‎ C.－1－a2b2≤0‎ D.（a2－1）（b2－1）≥0‎ 解析：选D.要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，‎ 只需证：a2b2－a2－b2＋1≥0，‎ 只需证：（a2－1）（b2－1）≥0，故选D.‎ ‎3.若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是（　　）‎ A.a2＋b2＋c2≥4 B.（a＋b＋c）2≥3‎ C.a2＋b2＋c2≥3 D.（a＋b＋c）2≥4‎ 解析：选B.因为a，b，c∈R，所以a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，当且仅当a＝b＝c时，等号同时成立，‎ 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，‎ 所以（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋2≥3，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.‎ ‎4.若P＝＋，Q＝＋（a≥0），则P，Q的大小关系是（　　）‎ A.P>Q B.P＝Q C.P4，所以Pa2＋ab＋b2得（a＋b）2>a＋b，又因为a＋b>0，所以a＋b>1，‎ 要证a＋b<，即证3（a＋b）<4，‎ 因为a＋b>0，所以只需证明3（a＋b）2<4（a＋b），‎ 又因为a＋b＝a2＋ab＋b2，‎ 即证3（a＋b）2<4（a2＋ab＋b2），‎ 也就是证明（a－b）2>0.‎ 因为a，b是不等正数，‎ 故（a－b）2>0成立.故a＋b<成立.‎ 综上，得10；②|α＋β|>5；③|α|>2，|β|>2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是　　　　（用序号及“⇒”表示）.‎ 解析：因为αβ>0，|α|>2，|β|>2，所以|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25，所以|α＋β|>5.‎ 答案：①③⇒②‎ ‎13.如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.‎ ‎（1）求证：BE＝DE；‎ ‎（2）若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.‎ 证明：（1）取BD的中点O，连接CO，EO，则由CB＝CD知，CO⊥BD.‎ 又EC⊥BD，EC∩CO＝C，‎ 所以BD⊥平面OCE，‎ 所以BD⊥EO，‎ 又O为BD的中点，所以BE＝DE.‎ ‎（2）取AB的中点N，连接MN，DN，DM.‎ 因为M，N分别是AE，AB的中点，所以MN∥BE.‎ 又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，‎ 所以MN∥平面BEC.‎ 因为△ABD为正三角形，所以DN⊥AB.‎ 由∠BCD＝120°，CB＝CD知，∠CBD＝30°，‎ 所以∠ABC＝60°＋30°＝90°，‎ 即BC⊥AB，所以DN∥BC.‎ 又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.‎ 又MN∩DN＝N，所以平面MND∥平面BEC，‎ 又DM⊂平面MND，故DM∥平面BEC.‎ ‎14.（选做题）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且（5n－8）‎ Sn＋1－（5n＋2）Sn＝An＋B，n∈N*，其中A、B为常数.‎ ‎（1）求A与B的值；‎ ‎（2）证明：数列{an}为等差数列.‎ 解：（1）由已知得S1＝a1＝1，S2＝a1＋a2＝7，S3＝a1＋a2＋a3＝18.‎ 由（5n－8）Sn＋1－（5n＋2）Sn＝An＋B，得 即 解得 ‎（2）证明：由第一问得 ‎（5n－8）Sn＋1－（5n＋2）Sn＝－20n－8.①‎ 所以（5n－3）Sn＋2－（5n＋7）Sn＋1＝－20n－28.②‎ ‎②－①，得（5n－3）Sn＋2－（10n－1）Sn＋1＋（5n＋2）Sn ‎＝－20.③‎ 所以（5n＋2）Sn＋3－（10n＋9）Sn＋2＋（5n＋7）Sn＋1＝－20.④‎ ‎④－③，得（5n＋2）Sn＋3－（15n＋6）Sn＋2＋‎ ‎（15n＋6）Sn＋1－（5n＋2）Sn＝0.‎ 因为an＋1＝Sn＋1－Sn，‎ 所以（5n＋2）an＋3－（10n＋4）an＋2＋（5n＋2）an＋1＝0.‎ 因为5n＋2≠0，‎ 所以an＋3－2an＋2＋an＋1＝0.‎ 所以an＋3－an＋2＝an＋2－an＋1，n∈N*.‎ 又a3－a2＝a2－a1＝5，‎ 所以数列{an}为等差数列.‎