高考卷 06 普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ

高考卷 06 普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ

A' B' A B   2006 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 II 卷） 数学（文史类） 本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第Ⅱ卷３至 ４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ｉ卷 注意事项： １．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好 条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 ２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 ３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 参考公式 如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   24S R 如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么其中 R 表示球的半径 ( . ) ( ). ( )P A B P A P B 球的体积公式 34 3V R 如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么其中 R 表示球的半径 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率是 ( ) (1 )k k n k n nP k C P P   一．选择题 （1）已知向量 a  ＝（4，2），向量b  ＝（ x ，3），且 a  //b  ,则 x ＝( ) （A）9 (B)6 (C)5 (D)3 （2）已知集合  2{ | 3}, | log 1M x x N x x    ，则 M N  ( ) （A） （B） | 0 3x x  （C） |1 3x x  （D） | 2 3x x  （3）函数 sin 2 cos2y x x 的最小正周期是( ) （A） 2 （B） 4 （C） 4  （D） 2  （4）如果函数 ( )y f x 的图像与函数 3 2y x   的图像关于坐标原点对称，则 ( )y f x 的表 达式为( ) （A） 2 3y x  （B） 2 3y x  （C） 2 3y x   （D） 2 3y x   （5）已知 ABC 的顶点 B、C 在椭圆 2 2 13 x y  上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另 外一个焦点在 BC 边上，则 ABC 的周长是( ) （A） 2 3 （B）6 （C） 4 3 （D）12 （6）已知等差数列 na 中， 2 47, 15a a  ，则前 10 项的和 10S ＝( ) （A）100 (B)210 (C)380 (D)400 （7）如图，平面  平面  ， , ,A B AB   与两平面 、  所成的 角分别为 4  和 6  。过 A、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 'A 、 ',B 若 AB=12,则 ' 'A B  ( ) （A）4 （B）6 （C）8 （D）9 （8）已知函数 ( ) ln 1( 0)f x x x   ，则 ( )f x 的反函数为( ) （A） 1( )xy e x R  （B） 1( )xy e x R  （C） 1( 1)xy e x  （D） 1( 1)xy e x  （9）已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的一条渐近线方程为 4 3y x ，则双曲线的离心率为( ) （A） 5 3 （B） 4 3 （C） 5 4 （D） 3 2 （10）若 (sin ) 3 cos2 ,f x x  则 (cos )f x  ( ) （A）3 cos2x （B）3 sin 2x （C）3 cos2x （D）3 sin 2x （11）过点（－1，0）作抛物线 2 1y x x   的切线，则其中一条切线为( ) （A） 2 2 0x y   （B）3 3 0x y   （C） 1 0x y   （D） 1 0x y   （12）5 名志愿者分到 3 所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( ) （A）150 种 (B)180 种 (C)200 种 (D)280 种 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。 （13）在 4 101( )x x  的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。（用数字作答） （14）圆 1o 是以 R 为半径的球 O 的小圆，若圆 1o 的面积 1S 和球 O 的表面积 S 的比为 1 : 2:9S S  ，则圆心 1o 到球心O 的距离与球半径的比 1 :OO R  ＿＿＿＿＿。 （15）过点 (1, 2) 的直线l 将圆 2 2( 2) 4x y   分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直 线l 的斜率 ____.k  （16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人，并根据所得数据画了样本的频 率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在[2500,3000) （元）月收入段应抽出＿ ＿＿＿＿人。 三．解答题：本大题共６小题，共７４ 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 0.0005 3000 3500 0.0003 0.0004 2000 1500 0.0002 0.0001 4000 2500 1000 月收入（元） 频率/组距 B A C C 1 B 1 A 1 D E （17）（本小题满分１２分） 在 2 545 , 10,cos 5ABC B AC C     中， ,求 （1） ?BC  （2）若点 D AB是 的中点，求中线CD的长度。 （18）（本小题满分１２分） 设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ， 4 81, 17, ?nS S a  求通项公式 （19）（本小题满分１２分） 某批产品成箱包装，每箱 5 件，一用户在购进该批产品前先取出 3 箱，再从每箱中任意出取 2 件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、2 件二等品，其余为一等品。 （I）求取 6 件产品中有 1 件产品是二等品的概率。 （II）若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品 被用户拒绝的概率。 （20）（本小题１２分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， ,AB BC D 、E 分别为 1BB 、 1AC 的中点。 （I）证明：ED 为异面直线 1BB 与 1AC 的公垂线； （II）设 1 2 ,AA AC AB  求二面角 1 1A AD C  的大小 (21）（本小题满分为１４分） 设 a R ，函数 2( ) 2 2 .f x ax x a   若 ( ) 0f x  的解集为 A，  |1 3 ,B x x A B     ， 求实数 a 的取值范围。 （22）（本小题满分１２分） 已知抛物线 2 4x y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且 ( 0).AF FB    过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M。 （I）证明 FM AB    为定值； （II）设 ABM 的面积为 S，写出 ( )S f  的表达式，并求 S 的最小值。 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 II 卷） 数学（文史类）（编辑：宁冈中学张建华） 本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第Ⅱ卷３至 ４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ｉ卷 注意事项： １．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好 条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 ２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 ３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 参考公式 如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   24S R 如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么其中 R 表示球的半径 ( . ) ( ). ( )P A B P A P B 球的体积公式 34 3V R 如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么其中 R 表示球的半径 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率是 ( ) (1 )k k n k n nP k C P P   一．选择题 （1）已知向量 a  ＝（4，2），向量b  ＝（ x ，3），且 a  //b  ,则 x ＝( B ) （A）9 (B)6 (C)5 (D)3 解： a  //b  4×3－2x＝0，解得 x＝6，选 B （2）已知集合  2{ | 3}, | log 1M x x N x x    ，则 M N  ( D ) （A） （B） | 0 3x x  （C） |1 3x x  （D） | 2 3x x  解：    2log 1 2N x x x x    ,用数轴表示可得答案 D （3）函数 sin 2 cos2y x x 的最小正周期是(D ) （A） 2 （B） 4 （C） 4  （D） 2  解析: 1sin 2 cos2 sin 42y x x x  所以最小正周期为 2 4 2T    ,故选 D （4）如果函数 ( )y f x 的图像与函数 3 2y x   的图像关于坐标原点对称，则 ( )y f x 的表 达式为( D ) （A） 2 3y x  （B） 2 3y x  （C） 2 3y x   （D） 2 3y x   解：以－y，－x 代替函数 3 2y x   中的 x， y，得 ( )y f x 的表达式为 2 3y x   ，选 D A' B' A B   （5）已知 ABC 的顶点 B、C 在椭圆 2 2 13 x y  上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另 外一个焦点在 BC 边上，则 ABC 的周长是( C ) （A） 2 3 （B）6 （C） 4 3 （D）12 解：(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a,可得 ABC 的周长 为 4a= 4 3 ,所以选 C （6）已知等差数列 na 中， 2 47, 15a a  ，则前 10 项的和 10S ＝(B ) （A）100 (B)210 (C)380 (D)400 解：d＝ 4 2 15 7 44 2 2 a a   ， 1a ＝3，所以 10S ＝210，选 B （7）如图，平面  平面  ， , ,A B AB   与两平面 、  所成的 角分别为 4  和 6  。过 A、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 'A 、 ',B 若 AB=12,则 ' 'A B  ( A ) （A）4 （B）6 （C）8 （D）9 解：连接 AB A B 和 ,设 AB=a,可得 AB 与平面 所成的角为 4BAB   , 在 2 2Rt BAB AB a   中有 ,同理可得 AB 与平面  所成的角为 6ABA   ,所以 1 2A A a  , 因此在 2 22 1 1( ) ( )2 2 2Rt AA B A B a a a       中 ,所以 1: ' ' : 2:12AB A B a a  ,故选 A （8）已知函数 ( ) ln 1( 0)f x x x   ，则 ( )f x 的反函数为(B ) （A） 1( )xy e x R  （B） 1( )xy e x R  （C） 1( 1)xy e x  （D） 1( 1)xy e x  解： 1ln 1( 0) ln 1 ( )yy x x x y x e y R         所以反函数为 1( )xy e x R  故选 B （9）已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的一条渐近线方程为 4 3y x ，则双曲线的离心率为( A ) （A） 5 3 （B） 4 3 （C） 5 4 （D） 3 2 解：双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得 2 24 3 4 5,3 3 3 b cea a    可得 ,故选 A （10）若 (sin ) 3 cos2 ,f x x  则 (cos )f x  (C ) （A）3 cos2x （B）3 sin 2x （C）3 cos2x （D）3 sin 2x 解： 2 2(sin ) 3 cos2 3 (1 2sin ) 2sin 2f x x x x       所以 2( ) 2 2f x x  ,因此 2 2(cos ) 2cos 2 (2cos 1) 3 3 cos2f x x x x       故选 C （11）过点（－1，0）作抛物线 2 1y x x   的切线，则其中一条切线为( D ) （A） 2 2 0x y   （B）3 3 0x y   （C） 1 0x y   （D） 1 0x y   解： 2 1y x   ，设切点坐标为 0 0( , )x y ，则切线的斜率为 2 0 1x  ，且 2 0 0 0 1y x x   于是切线方程为 2 0 0 0 01 (2 1)( )y x x x x x      ，因为点（－1，0）在切线上，可解得 0x ＝0 或－4，代入可验正 D 正确。选 D （12）5 名志愿者分到 3 所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( A ) （A）150 种 (B)180 种 (C)200 种 (D)280 种 解：人数分配上有两种方式即 1,2,2 与 1,1,3 若是 1,2,2，则有 3 1 1 35 2 1 32 2 C C C AA  ＝60 种，若是 1,1,3，则有 1 2 2 35 4 2 32 2 C C C AA  ＝90 种 所以共有 150 种，选 A 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。 （13）在 4 101( )x x  的展开式中常数项是 45。（用数字作答） 解： 4 10 40 5 1 10 10 1( ) ( )r r r r r rT C x C xx      要求常数项,即 40-5r=0,可得 r=8 代入通项公式可得 8 2 1 10 10 45rT C C    （14）圆 1O 是以 R 为半径的球 O 的小圆，若圆 1O 的面积 1S 和球 O 的表面积 S 的比为 1 : 2:9S S  ，则圆心 1O 到球心O 的距离与球半径的比 1 :OO R  1  3。 解：设圆 1O 的半径为 r，则 1S ＝ 2r ， S ＝ 24 R ，由 1 : 2:9S S  得 r  R＝ 2 2  3 又 2 2 2 1r OO R  ，可得 1 :OO R  1  3 （15）过点 (1, 2) 的直线l 将圆 2 2( 2) 4x y   分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直 线l 的斜率 ____.k  解：(数形结合)由图形可知点 A (1, 2) 在圆 2 2( 2) 4x y   的内部, 圆心为 O(2,0)要使得劣弧 所对的圆心角最小,只能是直线l OA ,所以 1 1 2 22l OA k k       （16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人，并根据所得数据画了样本的频 率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在[2500,3000) （元）月收入段应抽出＿ ＿＿＿＿人。 解：由直方图可得[2500,3000) （元）月收入段共有10000 0.0005 500 2500   人 按分层抽样应抽出 1002500 2510000   人 B A C C 1 B 1 A 1 D E 三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分１２分） 在 2 545 , 10,cos 5ABC B AC C     中， ,求 （1） ?BC  （2）若点 D AB是 的中点，求中线CD的长度。 （18）（本小题满分１２分） 设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ， 4 81, 17, ?nS S a  求通项公式 （19）（本小题满分１２分） 某批产品成箱包装，每箱 5 件，一用户在购进该批产品前先取出 3 箱，再从每箱中任意出取 2 件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、2 件二等品，其余为一等品。 （I）求取 6 件产品中有 1 件产品是二等品的概率。 （II）若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品 被用户拒绝的概率。 （20）（本小题１２分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， ,AB BC D 、E 分别为 1BB 、 1AC 的中点。 （I）证明：ED 为异面直线 1BB 与 1AC 的公垂线； （II）设 1 2 ,AA AC AB  求二面角 1 1A AD C  的大小 0.0005 3000 3500 0.0003 0.0004 2000 1500 0.0002 0.0001 4000 2500 1000 月收入（元） 频率/组距 (21）（本小题满分为１４分） 设 a R ，函数 2( ) 2 2 .f x ax x a   若 ( ) 0f x  的解集为 A，  |1 3 ,B x x A B     ， 求实数 a 的取值范围。 （22）（本小题满分１２分） 已知抛物线 2 4x y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且 ( 0).AF FB    过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M。 （I）证明 FM AB    为定值； （II）设 ABM 的面积为 S，写出 ( )S f  的表达式，并求 S 的最小值。 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 II 卷） 数学（文史类）参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D D D C B B B A C D A 二、填空题 （13）45；（14） 1 3 ；（15） 2 2 ；（16）25 三、解答题 17、解：（1）由 2 5 5cos sin5 5C C 得 2 3 10sin sin(180 45 ) (cos sin )2 10A C C C       由正弦定理知 10 3 10sin 3 2sin 102 2 ACBC AB      （2） 10 5sin 2sin 52 2 ACAB CB      1 12BD AB  由余弦定理知 2 2 2 cos 21 18 2 1 3 2 132 CD BD BC BD BC B           （18）解：设{ }na 的公比为 q，由 4 81, 17 1S S q  知 ，所以得 4 1( 1) 11 a q q   ……………………………………① 8 1( 1) 171 a q q   ……………………………………② 由①、②式得 整理得 8 4 1 171 q q   解得 4 16q  所以 q＝2 或 q＝－2 将 q＝2 代入①式得 1 1 15a  ， 所以 12 15 n a   将 q＝－2 代入①式得 1 1 5a   ， 所以 1( 1) 2 5 n n na   19 解：设 iA 表示事件“第二箱中取出 i 件二等品”，i＝0，1； iB 表示事件“第三箱中取出 i 件二等品”，i＝0，1，2； （1）依题意所求的概率为 1 0 0 1( ) ( )iP P A B P A B    1 0 0 1( ) ( ) ( ) ( )P A P B P A P B  2 1 11 2 3 3 24 4 2 2 2 2 5 5 5 5 C C CC C C C C C     12 25  (2)解法一：所求的概率为 2 0 0 11 ( )P P A B P    22 34 2 2 5 5 12 71 25 50 CC C C      解法二：所求的概率为 1 1 0 2 1 22 ( ) ( ) ( )P P A B P A B P A B      1 1 0 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P A P B P A P B   1 11 2 2 1 2 3 24 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5 17 50 C CC C C C C C C C C C C        20．解法一： （Ⅰ）设 O 为 AC 中点，连接 EO，BO，则 EO∥＝1 2C1C，又 C1C∥＝B1B，所以 EO∥＝DB，EOBD 为平行四边形，ED∥OB． ……2 分 ∵AB＝BC，∴BO⊥AC， 又平面 ABC⊥平面 ACC1A1，BO面 ABC，故 BO⊥平面 ACC1A1， ∴ED⊥平面 ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1， ∴ED⊥BB1，ED 为异面直线 AC1 与 BB1 的公垂线．……6 分 （Ⅱ）连接 A1E，由 AA1＝AC＝ 2AB 可知，A1ACC1 为正方形， ∴A1E⊥AC1，又由 ED⊥平面 ACC1A1 和 ED平面 ADC1 知平面 ADC1⊥平面 A1ACC1，∴A1E⊥平面 ADC1．作 EF⊥AD，垂足为 F，连接 A1F，则 A1F⊥AD，∠ A1FE 为二面角 A1－AD－C1 的平面角． 不妨设 AA1＝2，则 AC＝2，AB＝ 2ED＝OB＝1，EF＝AE×ED AD ＝ 2 3 ， A BC D E A1 B1C1 O F tan∠A1FE＝ 3，∴∠A1FE＝60°． 所以二面角 A1－AD－C1 为 60°． ………12 分 解法二： （Ⅰ）如图，建立直角坐标系 O－xyz，其中原点 O 为 AC 的中点． 设 A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)． 则 C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)． ……3 分 ED→＝（0，b，0），BB1 →＝(0，0，2c)． ED→·BB1 →＝0，∴ED⊥BB1． 又AC1 →＝(－2a，0，2c)， ED→·AC1 →＝0，∴ED⊥AC1， ……6 分 所以 ED 是异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线． （Ⅱ）不妨设 A(1，0，0)，则 B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)， BC→＝(－1，－1，0)， AB→＝(－1，1，0)，AA1 →＝(0，0，2)， BC→· AB→＝0， BC→·AA1 →＝0，即 BC⊥AB，BC⊥AA1，又 AB∩AA1＝A， ∴BC⊥平面 A1AD． 又 E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)， EC→＝(－1，0，－1)， AE→＝(－1，0，1)，ED→＝(0，1，0)， EC→· AE→＝0， EC→·ED→＝0，即 EC⊥AE，EC⊥ED，又 AE∩ED＝E， ∴ EC⊥面 C1AD． ……10 分 cos＜ EC→， BC→＞＝ EC→· BC→ | EC→|·| BC→| ＝1 2 ，即得 EC→和 BC→的夹角为 60°． 所以二面角 A1－AD－C1 为 60°． ………12 分 （21）解：由 f（x）为二次函数知 0a  令 f（x）＝0 解得其两根为 1 22 2 1 1 1 12 , 2x xa a a a       由此可知 1 20, 0x x  （i）当 0a  时， 1 2{ | } { | }A x x x x x x    A B   的充要条件是 2 3x  ，即 2 1 12 3a a    解得 6 7a  （ii）当 0a  时， 1 2{ | }A x x x x   A B   的充要条件是 2 1x  ，即 2 1 12 1a a    解得 2a   综上，使 A B   成立的 a 的取值范围为 6( , 2) ( , )7     22．解：(Ⅰ)由已知条件，得 F(0，1)，λ＞0． 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．由 AF→＝λ FB→， 即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)， A BC D E A1 B1C1 O z x y －x1＝λx2 ① 1－y1＝λ(y2－1) ② 将①式两边平方并把 y1＝1 4x12，y2＝1 4x22 代入得 y1＝λ2y2 ③ 解②、③式得 y1＝λ，y2＝1 λ ，且有 x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4， 抛物线方程为 y＝1 4x2，求导得 y′＝1 2x． 所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 y＝1 2x1(x－x1)＋y1，y＝1 2x2(x－x2)＋y2， 即 y＝1 2x1x－1 4x12，y＝1 2x2x－1 4x22． 解出两条切线的交点 M 的坐标为(x1＋x2 2 ，x1x2 4 )＝(x1＋x2 2 ，－1)． ……4 分 所以FM→· AB→＝(x1＋x2 2 ，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝1 2(x22－x12)－2(1 4x22－1 4x12)＝0 所以FM→· AB→为定值，其值为 0． ……7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM⊥AB，因而 S＝1 2|AB||FM|． |FM|＝ (x1＋x2 2 )2＋(－2)2＝ 1 4x1 2＋1 4x2 2＋1 2x1x2＋4 ＝ y1＋y2＋1 2 ×(－4)＋4 ＝ λ＋1 λ ＋2＝ λ＋ 1 λ ． 因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y＝－1 的距离，所以 |AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋1 λ ＋2＝( λ＋ 1 λ )2． 于是 S＝1 2|AB||FM|＝( λ＋ 1 λ )3， 由 λ＋ 1 λ ≥2 知 S≥4，且当λ＝1 时，S 取得最小值 4．