2019-2020学年江西省赣州市高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年江西省赣州市高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江西省赣州市高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据补集和并集的定义可得出集合.‎ ‎【详解】‎ 全集，集合，，则，‎ 因此，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查补集与并集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据偶次根式被开方数非负、对数真数大于零列出关于的不等式组，解出即可得出函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，解得，‎ 因此，函数的定义域为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数定义域的求解，解题时要熟悉一些求函数定义域的基本原则，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎3．下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析各选项中函数的奇偶性及其在区间上的单调性，可得出合乎题意的选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，函数是偶函数，当时，，该函数为增函数；‎ 对于B选项，函数是偶函数，图象开口向下，该函数在上为减函数；‎ 对于C选项，函数是非奇非偶函数，该函数在上为增函数；‎ 对于D选项，函数是奇函数，该函数在上为增函数.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本初等函数奇偶性与单调性的判断，熟悉基本初等函数的单调性与奇偶性是解题的关键，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎4．已知函数（且）的图象过定点，则点坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】令真数为，求出的值，再代入函数的解析式，即可得出定点的坐标.‎ ‎【详解】‎ 令，得，又.‎ 因此，定点的坐标为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数型函数图象过定点问题，一般利用真数为来得出，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5．函数，的值域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析二次函数在区间上的单调性，求出该函数的最大值和最小值，可得出函数在区间上的值域.‎ ‎【详解】‎ 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，‎ 该函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 所以，当时，函数取得最大值，即.‎ 当时，，当时，，该函数的最小值为.‎ 因此，函数，的值域为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数在定区间上值域的求解，一般要分析二次函数在区间上的单调性，借助单调性求出函数的值域，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎6．已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出的值，然后利用奇函数的定义求出的值.‎ ‎【详解】‎ 当时，，，‎ 由于函数为奇函数，因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用奇偶性求函数值，在计算时应结合自变量的取值选择合适的函数解析式求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7．设，，，则、、的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用指数函数与对数函数的单调性比较、、与、‎ 的大小关系，可得出这三个数的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 指数函数在上为增函数，则；‎ 对数函数在上为减函数，则，即；‎ 对数函数在上为增函数，则.‎ 因此，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较大小，常用的中间值为、，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎8．已知，则函数与函数的图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，再进行判定.‎ ‎【详解】‎ 已知，则lgab=0，即ab=1，‎ 则g（x）=-logbx=logax，f（x）=ax，‎ 根据对数函数和指数函数的图象，若01,选项B符合.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数与指数函数的图象，以及对数的运算性质.‎ ‎9．设，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将指数式化为对数式，然后利用换底公式以及对数的运算性质可求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，则，且有，，，，‎ ‎，因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用对数的换底公式求参数的值，同时也考查指数式与对数式的互化以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎10．偶函数在上单调递增，且，，则满足的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用偶函数的性质，将不等式化为，再由函数在区间上的单调性得出，解出该不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 由于函数是偶函数，且，，则，且，‎ 由，得，则，‎ 由于函数在区间上单调递增，则，即，‎ ‎，解得，因此，满足的取值范围是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用偶函数与单调性的性质解函数不等式，可充分利用偶函数的性质求解，可简化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎11．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知且，利用复合函数法分析出内层函数在上为增函数，外层函数为增函数，且有，可得出关于实数的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知且，由于函数在上单调递增，‎ 内层函数在上为增函数，则外层函数为增函数，‎ 所以，，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用复合型的对数函数在区间上的单调性求参数，再利用复合函数法分析内层函数和外层函数单调性的同时，还应确保真数在区间上恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎12．已知函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出函数的图象，设，设，可得出直线与函数图象的三个交点的横坐标分别为、、，利用对称性得出的值，并结合图象得出实数的取值范围，从而可得出 的取值范围，由此得出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 作出函数的图象，设，设，‎ 由图象可知，当时，直线与函数图象的三个交点的横坐标分别为、、，‎ 二次函数的图象关于直线对称，则，‎ 由于，即，得，解得，‎ ‎.‎ 因此，的取值范围是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数零点和的取值范围，解题时要充分利用函数的对称性来求解，也可以转化为以参数为自变量的函数，转化为函数的值域问题求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 二、填空题 ‎13．已知幂函数的图象过点，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设幂函数为 ，则 . ，所以 .‎ ‎14．已知函数，若，则的值是_________________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】分和解方程，可得出实数的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，当时，，解得；‎ 当时，，解得.‎ 因此，的值是或.‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数方程的求解，在计算时要对自变量的取值进行分类讨论，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15．函数，，则函数的最大值与最小值的和为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将函数的解析式化为，然后换元，将问题转化为二次函数在区间上的最大值和最小值之和来处理，然后利用二次函数的基本性质可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，，令，‎ 设，其中，‎ 二次函数图象开口向上，对称轴为直线，‎ 当时，函数取得最小值，即.‎ 当或时，函数取得最大值，即.‎ 因此，函数的最大值和最小值之和为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数型函数在定区间上的最大值和最小值之和，利用换元法将问题转化为二次函数的最值是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ ‎16．给出下列命题，其中正确的序号是________（写出所有正确命题的序号）.‎ ‎①已知集合，，则映射中满足的映射共有个；‎ ‎②函数的图象关于对称的函数解析式为；‎ ‎③若函数的值域为，则实数的取值范围是；‎ ‎④已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】列举出符合条件的映射可判断出命题①的正误；利用反函数的概念可判断出命题②的正误；结合题意得出实数的取值范围可判断出命题③的正误；分析出函数的对称性可判断出命题④的正误.‎ ‎【详解】‎ 对于命题①，满足的映射有和，共两个，命题①错误；‎ 对于命题②，函数与函数互为反函数，两个函数的图象关于直线对称，命题②正确；‎ 对于命题③，由于函数的值域为，则，解得或，命题③错误；‎ 对于命题④，，‎ 所以，函数的图象关于点对称，则函数图象上的最高点和最低点也关于点对称，则，命题④正确.‎ 因此，正确命题的序号为②④.‎ 故答案为：②④.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查与函数相关命题真假的判断，涉及映射、反函数、复合型对数函数的值域以及函数对称性的判断，考查推理能力，属于中等题.‎ 三、解答题 ‎17．已知集合 ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）将代入集合，然后再利用交集的定义求出集合；‎ ‎（2）由，得出，然后分和两种情况讨论，结合得出关于实数的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，，因此，；‎ ‎（2），.‎ 当时，，解得，此时成立；‎ 当时，则有，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集的运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，解题的关键就是对含参集合分空集和非空集合进行分类讨论，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中等题.‎ ‎18．求下列各式的值.‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用指数的运算律可求出所求代数式的值；‎ ‎（2）利用对数的运算性质以及提公因式来计算出所求代数式的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式；‎ ‎（2）原式.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数式与对数式的计算，解题时应充分利用指数与对数的运算律，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎19．已知函数是定义域为上的偶函数，当时，.‎ ‎（1）补全函数的图象（不需要列表），并写出函数的单调区间；‎ ‎（2）求函数解析式.‎ ‎【答案】（1）图象见解析，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】（1）补全函数的图象，再结合图象得出函数的单调递增区间和单调递减区间；‎ ‎（2）设，求出的表达式，利用偶函数的定义得出在的表达式，从而得出函数的解析式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）补全函数的图象如下图所示：‎ 由图象可知，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和；‎ ‎（2）当时，，则，‎ 由于函数为偶函数，此时.‎ 因此，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的画法，同时也考查了利用函数图象求出函数的单调区间以及利用函数的奇偶性求函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎20．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数： ,其中是仪器的月产量．(注：总收益=总成本+利润)‎ ‎(1)将利润表示为月产量的函数；‎ ‎(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大？最大利润为多少元？‎ ‎【答案】（1）；；（2）月产量为300台时,公司所获利润最大,最大利润是25000元 ‎【解析】(1)根据利润=收益-成本,由已知分两段当时,和当时,求出利润函数的解析式； ‎ ‎(2)根据分段函数的表达式,分别求出函数的最大值即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由于月产量为台,则总成本为,‎ 从而利润；‎ ‎(2)当时,，‎ 所以当时,有最大值25000；‎ 当时,是减函数,‎ 则．‎ 所以当时,有最大值25000,‎ 即当月产量为300台时,公司所获利润最大,最大利润是25000元．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了查函数的应用问题,根据条件建立函数关系,利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。‎ ‎21．已知函数，是奇函数.‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）证明：是区间上的减函数；‎ ‎（3）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】（1）由函数的定义域关于原点对称得出实数的值，再由 是奇函数，得出，可得出的值，并利用定义验证函数是奇函数；‎ ‎（2）利用定义法证明函数在区间上是减函数；‎ ‎（3）由得出，利用函数在定义域上的单调性得出关于的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于函数定义在上的奇函数，其定义域关于原点对称，‎ 则，解得，且，解得，‎ ‎，定义域为，‎ ‎，则函数为奇函数；‎ ‎（2）任取、，且，即.‎ 则，‎ ‎，，则，，，‎ ‎，即，因此，函数是上的减函数；‎ ‎（3），，‎ 由于函数是定义在上的减函数，则，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义证明函数的单调性，同时也考查了利用单调性与奇偶性来解函数不等式，在求解不等式时，应注意将自变量限制在定义域内，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎22．设函数，若在区间上有最大值，最小值.‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】（1）分和两种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，结合函数的最值得出关于实数、的方程组，解出即可；‎ ‎（2）由题意得出，由可得出，换元，可得出，求出函数在区间上的最小值，可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）二次函数图象的对称轴为直线.‎ ‎①当时，函数在区间上单调递增，‎ 则，解得；‎ ‎②当时，函数在区间上单调递减，‎ 则，解得.‎ 因此，或；‎ ‎（2）当时，则，，，‎ 由，得，由于，则.‎ 令，得，‎ 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，‎ 所以，函数在区间上单调递减，则.‎ ‎，因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用二次函数在区间上的最值求参数，同时也考查了二次不等式在区间上恒成立，在含单参数的二次函数不等式恒成立问题中，可充分利用参变量分离法转化为函数最值来求解，可简化分类讨论，考查化归与转化思想，属于中等题.‎