高考数学专题复习：专题二 三角函数、平面向量
第一讲 三角函数的图象与性质(选择、填空题型)
一、选择题
1．若 f(cos x)＝cos 2x，则 f(sin 15°)＝( )
A.1
2
B．－1
2
C．－ 3
2
D. 3
2
2．若 sin(π－α)＝－ 5
3
且 α∈(π，3π
2 )，则 sin(
π
2
＋α
2)＝( )
A．－ 6
3
B．－ 6
6
C. 6
6
D. 6
3
3．(2014·青岛模拟)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|< π
2
的部
分图象如图所示，若 x1，x2∈(－π
6，π
3)，且 f(x1)＝f(x2)，则 f(x1＋x2)＝
( )
A．1 B.1
2
C. 2
2
D. 3
2
4．(2014·江西师大附中模拟)为了得到函数 y＝3sin2x－π
6
的图象，
只需把函数 y＝3sin (x－π
6)上的所有的点的( )
A．横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的1
2
倍，横坐标不变
5．将函数 f(x)＝2sin(ωx－π
3)(ω>0)的图象向左平移 π
3ω
个单位，得
到函数 y＝g(x)的图象．若 y＝g(x)在[0，π
4]上为增函数，则 ω 的最大值
为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．(2014·德阳模拟)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(2－x)＝f(x)，
且在[－3，－2]上是减函数，α，β 是钝角三角形的两个锐角，则下列
不等式中正确的是( )
A．f(sin α)>f(cos β) B．f(sin α)
f(cos β)
7．已知函数 f(x)＝sin(2x＋φ)，其中 φ 为实数，若 f(x)≤
|f(
π
6 )|对 x∈R 恒成立，且 f(
π
2 )f(
π
5 )C．f(x)是奇函数
D．f(x)的单调递增区间是[kπ－π
3，kπ＋π
6](k∈Z)
8．已知函数 f(x)＝|sin x|的图象与直线 y＝kx(k>0)有且仅有三个公
共点，这三个公共点横坐标的最大值为 α，则 α 等于( )
A．－cos α B．－sin α
C．－tan α D．tan α
9．已知曲线 y＝2sin(x＋π
4)cos (
π
4
－x)与直线 y＝1
2
相交，若在 y 轴
右侧的交点自左向右依次记为 P1，P2，P3，…，则|P1P5―→|等于( )
A．π B．2π C．3π D．4π
10．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈RA>0，ω>0,0<φ<π
2
的周期为
π，且图象上一个最小值点为 M(
2π
3 ，－2).当 x∈[0， π
12]时，函数 f(x)
的最大值与最小值的和为( )
A．1＋ 3 B．2
C．－1＋ 3 D.3
2
二、填空题
11．已知复数 z＝(cos α－sin α)＋(tan α)i 在复平面内对应的点在
第一象限，则在[0,2π]内 α 的取值范围是________．
12．(2014·江苏高考)已知函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，
它们的图象有一个横坐标为π
3
的交点，则 φ 的值是________．
13．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象与直线 y＝
b(00,0<φ<π)为偶函数，其部分图象如
图所示，A，B 分别为最高点与最低点，并且 A，B 两点间距离为
2 5，则 ω、φ 的值分别是________．
15．若函数 f(x)＝2sin(2x＋π
3)＋1 在区间[a，b](a，b∈R 且 a0)的图象向左平移 π
3ω
个单位，得 g(x)＝2sin[ω(x＋ π
3ω)－π
3]＝2sin(ωx＋π
3
－π
3)＝2sin ωx，当 x∈
[0，π
4]时，ωx∈[0，ωπ
4 ]，要使 y＝g(x)在[0，π
4]上为增函数，需满足ωπ
4
≤π
2
，即 ω≤2，故 ω 的最大值为 2.
6．解析：选 B 因为 f(x)为 R 上的偶函数，所以 f(－x)＝f(x)，
又 f(2－x)＝f(x)，所以 f(x＋2)＝f(2－(x＋2))＝f(－x)＝f(x)，可见函数以
2 为周期，因为 f(x)在[－3，－2]上是减函数，所以 f(x)在[－1,0]上单
调递减，故 f(x)在[0,1]上单调递增，因为 α，β 是钝角三角形的两个锐
角，所以 α＋β<π
2
，α<π
2
－β，则 00.
∴φ＝2kπ＋π
6
，k∈Z.不妨取 φ＝π
6
，f(
11π
12 )＝sin 2π＝0，∴A 错；
∵f(
7π
10 )＝sin(
7π
5
＋π
6)＝sin47π
30
＝－sin17π
30
<0，f(
π
5 )＝sin(
2π
5
＋π
6)＝sin17π
30
>0，∴B 错；
∵f(－x)≠－f(x)，∴C 错；
∵2kπ－π
2
≤2x＋π
6
≤2kπ＋π
2
，k∈Z，kπ－π
3
≤x≤kπ＋π
6
，k∈Z.∴D
对．
8．解析：选 D 数形结合可知，函数 f(x)＝|sin x|的图象与直线 y
＝kx(k>0)有且仅有三个公共点时，必在(π，3π
2 )内相切，且其切点为
(α，－sin α)，α∈(π，3π
2 ).∵当 x∈(π，3π
2 )时，f(x)＝－sin x，f′(x)＝－
cos x，∴k＝－sin α
α
＝－cos α，即 α＝tan α.
9．解析：选 B 注意到 y＝2sin(x＋π
4)cos(
π
4
－x)＝2sin2
(x＋π
4)＝1－
cos[2(x＋π
4)]＝1＋sin 2x，又函数 y＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π
2
＝π，
结合函数 y＝1＋sin 2x 的图象(如图所示)可知，|P1P5―→|＝2π.
10．解析：选 A 由最小值点为 M(
2π
3 ，－2)，得 A＝2.由 T＝π，
得 ω＝2π
T
＝2π
π
＝2.由点 M (
2π
3 ，－2)在函数图象上，得 2sin(
4π
3
＋φ)＝－
2，即 sin(
4π
3
＋φ)＝－1，∴4π
3
＋φ＝2kπ－π
2
，即 φ＝2kπ－11π
6
，k∈Z.又∵
φ∈(0，π
2)，∴φ＝π
6
，∴f(x)＝2sin(2x＋π
6).∵x∈[0， π
12]，∴2x＋π
6
∈[
π
6，π
3]，
∴1≤f(x)≤ 3，∴f(x)的最大值与最小值的和为 1＋ 3.
二、填空题
11．解析：由复数 z＝(cos α－sin α)＋(tan α)i 在复平面内对应的
点在第一象限可得 cos α>sin α，tan α>0，当 α 为第一象限角时，由 cos
α>sin α，tan α>0 可得 0<α<π
4
，当 α 为第三象限角时，由 cos α>sin α，
tan α>0 可得5π
4
<α<3π
2
.综上，α∈(0，π
4)∪(
5π
4 ，3π
2 ).
答案：(0，π
4)∪(
5π
4 ，3π
2 )
12．解析：由题意可得两个函数图象有一个交点坐标是(
π
3，1
2)，
所以 sin(
2π
3
＋φ)＝1
2
，又 0≤φ<π，解得 φ＝π
6
.
答案：π
6
13． 解析：如图 x＝3，x＝6 是 y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴，
∴周期 T＝6，
∴单调递增区间为[6k,6k＋3]，k∈Z.
答案：[6k,6k＋3]，k∈Z
14.．解析：因为 y＝sin(ωx＋φ)是偶函数，又 0＜φ＜π，所以 φ＝
π
2
.设函数的周期为 T，由图可知 (
T
4 )2＋12＝( 5)2，所以 T＝8，于是 T
＝2π
ω
＝8，得 ω＝π
4
.
答案：π
4
，π
2
15．解析：由 f(x)＝2sin(2x＋π
3)＋1＝0 得 sin2x＋π
3
＝－1
2
，故 x＝kπ
－π
4
或 x＝kπ－ 7
12
π，k∈Z，即 f(x)的相邻零点间隔依次为π
3
和2π
3
，故若 y
＝f(x)在[a，b]上至少含有 30 个零点，则 b－a 的最小值为 14×2π
3
＋
15×π
3
＝43π
3
.
答案：43π
3
16． 解析：f(x)＝cos x·sin x＝1
2
sin 2x，f(
1 921π
12 )＝f(
π
12 )＝1
2
sinπ
6
＝
1
4
，①正确；由 f(x1)＝－f(x2)＝f(－x2)，知 x1＝－x2＋kπ 或 x1＝π
2
＋x2＋
kπ(k∈Z)，②错误；令－π
2
＋2kπ≤2x≤－π
2
＋2kπ，得－π
4
＋kπ≤x≤π
4
＋
kπ(k∈Z)，由复合函数性质知 f(x)在每一个闭区间[－π
4
＋kπ，π
4
＋kπ](k
∈Z)上单调递增，但[－π
6，π
3]⊄[－π
4
＋kπ，π
4
＋kπ](k∈Z)，故函数 f(x)在
[－π
6，π
3]上不是单调函数，③错误；将函数 f(x)的图象向右平移3π
4
个单
位可得到 y＝1
2
sin2x－3π
4
＝1
2
sin(2x－3π
2 )＝1
2
cos 2x，④正确；函数的对
称中心的横坐标满足 2x0＝kπ，解得 x0＝kπ
2
，即对称中心坐标为(
kπ
2 ，0)(k∈Z)，则点(－π
4，0)不是其对称中心，⑤错误．
答案：①④
第二讲 三角恒等变换与解三角形（选择、填空题型）
一、选择题
1．(2014·安溪模拟)已知 cos(α－π
6)＋sin α＝4
5 3，则 sin(α＋7π
6 )的值是( )
A．－2 3
5
B.2 3
5
C．－4
5
D.4
5
2．设函数 f(x)＝cos(2x＋π
4)－sin(2x＋π
4)，则( )
A．函数 f(x)在(－π
4，π
4)上单调递增，其图象关于直线 x＝π
4
对称
B．函数 f(x)在(－π
4，π
4)上单调递增，其图象关于直线 x＝π
2
对称
C．函数 f(x)在(－π
4，π
4)上单调递减，其图象关于直线 x＝π
4
对称
D．函数 f(x)在(－π
4，π
4)上单调递减，其图象关于直线 x＝π
2
对称
3．在△ABC 中，cos(2B＋C)＋2sin Asin B<0，则△ABC 的形状为
( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不确定
4．设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c.若 b＋c
＝2a,3sin A＝5sin B，则角 C＝( )
A.π
3
B.2π
3
C.3π
4 D.5π
6
5．已知锐角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c,23cos2A
＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则 b＝( )
A．10 B．9 C．8 D．5
6．已知 A，B，C 三点的坐标分别是 A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin
α)，α∈(
π
2，3π
2 )，若 ＝－1，则 1＋tan α
2sin2α＋sin 2α
＝( )
A．－5
9
B．－9
5
C．2 D．3
7．(2014·威海模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，若 1＋tan A
tan B
＝2c
b
，b＋c＝4，则△ABC 面积的最大值为( )
A.1
2
B. 3
2
C．1 D. 3
8．(2014·石家庄模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别
为 a，b，c，且满足 csin A＝3acos C，则 sin A＋sin B 的最大值是( )
A．1 B. 2 C．3 D. 3
9．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯
塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南
偏西 60°方向，另一灯塔在船的南偏西 75°方向，则这只船的速度是
( )
A．15 海里/时 B．5 海里/时
C．10 海里/时 D．20 海里/时
10．设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a2＋
b2＝mc2(m 为常数)，若 tan C(tan A＋tan B)＝2tan A·tan B，则 m 的值为
( )
A．2 B．4 C．7 D．8
二、填空题
11．(2014·温州八校联考)设当 x＝θ 时，函数 f(x)＝sin x＋2cos x
取得最大值，则 cos θ＝________.
12．(2014·江苏高考)若△ABC 的内角满足 sin A＋ 2sin B＝2sin C，
则 cos C 的最小值是________．
13．设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，cos(A－
C)＋cos B＝3
2
，b2＝ac，则 B＝________.
14．(2014·福建高考)在△ABC 中，A＝60°，AC＝4，BC＝2 3，
则△ABC 的面积等于________．
答案：2 3
15.如图所示，点 B 在以 PA 为直径的圆周上，点 C 在线段 AB 上，
已知 PA＝5，PB＝3，PC＝15 2
7
，设∠APB＝α，∠APC＝β，α，β 均
为锐角，则角 β 的值为________．
16．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则下列
命题正确的是________(写出所有正确命题的序号)．
①b
a
cos C<1－c
a
cos B；
②△ABC 的面积为 S△ABC＝1
2
AB―→·AC―→·tan A；
③若 acos A＝ccos C，则△ABC 一定为等腰三角形；
④若 A 是△ABC 中的最大角，则△ABC 为钝角三角形的充要条件
是－10，所以 b＝5.
6．解析：选 B 由 ＝(cos α－3，sin α)， ＝(cos α，sin α－
3)，得 ＝(cos α－3)·cos α＋sin α·(sin α－3)＝－1，故 sin α＋
cos α＝2
3
，所以 2sin αcos α＝－5
9
， 1＋tan α
2sin2α＋sin 2α
＝
1＋sin α
cos α
2sin2α＋2sin αcos α
＝ 1
2sin αcos α
＝－9
5
.
7．解析：选 D 由正弦定理可得 1＋tan A
tan B
＝2c
b
＝2sin C
sin B
，即 1＋
sin Acos B
sin Bcos A
＝2sin C
sin B
，整理得 sin Bcos A＋sin Acos B＝2sin Ccos A，即
sin(A＋B)＝2sin Ccos A．又 A＋B＝π－C，所以 sin(A＋B)＝sin C，故
由上式可得，cos A＝1
2
.又 A∈(0，π)，所以 A＝π
3
.所以 S△ABC＝1
2
bcsin A≤
1
2
sinπ
3
·(
b＋c
2 )2＝1
2
× 3
2
×4＝ 3，故选 D.
8．
解析：选 D ∵csin A＝ 3acos C，
∴ sin Csin A ＝ 3sin Acos C ， ∵ sin A≠0 ， ∴ tan C ＝ 3， ∵
0
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