高考数学复习专题练习第9讲 实际问题的函数建模

高考数学复习专题练习第9讲 实际问题的函数建模

第9讲 实际问题的函数建模 一、选择题 ‎1．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差 (　　)．‎ A．10元 B．20元 C．30元 D.元 解析　设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，‎ 当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝，‎ t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.‎ 答案　A ‎2．甲、乙两人沿同一方向去地，途中都使用两种不同的速度．甲一半路程使用速度，另一半路程使用速度，乙一半时间使用速度，另一半时间使用速度，甲、乙两人从地到地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中个不同的图示分析（其中横轴表示时间，纵轴表示路程），其中正确的图示分析为（ ）．‎ A．(1) B．(3) C．(1)或(4) D. (1)或(2) ‎ ‎ ‎ ‎ （1） （2） （3） （4）‎ 解析　根据题目描述分析图像可知D正确 答案　D ‎3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为 (　　)．‎ A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元 解析　依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(x≥0)，∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．‎ 答案　B ‎4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大 (　　)．‎ A．3 B．‎4 ‎ C．5 D．6‎ 解析　由题图可得营运总利润y＝－(x－6)2＋11，则营运的年平均利润＝－x－＋12，‎ ‎∵x∈N*，∴≤－2 ＋12＝2，‎ 当且仅当x＝，即x＝5时取“＝”．‎ ‎∴x＝5时营运的年平均利润最大．‎ 答案　C ‎5．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为(　　)．‎ A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15‎ C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14‎ 解析　由三角形相似得＝，‎ 得x＝(24－y)，‎ ‎∴S＝xy＝－(y－12)2＋180，‎ ‎∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.‎ 答案　A ‎6．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是 (　　)．‎ 解析　由题意得2xy＝20，即y＝，当x＝2时，y＝5，当x＝10时，y＝1时，排除C，D，又2≤x≤10，排除B.‎ 答案　A 二、填空题 ‎7．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：‎ 明文密文密文明文 已知加密为y＝ax－2(x为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．‎ 解析　依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密为y＝2x－2，因此，当y＝14时，由14＝2x－2，解得x＝4.‎ 答案　4‎ ‎8．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．‎ 解析 设售价提高x元，则依题意 y＝(1 000－5x)×(20＋x)‎ ‎＝－5x2＋900x＋20 000‎ ‎＝－5(x－90)2＋60 500.‎ 故当x＝90时，ymax＝60 500，此时售价为每件190元．‎ 答案 190 元 ‎9．现有含盐7%的食盐水为‎200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐5 %以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g，则x的取值范围是__________．‎ 解析　根据已知条件：设y＝，令5%＜y＜6%，即(200＋x)5%＜200×7%＋x·4%＜(200＋x)6%，解得100＜x＜400.‎ 答案　(100,400)‎ ‎10．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为‎3 km(不超过‎3 km按起步价付费)；超过‎3 km但不超过‎8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过‎8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.‎ 解析　由已知条件y＝ 由y＝22.6解得x＝9.‎ 答案　9‎ 三、解答题 ‎11．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系分别如图①、②所示．‎ ‎(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；‎ ‎(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？‎ 解　(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1，y2得k1＝，k2＝.‎ ‎∴y1＝x＋29，y2＝x.‎ ‎(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.‎ 当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；‎ 当x<96 时，y1>y2，即使用“便民卡”便宜；‎ 当x>96时，y10)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.‎ ‎(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？‎ ‎(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？‎ 解　(1)由题意得：10(1 000－x)(1＋0.2x%)≥10×1 000，‎ 即x2－500x≤0，又x>0，所以00，所以018时，车费y＝25＋2(x－18)＝2x－11.‎ ‎(2)付出22元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于‎3 km，且小于‎18 km，前‎3 km付费10元，余下的12元乘车行驶了‎12 km，故此人乘车行驶了 ‎15 km‎.‎ ‎14．某学校要建造一个面积为10 000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽‎8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．‎ ‎(1)设半圆的半径OA＝r(米)，设建立塑胶跑道面积S与r的函数关系S(r)；‎ ‎(2)由于条件限制r∈[30,40]，问当r取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元)‎ 解　(1)塑胶跑道面积 S＝π[r2－(r－8)2]＋8××2‎ ‎＝＋8πr－64π.∵πr2＜10 000，∴0＜r＜.‎ ‎(2)设运动场的造价为y元，‎ y＝150×＋30× ＝300 000＋120×－7 680π.‎ 令f(r)＝＋8πr，∵f′(r)＝8π－，‎ 当r∈[30,40]时，f′(r)＜0，‎ ‎∴函数y＝300 000＋120×－7 680π在[30,40]上为减函数．∴当r＝40时，ymin≈636 510，‎ 即运动场的造价最低为636 510元.‎