高考数学复习专题练习第3讲 基本不等式
第3讲 基本不等式
一、选择题
1．下列函数中，最小值为4的个数为( )
①y＝x＋ ②y＝sin x＋(0＜x＜π)
③y＝ex＋4e－x ④y＝log3x＋4logx3
A．4 B．3
C．2 D．1[来源:学.科.网Z.X.X.K]
解析 ①中，由于x的符号不确定，故不满足条件；②中，0＜sin x≤1，而应用不等式时等号成立的条件为sin x＝2，故不满足条件；③正确；④中log3x，logx3的符合不确定，故不满足条件，综上只有③满足条件．
答案 D
2．函数y＝(x>1)的最小值是 ( )．
A．2＋2 B．2－2
C．2 D．2
解析 ∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝＝
＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时取等号．
答案 A
3．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a
＝0，∴v>a.
答案 A
4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5 km处 B．4 km处
C．3 km处 D．2 km处
解析 令y1＝，y2＝k2x，当x＝10 km时，
y1＝2万元，y2＝8万元，∴2＝，即k1＝20，
且8＝k2×10，
即k2＝，∴y＝y1＋y2＝＋x≥2＝8.
当且仅当＝，即x＝5 km时取“＝”．
答案 A
5．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4
C. D.
解析 方法一：因为x＋2y＋2xy＝8，所以y＝，
所以x＋2y＝x＋＝x＋
＝(x＋1)＋－2≥2－2＝4
，
故选B.
方法二：因为x＋2y≥2，
所以2xy≤2，
所以x＋2y＋2xy≤x＋2y＋，
设x＋2y＝A，则A＋≥8.即A2＋4A－32≥0，[来源XK]
解此不等式得A≤－8(舍去)或A≥4，
即x＋2y≥4，故选B.
答案 B
6．已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝(m>0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为 ( )．
A．16 B．8 C．8 D．4
解析 如图，作出y＝|log2x|的图象，由图可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且xC－xA与xB－xD同号，所以＝，根据已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以xA＝2－m.同理可得xC＝2－，xB＝2m，xD＝2，所以＝＝＝＝2＋m
，由于＋m＝＋－≥4－＝，当且仅当＝，即2m＋1＝4，即m＝时等号成立，故的最小值为2＝8.
答案 B
二、填空题
7．已知函数f(x)＝－＋，若f(x)＋2x≥0，在(0，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是________．
解析 因为f(x)＋2x＝－＋＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即≤2在(0，＋∞)上恒成立，
∵2≥4，当且仅当x＝1时等号成立．
∴≤4，解得a＜0或a≥.
答案 (－∞，0)∪
8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
解析 每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
答案 5 8
9．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
解析 由a，b∈R＋，由基本不等式得a＋b≥2，
则ab＝a＋b＋3≥2＋3，
即ab－2－3≥0⇔(－3)(＋1)≥0⇒ ≥3，
∴ab≥9.
答案 [9，＋∞)
10．已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝的最小值为________。
解析 z＝＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝xy，则00)．
(1)求f(x)的最大值；
(2)证明：对任意实数a，b，恒有f(a)
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