2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 理科数学

2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 理科数学

‎2008年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．‎ ‎ 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．‎ 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知全集，集合，，那么集合等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．若，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ）‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎5．若实数满足则的最小值是（ ）‎ A．0 B．‎1 ‎ C． D．9‎ ‎6．已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）‎ A B C D M N P A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ y x A．‎ O y x B．‎ O y x C．‎ O y x D．‎ O 第Ⅱ卷（共110分）‎ 注意事项：‎ ‎1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．‎ ‎2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．‎ ‎9．已知，其中是虚数单位，那么实数 ．‎ ‎10．已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ．‎ ‎11．若展开式的各项系数之和为32，则 ，其展开式中的常数项为 ．（用数字作答）‎ ‎2‎ B C A y x ‎1‎ O ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎12．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ；‎ ‎ ．（用数字作答）‎ ‎13．已知函数，对于上的任意，有如下条件：‎ ‎①； ②； ③．‎ 其中能使恒成立的条件序号是 ．‎ ‎14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，‎ 表示非负实数的整数部分，例如，．‎ 按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 已知函数（）的最小正周期为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．‎ ‎16．（本小题共14分）‎ A C B P 如图，在三棱锥中，，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求点到平面的距离．‎ ‎17．（本小题共13分）‎ 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；‎ ‎（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列．‎ ‎18．（本小题共13分）‎ 已知函数，求导函数，并确定的单调区间．‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．‎ ‎（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．‎ ‎20．（本小题共13分）‎ 对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列 ‎．‎ 对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；‎ 又定义．‎ 设是每项均为正整数的有穷数列，令．‎ ‎（Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列；‎ ‎（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；‎ ‎（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9． 10． 11．5 10 12． ‎ ‎13．② 14． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎15．（共13分）‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎．‎ 因为函数的最小正周期为，且，‎ 所以，解得．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得．‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因此，即的取值范围为．‎ ‎16．（共14分）‎ A C B D P 解法一：‎ ‎（Ⅰ）取中点，连结．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ A C B E P ‎，‎ 平面．‎ 平面，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ），，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎．‎ 又，即，且，‎ 平面．‎ 取中点．连结．‎ ‎，．‎ 是在平面内的射影，‎ ‎．‎ 是二面角的平面角．‎ 在中，，，，‎ ‎．‎ A C B D P H 二面角的大小为．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，‎ 平面平面．‎ 过作，垂足为．‎ 平面平面，‎ 平面．‎ 的长即为点到平面的距离．‎ 由（Ⅰ）知，又，且，‎ 平面．‎ 平面，‎ ‎．‎ 在中，，，‎ ‎．‎ ‎．‎ 点到平面的距离为．‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ），，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎．‎ ‎，‎ 平面．‎ 平面，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．‎ A C B P z x y H E 则．‎ 设．‎ ‎，‎ ‎，．‎ 取中点，连结．‎ ‎，，‎ ‎，．‎ 是二面角的平面角．‎ ‎，，，‎ ‎．‎ 二面角的大小为．‎ ‎（Ⅲ），‎ 在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．‎ 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．‎ ‎，‎ 点的坐标为．‎ ‎．‎ 点到平面的距离为．‎ ‎17．（共13分）‎ 解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，‎ 即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．‎ ‎（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，‎ 所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．‎ ‎（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有两人同时参加岗位服务，‎ 则．‎ 所以，的分布列是 ‎1‎ ‎3‎ ‎18．（共13分）‎ 解：‎ ‎．‎ 令，得．‎ 当，即时，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 当，即时，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 在上单调递减．‎ 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．‎ 当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．‎ ‎19．（共14分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．‎ 因为四边形为菱形，所以．‎ 于是可设直线的方程为．‎ 由得．‎ 因为在椭圆上，‎ 所以，解得．‎ 设两点坐标分别为，‎ 则，，，．‎ 所以．‎ 所以的中点坐标为．‎ 由四边形为菱形可知，点在直线上， ‎ 所以，解得．‎ 所以直线的方程为，即．‎ ‎（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，‎ 所以．‎ 所以菱形的面积．‎ 由（Ⅰ）可得，‎ 所以．‎ 所以当时，菱形的面积取得最大值．‎ ‎20．（共13分）‎ ‎（Ⅰ）解：，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，‎ 则为，，，，，‎ 从而 ‎．‎ 又，‎ 所以 ‎，‎ 故．‎ ‎（Ⅲ）证明：设是每项均为非负整数的数列．‎ 当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，‎ 则．‎ 当存在，使得时，若记数列为，‎ 则．‎ 所以．‎ 从而对于任意给定的数列，由 可知．‎ 又由（Ⅱ）可知，所以．‎ 即对于，要么有，要么有．‎ 因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有．‎ 即存在正整数，当时，．‎