2007年辽宁省高考数学试卷(理科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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2007年辽宁省高考数学试卷(理科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

‎2007年辽宁省高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1. 设集合U={1, 2, 3, 4, 5}‎,A={1, 3}‎,B={2, 3, 4}‎,则‎(‎∁‎UA)∩(‎∁‎UB)=(‎ ‎‎)‎ A.‎{1}‎ B.‎{5}‎ C.‎{2, 4}‎ D.‎‎{1, 2, 3, 4}‎ ‎2. 若函数y=f(x)‎的反函数图象过点‎(1, 5)‎,则函数y=f(x)‎的图象必过点( )‎ A.‎(1, 1)‎ B.‎(1, 5)‎ C.‎(5, 1)‎ D.‎‎(5, 5)‎ ‎3. 若向量a‎→‎与b‎→‎不共线,a‎→‎‎⋅b‎→‎≠0‎,且c‎→‎‎=a‎→‎-(a‎→‎‎⋅‎b‎→‎‎˙‎)‎b‎→‎,则向量a‎→‎与c‎→‎的夹角为( )‎ A.‎0‎ B.π‎6‎ C.π‎3‎ D.‎π‎2‎ ‎4. 设等差数列‎{an}‎的前n项和为Sn,若S‎3‎‎=9‎,S‎6‎‎=36‎,则a‎7‎‎+a‎8‎+a‎9‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎63‎ B.‎45‎ C.‎36‎ D.‎‎27‎ ‎5. 若θ∈(‎3‎‎4‎π,‎5‎‎4‎π)‎,则复数‎(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i在复平面内所对应的点在( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎6. 若函数y=f(x)‎的图象按向量a‎→‎平移后,得到函数y=f(x+1)-2‎的图象,则向量a‎→‎‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎(-1, -2)‎ B.‎(1, -2)‎ C.‎(-1, 2)‎ D.‎‎(1, 2)‎ ‎7. 若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中为真命题的是( )‎ A.若m⊂β,α⊥β,则m⊥α B.若α∩γ=m,β∩γ=n,m // n,则α // β C.若α⊥γ,α⊥β,则β // γ D.若m⊥β,m // α,则α⊥β ‎8. 已知变量x,y满足约束条件x-y+2≤0‎x≥1‎x+y-7≤0‎‎ ‎,则yx的取值范围是( )‎ A.‎[‎9‎‎5‎,6]‎ B.‎‎(-∞,‎9‎‎5‎]∪[6,+∞)‎ C.‎(-∞, 3]∪[6, +∞)‎ D.‎‎[3, 6]‎ ‎9. 一个坛子里有编号为‎1‎,‎2‎,‎⋯‎,‎12‎的‎12‎个大小相同的球,其中‎1‎到‎6‎号球是红球,其余的是黑球,若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有‎1‎个球的号码是偶数的概率是(        )‎ A.‎1‎‎22‎ B.‎1‎‎11‎ C.‎3‎‎22‎ D.‎‎2‎‎11‎ ‎10. 设p,q是两个命题:p:log‎1‎‎2‎(|x|-3)>0,q:x‎2‎-‎5‎‎6‎x+‎1‎‎6‎>0‎,则p是q的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎11. 设P为双曲线x‎2‎‎-y‎2‎‎12‎=1‎上的一点,F‎1‎,F‎2‎是该双曲线的两个焦点.若‎|PF‎1‎|:|PF‎2‎|=3:2‎,则‎△PF‎1‎F‎2‎的面积为( )‎ A.‎6‎‎3‎ B.‎12‎ C.‎12‎‎3‎ D.‎‎24‎ ‎12. 已知f(x)‎与g(x)‎是定义在R上的连续函数,如果f(x)‎与g(x)‎仅当x=0‎时的函数值为‎0‎,且f(x)≥g(x)‎,那么下列情形不可能出现的是( )‎ A.‎0‎是f(x)‎的极大值,也是g(x)‎的极大值 B.‎0‎是f(x)‎的极小值,也是g(x)‎的极小值 C.‎0‎是f(x)‎的极大值,但不是g(x)‎的极值 D.‎0‎是f(x)‎的极小值,但不是g(x)‎的极值 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13. 已知函数f(x)=‎acosx(x≥0)‎x‎2‎‎-1(x<0)‎在点x=0‎处连续,则a=‎________.‎ ‎14. 设椭圆x‎2‎‎25‎‎+y‎2‎‎16‎=1‎上一点P到左准线的距离为‎10‎,F是该椭圆的左焦点,若点M满足OM‎→‎‎=‎1‎‎2‎(OP‎→‎+OF‎→‎)‎,则‎|OM‎→‎|=‎________.‎ ‎15. 若一个底面边长为‎6‎‎2‎,棱长为‎6‎ ‎ 6 / 6‎ 的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上,则此球的体积为________.‎ ‎16. 将数字‎1‎,‎2‎,‎3‎,‎4‎,‎5‎,‎6‎拼成一列,记第i个数为ai‎(i=1, 2‎,…,‎6)‎,若a‎1‎‎≠1‎,a‎3‎‎≠3‎,a‎5‎‎≠5‎,a‎1‎‎0‎).‎ ‎(1)‎求函数f(x)‎的值域;‎ ‎(2)‎若对任意的a∈R,函数y=f(x)‎,x∈(a, a+π]‎的图象与直线y=-1‎有且仅有两个不同的交点,试确定ω的值(不必证明),并求函数y=f(x)‎,x∈R的单调增区间.‎ ‎18. 如图,在直三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中,‎∠ACB=‎‎90‎‎∘‎,AC=BC=a,D,E分别为棱AB,BC的中点,M为棱AA‎1‎上的点,二面角M-DE-A为‎30‎‎∘‎.‎ ‎(1)证明:A‎1‎B‎1‎‎⊥C‎1‎D;‎ ‎(2)求MA的长,并求点C到平面MDE的距离.‎ ‎19. 某企业准备投产一批特殊型号的产品,已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为C=q‎3‎‎3‎-3q‎2‎+20q+10(q>0)‎.该种产品的市场前景无法确定,有三种可能出现的情况,各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示:‎ 市场情形 概率 价格p与产量q的函数关系式 好 ‎0.4‎ p=164-3q 中 ‎0.4‎ p=101-3q 差 ‎0.2‎ p=70-3q 设L‎1‎,L‎2‎,L‎3‎分别表示市场情形好、中差时的利润,随机变量ξq,表示当产量为q,而市场前景无法确定的利润.‎ ‎(1)分别求利润L‎1‎,L‎2‎,L‎3‎与产量q的函数关系式;‎ ‎(2)当产量q确定时,求期望Eξq,试问产量q取何值时,Eξq取得最大值.‎ ‎ 6 / 6‎ ‎20. 已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y‎2‎‎=2x上,其中O为坐标原点,设圆C是OAB的内接圆(点C为圆心)‎ ‎(1)求圆C的方程;‎ ‎(2)设圆M的方程为‎(x-4-7cosθ‎)‎‎2‎+(y-7sinθ‎)‎‎2‎=1‎,过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE,PF,切点为E,F,求CE‎→‎‎⋅‎CF‎→‎的最大值和最小值.‎ ‎21. 已知数列‎{an}‎,‎{bn}‎与函数f(x)‎,g(x)‎,x∈R满足条件:an‎=‎bn,f(bn)=g(bn+1‎)(n∈N*)‎.‎ ‎(1)若f(x)≥tx+1‎,t≠0‎,t≠2‎,g(x)=2x,f(b)≠g(b)‎,limn→∞‎an存在,求x的取值范围;‎ ‎(2)若函数y=f(x)‎为R上的增函数,g(x)=f‎-1‎(x)‎,b=1‎,f(1)<1‎,证明对任意n∈N*‎,an+1‎‎<‎an(用t表示).‎ ‎22. 已知函数f(x)=2t‎2‎-2(ex+x)t+e‎2x+x‎2‎+1‎,g(x)=‎1‎‎2‎f'(x)‎.‎ ‎(1)证明:当t<2‎‎2‎时,g(x)‎在R上是增函数;‎ ‎(2)对于给定的闭区间‎[a, b]‎,试说明存在实数k,当t>k时,g(x)‎在闭区间‎[a, b]‎上是减函数;‎ ‎(3)证明:f(x)≥‎‎3‎‎2‎.‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年辽宁省高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.B ‎2.C ‎3.D ‎4.B ‎5.B ‎6.A ‎7.D ‎8.A ‎9.D ‎10.A ‎11.B ‎12.C 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13.‎‎-1‎ ‎14.‎‎2‎ ‎15.‎‎4‎3‎π ‎16.‎‎30‎ 三、解答题(共6小题,满分74分)‎ ‎17.解:‎‎(1)f(x)=‎3‎‎2‎sinωx+‎1‎‎2‎cosωx+‎3‎‎2‎sinωx-‎1‎‎2‎cosωx-(cosωx+1)‎ ‎=2‎3‎‎2‎sinωx-‎1‎‎2‎cosωx-1‎ ‎=2sinωx-‎π‎6‎-1‎ 由‎-1≤sin(ωx-π‎6‎)≤1‎,‎ 得‎-3≤2sin(ωx-π‎6‎)-1≤1‎,‎ 可知函数f(x)‎的值域为‎[-3, 1]‎;‎ ‎(2)‎由题设条件及三角函数图象和性质可知,‎ y=f(x)‎的周期为π,‎ 又由ω>0‎,得‎2πω‎=π,即得ω=2‎.‎ 于是有f(x)=2sin(2x-π‎6‎)-1‎.‎ 再由‎2kπ-π‎2‎≤2x-π‎6‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z)‎,‎ 解得kπ-π‎6‎≤x≤kπ+π‎3‎(k∈Z)‎,‎ 所以y=f(x)‎的单调增区间为‎[kπ-π‎6‎,kπ+π‎3‎](k∈Z).‎ ‎18.解:(1)证明:连接CD,‎ 三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎是直三棱柱,∴ CC‎1‎⊥‎平面ABC,∴ CD为C‎1‎D在平面ABC内的射影.∵ ‎△ABC中,AC=BC,D为AB中点,∴ AB⊥CD,∴ AB⊥C‎1‎D∵ A‎1‎B‎1‎‎ // AB,∴ ‎A‎1‎B‎1‎‎⊥C‎1‎D ‎(2)解:过点A作CE的平行线,‎ 交ED的延长线于F,连接MF∵ D,E分别为AB,BC的中点,∴ ‎DE // AC 又∵ AF // CE,CE⊥AC∴ AF⊥DE∵ MA⊥‎平面ABC,∴ AF为MF在平面ABC内的射影∴ MF⊥DE∴ ‎∠MFA为二面角M-DE-A的平面角,‎‎∠MFA=‎‎30‎‎∘‎ 在Rt△MAF中,AF=‎1‎‎2‎BC=‎a‎2‎,‎∠MFA=‎‎30‎‎∘‎,∴ ‎AM=‎3‎‎6‎a ‎ 6 / 6‎ 作AG⊥MF,垂足为G,∵ MF⊥DE,AF⊥DE,∴ DE⊥‎平面AMF,∵ 平面MDE⊥‎平面AMF,∴ AG⊥‎平面MDE 在Rt△GAF中,‎∠GFA=‎‎30‎‎∘‎,AF=‎a‎2‎,∴ AG=‎a‎4‎,即A到平面MDE的距离为a‎4‎∵ CA // DE,∴ CA // ‎平面MDE,∴ C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等,为a‎4‎.‎ ‎19.解:(1)根据所给的表格中的数据和题意写出 L‎1‎‎=(164-3q)⋅q-(q‎3‎‎3‎-3q‎2‎+20q+10)‎ ‎=-q‎3‎‎3‎+144q-10(q>0)‎‎.‎ 同理可得L‎2‎‎=-q‎3‎‎3‎+81q-10(q>0)‎.‎ L‎3‎‎=-q‎3‎‎3‎+50q-10(q>0)‎‎.‎ ‎(2)由期望定义可知Eξq=0.4L‎1‎+0.4L‎2‎+0.2‎L‎3‎ ‎=0.4*(-q‎3‎‎3‎+144q-10)+0.4*(-q‎3‎‎3‎+81q-10)+0.28*(-q‎3‎‎3‎+50q-10)‎ ‎=-q‎3‎‎3‎+100q-10‎‎.‎ 可知Eξq是产量q的函数,设f(q)=Eξq=-q‎3‎‎3‎+100q-10(q>0)‎,‎ 得f'(q)=-q‎2‎+100‎.令f'(q)=0‎解得q=10‎,q=-10‎(舍去).‎ 由题意及问题的实际意义可知,当q=10‎时,f(q)‎取得最大值,即Eξq最大时的产量为‎10‎.‎ ‎20.解:(1)解法一:设A,B两点坐标分别为‎(y‎1‎‎2‎‎2‎,y‎1‎)‎,‎(y‎2‎‎2‎‎2‎,y‎2‎)‎,‎ 由题设知‎(y‎1‎‎2‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎y‎2‎‎2‎‎=‎(y‎1‎‎2‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎y‎2‎‎2‎=‎‎(y‎1‎‎2‎‎2‎-y‎2‎‎2‎‎2‎‎)‎‎2‎+(y‎1‎-‎y‎2‎‎)‎‎2‎ 解得y‎1‎‎2‎‎=y‎2‎‎2‎=12‎,‎ 所以A(6,2‎3‎)‎,B(6,-2‎3‎)‎或A(6,-2‎3‎)‎,B(6,2‎3‎)‎.‎ 设圆心C的坐标为‎(r, 0)‎,则r=‎2‎‎3‎×6=4‎,‎ 所以圆C的方程为‎(x-4‎)‎‎2‎+y‎2‎=16‎.‎ 解法二:设A,B两点坐标分别为‎(x‎1‎, y‎1‎)‎,‎(x‎2‎, y‎2‎)‎,由题设知x‎1‎‎2‎‎+y‎1‎‎2‎=x‎2‎‎2‎+‎y‎2‎‎2‎ 又因为y‎1‎‎2‎‎=2‎x‎1‎,y‎2‎‎2‎‎=2‎x‎2‎,可得x‎1‎‎2‎‎+2x‎1‎=x‎2‎‎2‎+2‎x‎2‎.即‎(x‎1‎-x‎2‎)(x‎1‎+x‎2‎+2)=0‎ 由x‎1‎‎>0‎,x‎2‎‎>0‎,可知x‎1‎‎=‎x‎2‎,故A,B两点关于x轴对称,所以圆心C在x轴上 设C点的坐标为‎(r, 0)‎,则A点坐标为‎(‎3‎‎4‎r,‎3‎‎2‎r)‎,于是有‎(‎3‎‎2‎r‎)‎‎2‎=2×‎3‎‎2‎r,‎ 解得r=4‎,‎ 所以圆C的方程为‎(x-4‎)‎‎2‎+y‎2‎=16‎.‎ ‎(2)解:设‎∠ECF=2α,则CE‎→‎‎⋅CF‎→‎=|CE‎→‎|⋅|CF‎→‎|⋅cos2α=16cos2α=32cos‎2‎α-16‎.‎ 在Rt△PCE中,cosα=x‎|PC|‎=‎‎4‎‎|PC|‎,由圆的几何性质得‎|PC|≤|MC|+1=7+1=8‎,‎|PC|≥|MC|-1=7-1=6‎,‎ 所以‎1‎‎2‎‎≤cosα≤‎‎2‎‎3‎,由此可得‎-8≤CE‎→‎⋅CF‎→‎≤-‎‎16‎‎9‎.‎ 则CE‎→‎‎⋅‎CF‎→‎的最大值为‎-‎‎16‎‎9‎,最小值为‎-8‎.‎ ‎21.解:(1)由题设知an+1‎‎=tbn+1‎+1‎an‎=2‎bn+1‎,得an+1‎‎=t‎2‎an+1‎.‎ 又已知t≠2‎,可得an+1‎‎+‎2‎t-2‎=t‎2‎(an+‎2‎t-2‎)‎.‎ 由t≠0‎,t≠2‎,f(b)≠g(b)‎,可知a‎1‎‎+‎2‎t-2‎=tb+tt-2‎≠0,t‎2‎≠0‎,‎ 所以‎{an+‎2‎t-2‎}‎是等比数列,其首项为tb+‎‎2‎t-2‎,公比为t‎2‎.‎ 于是an‎+‎2‎t-2‎=(tb+‎2‎t-2‎)(‎t‎2‎‎)‎n-1‎,即an‎=(tb+‎2‎t-2‎)(t‎2‎‎)‎n-1‎-‎‎2‎t-2‎.‎ 又limn→∞‎an存在,可得‎0<|t‎2‎|<1‎,所以‎-20‎.由此可知,g(x)‎在R上是增函数.‎ ‎(2)因为g‎'‎‎(x)<0‎是g(x)‎为减函数的充分条件,所以只要找到实数k,使得t>k时g‎'‎‎(x)=2e‎2x-tex+1<0‎,即t>2ex+‎e‎-x在闭区间‎[a, b]‎上成立即可.因为y=2ex+‎e‎-x在闭区间‎[a, b]‎上连续,故在闭区间‎[a, b]‎上有最大值,设其为k,于是在t>k时,g‎'‎‎(x)<0‎在闭区间‎[a, b]‎上恒成立,即g(x)‎在闭区间‎[a, b]‎上为减函数.‎ ‎(3)设F(t)=2t‎2‎-2(ex+x)t+e‎2x+x‎2‎+1‎,即F(t)=2(t-ex‎+x‎2‎‎)‎‎2‎+‎1‎‎2‎(ex-x‎)‎‎2‎+1‎,‎ 易得F(t)≥‎1‎‎2‎(ex-x‎)‎‎2‎+1‎.令H(x)=ex-x,则H‎'‎‎(x)=ex-1‎,易知H‎'‎‎(0)=0‎.当x>0‎时,H‎'‎‎(0)>0‎;当x<0‎时,H‎'‎‎(0)<0‎.故当x=0‎时,H(x)‎取最小值,H(0)=1‎.所以‎1‎‎2‎‎(ex-x‎)‎‎2‎+1≥‎‎3‎‎2‎,‎ 于是对任意的x,t,都有F(t)≥‎‎3‎‎2‎,即f(x)≥‎‎3‎‎2‎.‎ ‎ 6 / 6‎
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