2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）

2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）

‎2015年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}‎ ‎2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（　　）‎ A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 ‎4．（5分）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（　　）‎ A．21 B．42 C．63 D．84‎ ‎5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（　　）‎ A．2 B．8 C．4 D．10‎ ‎8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（　　）‎ A．0 B．2 C．4 D．14‎ ‎9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（　　）‎ A．36π B．64π C．144π D．256π ‎10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=　　．‎ ‎14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　　．‎ ‎15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=　　．‎ ‎16．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=﹣1，an+1=Sn+1Sn，则Sn=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．‎ ‎18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：‎ A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76‎ ‎ 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89‎ B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82‎ ‎ 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79‎ ‎（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；‎ ‎（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率．‎ ‎19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．‎ ‎（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；‎ ‎（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．‎ ‎20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．‎ ‎（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；‎ ‎（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=emx+x2﹣mx．‎ ‎（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；‎ ‎（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．‎ ‎　‎ 四、选做题.选修4-1：几何证明选讲 ‎22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．‎ ‎（1）证明：EF∥BC；‎ ‎（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．‎ ‎（1）求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：‎ ‎（1）若ab＞cd，则+＞+；‎ ‎（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．‎ ‎　‎ ‎2015年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}‎ ‎【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；‎ ‎∴A∩B={﹣1，0}．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2015•新课标Ⅱ）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．‎ ‎【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，‎ ‎4a=0，并且a2﹣4=﹣4，‎ 所以a=0；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2015•新课标Ⅱ）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（　　）‎ A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 ‎【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；‎ B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；‎ C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；‎ D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．‎ ‎【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；‎ B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；‎ C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；‎ D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．‎ 故选：D ‎　‎ ‎4．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（　　）‎ A．21 B．42 C．63 D．84‎ ‎【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5‎ ‎=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．‎ ‎【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，‎ ‎∴，‎ ‎∴q4+q2+1=7，‎ ‎∴q4+q2﹣6=0，‎ ‎∴q2=2，‎ ‎∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．（5分）（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=，‎ 即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，‎ f（log212）==12×=6，‎ 则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2015•新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，‎ ‎∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，‎ ‎∴剩余部分体积为1﹣=，‎ ‎∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2015•新课标Ⅱ）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（　　）‎ A．2 B．8 C．4 D．10‎ ‎【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，‎ ‎∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，‎ ‎∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，‎ 令x=0，可得y2+4y﹣20=0，‎ ‎∴y=﹣2±2，‎ ‎∴|MN|=4．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2015•新课标Ⅱ）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（　　）‎ A．0 B．2 C．4 D．14‎ ‎【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，‎ 则b变为18﹣14=4，‎ 由a＞b，则a变为14﹣4=10，‎ 由a＞b，则a变为10﹣4=6，‎ 由a＞b，则a变为6﹣4=2，‎ 由a＜b，则b变为4﹣2=2，‎ 由a=b=2，‎ 则输出的a=2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（　　）‎ A．36π B．64π C．144π D．256π ‎【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．‎ ‎【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2015•新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．‎ ‎【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，‎ 此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，‎ 当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，‎ 如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，‎ ‎∴OQ=﹣，‎ ‎∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，‎ ‎∴PA+PB=，‎ 当x=时，PA+PB=2，‎ 当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，‎ 由对称性可知函数f（x）关于x=对称，‎ 且f（）＞f（），且轨迹为非线型，‎ 排除A，C，D，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2015•新课标Ⅱ）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，‎ 且MA=AB=2a，∠MAB=120°，‎ 则M的坐标为（﹣2a，a），‎ 代入双曲线方程可得，‎ ‎﹣=1，‎ 可得a=b，‎ c==a，‎ 即有e==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2015•新课标Ⅱ）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）‎ ‎【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞‎ ‎）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．‎ ‎【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，‎ ‎∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，‎ 即当x＞0时，g′（x）恒小于0，‎ ‎∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，‎ 又∵g（﹣x）====g（x），‎ ‎∴函数g（x）为定义域上的偶函数 又∵g（﹣1）==0，‎ ‎∴函数g（x）的图象性质类似如图：‎ 数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0‎ ‎⇔或，‎ ‎⇔0＜x＜1或x＜﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）（2015•新课标Ⅱ）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=　　．‎ ‎【分析】利用向量平行即共线的条件，得到向量λ+与+2之间的关系，利用向量相等解答．‎ ‎【解答】解：因为向量，不平行，向量λ+与+2平行，所以λ+=μ（+2），‎ 所以，解得；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2016•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　　．‎ ‎【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．‎ ‎【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，‎ 由得D（1，），‎ 所以z=x+y的最大值为1+；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2015•新课标Ⅱ）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=　3　．‎ ‎【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．‎ ‎【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，‎ 令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①‎ 令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②‎ ‎①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），‎ 所以2×32=16（a+1），‎ 所以a=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2015•新课标Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=﹣1，an+1=Sn+1Sn，则Sn=　﹣　．‎ ‎【分析】通过Sn+1﹣Sn=an+1可知Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn，两边同时除以Sn+1Sn可知﹣=1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结论．‎ ‎【解答】解：∵an+1=Sn+1Sn，‎ ‎∴Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn，‎ ‎∴﹣=1，‎ 又∵a1=﹣1，即=﹣1，‎ ‎∴数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，‎ ‎∴=﹣n，‎ ‎∴Sn=﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．（12分）（2015•新课标Ⅱ）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．‎ ‎【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．‎ ‎（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．‎ ‎【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，‎ ‎∵==2‎ ‎∴BD=2DC，‎ ‎∵AD平分∠BAC ‎∴∠BAD=∠DAC 在△ABD中，=，∴sin∠B=‎ 在△ADC中，=，∴sin∠C=；‎ ‎∴==．…6分 ‎（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．‎ 过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴DM=DN，‎ ‎∴==2，‎ ‎∴AB=2AC，‎ 令AC=x，则AB=2x，‎ ‎∵∠BAD=∠DAC，‎ ‎∴cos∠BAD=cos∠DAC，‎ ‎∴由余弦定理可得：=，‎ ‎∴x=1，‎ ‎∴AC=1，‎ ‎∴BD的长为，AC的长为1．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2015•新课标Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：‎ A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76‎ ‎ 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89‎ B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82‎ ‎ 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79‎ ‎（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；‎ ‎（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率．‎ ‎【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；‎ ‎（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下 通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；‎ ‎（2）记CA1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，‎ 记CA2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，‎ 记CB1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，‎ 记CB2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，‎ 则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，‎ 则C=CA1CB1∪CA2CB2，‎ P（C）=P（CA1CB1）+P（CA2CB2）=P（CA1）P（CB1）+P（CA2）P（CB2），‎ 由所给的数据CA1，CA2，CB1，CB2，发生的频率为，，，，‎ 所以P（CA1）=，P（CA2）=，P（CB1）=，P（CB2）=，‎ 所以P（C）=×+×=0.48．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．‎ ‎（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；‎ ‎（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．‎ ‎【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；‎ ‎（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF与平面α所成角的正弦值．‎ ‎【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：‎ ‎（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：‎ EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；‎ ‎∴，∴AH=10；‎ 以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：‎ A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；‎ ‎∴；‎ 设为平面EFGH的法向量，则：‎ ‎，取z=3，则；‎ 若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：‎ sinθ==；‎ ‎∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2015•新课标Ⅱ）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．‎ ‎（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；‎ ‎（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．‎ ‎【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．‎ ‎（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），‎ 将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，‎ 则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，‎ 则x1+x2=，则xM==，yM=kxM+b=，‎ 于是直线OM的斜率kOM==，‎ 即kOM•k=﹣9，‎ ‎∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．‎ ‎（2）四边形OAPB能为平行四边形．‎ ‎∵直线l过点（，m），‎ ‎∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，‎ 即k2m2＞9b2﹣9m2，‎ ‎∵b=m﹣m，‎ ‎∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，‎ 即k2＞k2﹣6k，‎ 即6k＞0，‎ 则k＞0，‎ ‎∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，‎ 由（1）知OM的方程为y=x，‎ 设P的横坐标为xP，‎ 由得，即xP=，‎ 将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，‎ 即l的方程为y=kx+，‎ 将y=x，代入y=kx+，‎ 得kx+=x 解得xM=，‎ 四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，‎ 于是=2×，‎ 解得k1=4﹣或k2=4+，‎ ‎∵ki＞0，ki≠3，i=1，2，‎ ‎∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）=emx+x2﹣mx．‎ ‎（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；‎ ‎（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；‎ ‎（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（emx﹣1）+2x．‎ 若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1≥0，f′（x）＞0．‎ 若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1＜0，f′（x）＞0．‎ 所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．‎ ‎（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．‎ 所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是 即 设函数g（t）=et﹣t﹣e+1，则g′（t）=et﹣1．‎ 当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．‎ 又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．‎ 当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；‎ 当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即em﹣m＞e﹣1．‎ 当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．‎ 综上，m的取值范围是[﹣1，1]‎ ‎　‎ 四、选做题.选修4-1：几何证明选讲 ‎22．（10分）（2015•新课标Ⅱ）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．‎ ‎（1）证明：EF∥BC；‎ ‎（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．‎ ‎【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；‎ ‎（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF计算即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，‎ ‎∴AD是∠CAB的角平分线，‎ 又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，‎ ‎∴AE=AF，∴AD⊥EF，‎ ‎∴EF∥BC；‎ ‎（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，‎ 又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，‎ 连结OE、OM，则OE⊥AE，‎ 由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，‎ ‎∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，‎ ‎∵AE=2，∴AO=4，OE=2，‎ ‎∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，‎ ‎∴AD=5，AB=，‎ ‎∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．‎ ‎　‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎23．（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．‎ ‎（1）求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ ‎【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．‎ ‎（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，‎ ‎∴x2+y2=2y．‎ 同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，‎ 联立，‎ 解得，，‎ ‎∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．‎ ‎（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），‎ ‎∵A，B都在C1上，‎ ‎∴A（2sinα，α），B．‎ ‎∴|AB|==4，‎ 当时，|AB|取得最大值4．‎ ‎　‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎24．（2015•新课标Ⅱ）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：‎ ‎（1）若ab＞cd，则+＞+；‎ ‎（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．‎ ‎【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；‎ ‎（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．‎ ‎【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，‎ ‎（+）2=c+d+2，‎ 由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，‎ 则＞，‎ 即有（+）2＞（+）2，‎ 则+＞+；‎ ‎（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，‎ 即为a+b+2＞c+d+2，‎ 由a+b=c+d，则ab＞cd，‎ 于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，‎ ‎（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，‎ 即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；‎ ‎②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，‎ 即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，‎ 由a+b=c+d，则ab＞cd，‎ 则有（+）2＞（+）2．‎ 综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：wkl197822；changq；依依；吕静；双曲线；刘长柏；maths；cst；w3239003；whgcn；雪狼王；沂蒙松（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日