江西省吉安市遂川中学2019-2020学年高一实验班上学期月考数学试题
www.ks5u.com
数学试题
一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1.已知集合, 那么集合
为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解方程组得
,故选D
2.已知，若，则的值为( )
A. 1 B. 0 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据可得出,即,整理后分别讨论或,根据元素的互异性可得, ,代入计算即可
【详解】,
,即,
当时,或,
当时,即得集合,不符合元素的互异性,故舍去,
当时,，即得集合,不符合元素的互异性,故舍去,
综上,,
，
故选C
【点睛】本题考查列举法表示集合,集合相等的定义,集合元素的互异性
3.若则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指数幂的运算性质将，，化为底数都是2的指数函数，利用其单调性比较即可．
【详解】解：，，，
为增函数，，
．
．
故选：．
【点睛】本题考查不等式比较大小，着重考查指数幂的运算性质及指数函数的单调性，属于基础题．
4.已知扇形的周长为6cm，面积为2cm2，则扇形的圆心角的弧度数为 ( )
A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2或4
【答案】C
【解析】
试题分析：设扇形的圆心角为，半径为，则解得或
，故选C．
考点：1、弧度制的应用；2、扇形的面积公式.
5.已知角的终边过点，且，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为角的终边过点，所以 ， ，解得，故选B.
6.已知，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用诱导公式将转化为的形式，然后利用同角三角函数关系式求得的值.
【详解】依题意，由于，属于，故.所以选D.
【点睛】本小题主要考查三角函数的诱导公式，考查同角三角函数的基本关系式中的平方关系.对于三角函数的化简，遵循这样的原理“奇变偶不变，符号看象限”.其中“奇偶”说的是是奇数还是偶数.在运用三角函数的基本关系式是，要注意角的终边所在的象限引起的三角函数值正负的变化.
7.函数的单调递增区间是（ ）
A. (-,2] B. (0,2] C. [) D. [2,4)
【答案】B
【解析】
【分析】
由复合函数的单调性可得，本题函数大于零时的增区间，再利用二次函数的性质求出大于零时的增区间．
【详解】解：函数的单调递增区间即为函数大于零时的增区间，
由解得，再由二次函数的对称轴为，开口向下可得
函数大于零时的增区间为．
故选：．
【点睛】本题主要考查对数函数单调性和特殊点，对数函数的定义域，复合函数的单调性以及二次函数的性质，属于中档题
8.若,则不等式的解集是 （ ）
A. （0 ,+∞) B. （0 , 2] C. [2 ,+∞) D. [2 ,)
【答案】D
【解析】
【分析】
先研究幂函数的定义域和单调性，再把函数单调性的定义和定义域相结合即可．
【详解】解：由知，是定义在上的增函数，
则不等式得，
，即
故选：．
【点睛】本题考查了函数的单调性的应用，是基础题，本题易错点是不考虑定义域．
9.已知函数则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意求出的值，即可求出的值。
【详解】解：
故选：
【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题。
10.函数的大致图象是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
由题意，函数满足，则或，
当时，为单调递增函数，
当时，，故选A.
11.已知函数，则=（ ）
A. 1008 B. 1009 C. 2018 D. 2019
【答案】B
【解析】
【分析】
先证明对任意，，利用倒序相加法，求出.
【详解】解：对任意，．
对于任意，；
，，
．
故选：
【点睛】本题考查函数值的求法，考查计算能力，值域倒序相加法的应用．
12.方程 (0
1；
当时，，则实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了求解对数不等式，考查了对数函数的单调性，考查了换底公式，考查了数学运算能力.
14.满足cos α≤－角α的集合为________．
【答案】
【解析】
作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为.
15.若函数为偶函数，则实数__________．
【答案】
【解析】
若f（x）=ln（ex+1）+ax为偶函数，
则f（-x）=f（x），
即ln（e-x+1）-ax=ln（ex+1）+ax，） -ln（ex+1）=2ax，
即）-ln（ex+1）=2ax，
即ln（ex+1）-lnex-ln（ex+1）=2ax，
即-x=2ax，
即2a=-1，则a＝
故答案为
点睛：本题已知函数奇偶性求参数，根据函数奇偶性的定义建立方程关系求出a是解决本题的关键．
16.设函数是定义在上的周期为2的函数，且对任意实数恒有当时，，若在上有三个零点，则的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的周期和奇偶性作出和在上的图象，根据交点个数列出不等式解出．
【详解】解：，，是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出的图象如图所示：
在上有且仅有三个零点，
和的图象在上只有三个交点，
，解得即
故答案为：．
【点睛】本题考查了零点个数的判断，作出的函数图象是解题关键．
三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）把各题的解答过程写在答题纸上
17.（1）计算；
（2）化简.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用对数的运算法则、换底公式及对数的性质即可得出；
（2）利用诱导公式化简可得；
【详解】解：（1）
（2）
【点睛】本题考查对数的运算及诱导公式，属于基础题。
18.已知函数的定义域是,函数在上的值域为,全集为,且求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
求出，再利用单调性求出的值域，从而得到，再由，可得，由此解得的范围．
【详解】解：由，求得定义域．
又因为在，单调递减，所以值域．
或，又因为，
，解得，即实数的取值范围为．
【点睛】本题主要考查集合中参数的取值问题，求函数的定义域和值域，属于中档题．
19.设，且.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值.
【答案】（1）；（2）2
【解析】
【分析】
（1）直接由求得的值；
（2）由对数的真数大于0求得的定义域，判定在上的增减性，求出在
上的最值，即得值域．
【详解】解：(1)∵，
∴，
∴；
(2)由得，
∴函数的定义域为，
，
∴当时，是增函数；当时，是减函数，
∴函数在上的最大值是．
【点睛】本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域．
20.二次函数 ，满足 为偶函数，且方程 有相等实根．
（1）求 的解析式；
（2）求在 上的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由奇偶性可得，结合判别式为零可得结果；（2）利用对称轴位置不同分类讨论，结合单调性可得结果.
【详解】（1）因为 为偶函数，
所以，
可得，
又因方程 有相等实根，
由判别式为零可得，
所以，解析式为；
（2），
，
，
【点睛】二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论
21.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元．某月甲、乙两户共交水费元，已知甲、乙两户该月用水量分别为吨．
(1)求关于的函数．
(2)若甲、乙两户该月共交水费元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．
【答案】（1）（2）甲户该月的用水量为吨、水费为
元，乙户该月的用水量为吨、水费为元
【解析】
试题分析：（1）由题意知：x≥0，令5x=5，得x=1；令3x=5，得x=，将x取值范围分三段，求对应函数解析式可得答案．（2）在分段函数各定义域上根据单调性讨论函数的值域，可以发现只有当时，令，解得，则甲、乙两户该月的用水量和水费即得解.
试题解析：
（1）当甲的用水量不超过吨时，即，时，乙的用水量也不超过吨，
；
当甲的用水量超过吨，乙的用水量不超过吨，即 时，
；
当乙的用水量超过吨，即，时，
.
所以
（2）由于各段区间上均单调增，
当时，；
当时，；
当时，令，解得.
所以甲户用水量为（吨），付费(元)；
乙户用水量为（吨），付费(元)．
答：甲户该月的用水量为吨、水费为元，乙户该月的用水量为吨、水费为元
点睛：本题是分段函数的简单应用题，关键是审清题意，列出函数解析式，找对自变量的分段区间，第二问中主要涉及分段函数的值域问题，还是分段处理的原则.
22.已知函数的定义域为,并满足(1)对于一切实数，都有；
(2)对任意的； (3)；
利用以上信息求解下列问题：
(1)求；
(2)证明；
(3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3) .
【解析】
【分析】
(1) 令可得结果；（2）由可得结果；（3）利用单调性，转化为对任意的恒成立，
求出在时最大值为即可得结果.
详解】(1) 令
，
（2）
（3）是增函数，
对任意的恒成立，
，
即对任意的恒成立，
在时最大值为，
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
