广东省云浮市郁南县连滩中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题
2019-2020 学年第一学期高一数学 12 月月考试卷
一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1.设集合 U=R,A={x|x>0},B={x|x≥1},则 ( )UA C B 等于( ).
A. {x|0
1}
【答案】A
【解析】
【分析】
先求 UC B ,再求 ( )UA C B 得解.
【详解】由题得 { | 1}UC B x x ，
所以 ( )UA C B {x|0 1
2
B. k< 1
2
C. k> - 1
2
D. k< - 1
2
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式 2 1 0k 即得解.
【详解】因为函数 y= 2 1k
x
+b 在(0,+∞)上是减函数
所以 2 1 0k ，
所以 1
2k .
故选：A
【点睛】本题主要考查函数的单调性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4.已知 f(x)是 R 上的偶函数,当 x≤0 时,f(x)=x+1,则 f(x2)的表达式为( ).
A. -(x+1)2+1 B. (x+1)2 C. x2-1 D. -x2+1
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出 x＞0 的解析式，再求 f(x2)的表达式.
【详解】设 x＞0，所以 0,x
所以 ( ) 1f x x ，
所以 ( ) 1f x x ，
所以 2 2( ) 1f x x .
故选：D
【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查求复合函数的解析式，意在
考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5.把-1215°化成 2kπ+ (k∈Z,)的形式是( ).
A. -6π- 3
4
B. -6π+ 7π
4
C. -8π- π
4
D. -8π+ 7π
4
【答案】A
【解析】
【分析】
由 1215° = 1080 135 即得解.
【详解】由题得 1215° 3= 1080 135 6 4
.
故选：A
【点睛】本题主要考查角度值和弧度值的互化，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6.已知指数函数 y=(a+2)x,则实数 a 的取值范围是( ).
A. (-2,+∞) B. [-2,+∞) C. (-2，-1) （-1，+∞） D.
(1,2)∪(2,+∞)
【答案】C
【解析】
【分析】
解不等式 2 0a 且 2 1a 即得解.
【详解】由题得 2 0a 且 2 1a ，
所以 2a 且 1a .
故选：C
【点睛】本题主要考查指数函数的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7.函数 f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象必不过( ).
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
函数 f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象就是把函数 logay x 的图象向左平移 2 个单位，即得解.
【详解】因为 1a ，所以对数函数 logay x 经过点（1,0），经过第一、四象限，
函数 f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象就是把函数 logay x 的图象向左平移 2 个单位，所以函数
f(x)=loga(x+2)(a>1)的图象必不经过第四象限.
故选：D
【点睛】本题主要考查对数函数的图象和函数的图象的变换，意在考查学生对这些知识的理
解掌握水平.
8.下列函数中,既是奇函数又有零点的增函数的是( ).
A. y=sinx B. y= 1
x
C. y=x 3 +x D. y=tanx
【答案】C
【解析】
【分析】
对每一个选项的函数逐一分析判断得解.
【详解】A. y=sinx,是奇函数有零点，但是不是增函数，所以该选项不符合题意；
B. y= 1
x
，是奇函数，但是没有零点，所以该选项不符合题意；
C. y=x 3 +x，是奇函数有零点，是 R 上的增函数（增函数+增函数=增函数），所以该选项符合
题意；
D. y=tanx，是奇函数有零点，但是不是增函数，所以该选项不符合题意.
故选：C
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断和零点的判断，考查函数的单调性，意在考查学
生对这些知识的理解掌握水平.
9.已知集合 A＝{y|y=log2x，x>1}，B={y|y=x -2 ， 1
2
≤x<1}，则 AB＝（ ）.
A. {y|00)在区间[ 0 ， 2
3
]上单调递减,在区间[ 2
3
， ]上单调递增,
则ω=( ).
A. 3
4
B. 4
3
C. 3
2
D. 2
3
【答案】C
【解析】
【分析】
由题得函数的最小正周期为 2 42=3 3
，即得解.
【详解】因为函数 f(x)=cosωx(ω>0)在区间[ 0 ， 2
3
]上单调递减,在区间[ 2
3
， ]上单
调递增，
所以函数的最小正周期为 2 42=3 3
，
所以 4 2 3= ,3 2ww
.
故选：C
【点睛】本题主要考查余弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11.为了得到函数 y=4sin(x-
5
)的图象，只要把函数 y=3cos（ 3
10
－x)的图象上所有的点
（ ）
A. 纵坐标缩短到原来的 3
4
倍，再向左平移 2
5
个单位长度
B. 纵坐标伸长到原来的 4
3
倍，再向右平移 2
5
个单位长度
C. 横坐标缩短到原来的 3
4
倍，再向左平移
5
个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的 4
3
倍，再向右平移
5
个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简两个函数的解析式，再利用三角函数的图象的变换分析解答.
【 详 解 】 由 题 得 函 数 y=3cos （ 3
10
－
x) 3 1 1=3cos( ) 3cos( ) 3sin( )10 2 5 5x x x ,
函数 y=4sin(x
5
)= 4 23 sin[( ) ]3 5 5x ，
所以需要把纵坐标伸长到原来的 4
3
倍，再向右平移 2
5
个单位长度.
故选：B
【点睛】本题主要考查诱导公式和三角函数的图象的变换，意在考查学生对这些知识的理解
掌握水平.
12.给出下列命题:
①存在实数 x,使得 sin x+cos x=2；
②函数 y=cos 2x π
3 2
是奇函数；
③若角α,β是第一象限角,且α＜β,则 tan α0,ω>0,|φ|<π)的图象如图所示，求其解析式________
【答案】 2cos 2 4y x
【解析】
【分析】
利用函数图象求出 2A ，利用五点法得到
3
8 2
7 3
8 2
，求出 ， ．
【详解】利用函数图象求出 2A ，
由“五点法”可知
3
8 2
7 3
8 2
，解得 2 ，
4
，
所以函数 2cos(2 )4y x .
故答案为： 2cos 2 4y x
【点睛】本题主要考查三角函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16.关于下列结论：
①函数 y=2x的图象与函数 y=log2x 的图象关于 y 轴对称；
②函数 y=ax+2(a>0 且 a≠1)的图象可以由函数 y=ax 的图象平移得到；
③方程 log5(2x+1)=log5(x2-2)的解集为{-1,3}；
④函数 y=ln(1+x)-ln(1-x)为奇函数.
其中不正确的是____.
【答案】①③
【解析】
【分析】
① 利用对称的性质判断；②利用图象的平移关系判断；③解对数方程可得；④利用函数
的奇偶性判断．
【详解】① 2xy 与 2logy x 互为反函数，所以的图象关于直线 y x 对称，所以①错误；
② 2xy a 的图象可由 xy a 的图象向左平移 2 个单位得到，所以②正确；
③由 2
5 5log (2 1) log ( 2)x x 得 2
2
2 1 0
2 0
2 1 2
x
x
x x
，即
1
2
2 2
1 3
x
x x
x x
或
或
，解得 3x ．所以
③错误；
④设 ( ) (1 ) (1 )f x ln x ln x ，定义域为 ( 1,1) ，关于原点对称
( ) (1 ) (1 ) [ (1 ) (1 )] ( )f x ln x ln x ln x ln x f x
所以 ( )f x 是奇函数，所以④正确，
故不正确的结论是①③．
故答案为：①③
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判定，考查反函数和图象的平移，考查对数方程的解法，
意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本题满分 70 分）
17.（1）已知 2x=5,log4
4
5
=y,求 x+2y的值；
（2）若 sin cos
sin cos
= 1
2
,求 3sin2 -sin cos -cos2 的值.
【答案】（1）2；（2） 23
10
【解析】
【分析】
（1）先求出 2log 5x ，再利用对数的运算求值得解；（2）化简已知得 tan 3 ，再化简
3sin2 -sin cos -cos2 得解.
【详解】（1）由题得 2log 5x ，
所以 2 4 4 4 4 4
4 4 162 log 5 2log log 25 2log log (25 ) log 16 25 5 25x y .
（2）由题得 tan 1
tan 1
= 1
2
,所以 tan 3 ，
所以
3sin2 -sin cos -cos2 =
2 2 2
2 2 2
3sin sin cos cos 3tan tan 1 23
sin cos tan 1 10
.
【点睛】本题主要考查对指互化和对数的运算法则，考查同角的商数关系和三角化简求值，
意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18.已知 cosα是方程 5x2－7x－6＝0 的根，求
25 3sin( )sin( )tan (2 )tan( )2 2
3cos( )cos( )2 2
的值．
【答案】 4
3
【解析】
【分析】
先求出 3cos 5
，再化简
25 3sin( )sin( )tan (2 )tan( )2 2 = tan3cos( )cos( )2 2
，再分
类讨论得解.
【详解】由题得 1 2
3(5 3)( 2) 0, , 25x x x x ，
所以 3cos 5
.
25 3sin( )sin( )tan (2 )tan( )2 2
3cos( )cos( )2 2
3cos ( cos ) (tan )= tansin sin
当 在第二象限时，所以 4 4sin , tan5 3
；
当 在第三象限时，所以 4 4sin , tan5 3
.
综合得
25 3sin( )sin( )tan (2 )tan( )2 2
3cos( )cos( )2 2
= 4
3
【点睛】本题主要考查诱导公式的化简求值，考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这
些知识的理解掌握水平.
19.已知函数
2 9( ) -
axf x x c
是奇函数，且 (1)f =10
（1）求 ( )f x 的解析式；
（2）判断函数 ( )f x 在 0,3 上的单调性，并加以证明．
（3）函数 ( )f x 在[-3，0）上是单调增函数还是单调减函数？(直接写出答案，不要求写证明
过程)．
【答案】（1）
2 9xf x x
；（2）减函数，证明见解析；（3）减函数
【解析】
【分析】
（1）根据函数的奇偶性求出 c=0,再根据 (1)f =10 求出 a,即得解；（2）利用函数单调性的定
义证明函数的单调性；（3）根据奇函数在原点对称区间的单调性相同分析得解.
【详解】（1）因为函数
2 9( ) -
axf x x c
是奇函数，所以 ( ) ( )f x f x 。
所以
2 29 9 , 0ax ax cx c x c
.
所以
2 9( ) axf x x
，
因为 (1)f =10，所以 9 =101 , 1a a .
所以
2 9xf x x
.
（2） ( )f x 在 (0,3] 上单调递减，
证明如下：任取 1x ， 2 (0,3]x ，且 1 2x x ，
则
2 2 2 2
1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
9 9 9 9 ( )( 9)( ) ( ) x x x x x x x x x x x xf x f x x x x x x x
，
又由 1x ， 2 (0,3]x ，且 1 2x x ，
则 1 2 0x x ， 1 2 9 0x x ， 1 2 0x x ，
故 1 2( ) ) 0(f x f x ，则 1 2( ) ( )f x f x ．
所以 ( )f x 在 (0,3] 上单调递减．
（3）函数 ( )f x 在[-3，0）上单调减函数.(奇函数在原点对称区间的单调性相同).
【点睛】本题主要考查奇函数的应用，考查函数单调性的证明，意在考查学生对这些知识的
理解掌握水平.
20.已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其图象最低点的纵坐标是- 3 ,相邻的
两个对称中心是(
3
,0)和( 5
6
,0).求:
(1)f(x)的解析式；
(2)f(x)的值域；
(3)f(x)图象的对称轴.
【答案】（1） 53 cos 2 6y x
；（2） 3, 3 ；（3） 5 ,2 12
kx k Z
【解析】
【分析】
（1）由题得 3A ，再根据函数的周期求出 的值，再根据函数的图象过点 ( ,0)3
求出 的
值，即得解；（2）利用余弦函数的图象和性质求出函数的值域；（3）令 52 , ,6x k k Z
即得函数图象的对称轴方程.
【详解】（1）因为函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0),其图象最低点的纵坐标是 3 ，
所以 3A .
由题得 5 2 1 , 26 3 2
.
因为函数的图象过点 ( ,0), 2cos(2 ) 03 3
，
因为 0<φ<π，所以 5= 6
.
所以 53 cos 2 6y x
.
（2）因为 53 cos 2 6y x
，所以函数的值域为 3, 3 .
（3）令 5 52 , , ,6 2 12
kx k k Z x k Z .
所以函数的图象的对称轴为 5 ,2 12
kx k Z .
【点睛】本题主要考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数的值域和三角函数图象的对
称轴方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21.已知曲线 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为（
6
， 3 ）此点与相邻最
低点之间的曲线与 x 轴交于点（ 2
3
，0）且φ∈（-
2
，
2
）
(1)求曲线的函数表达式;
(2)用“五点法”画出函数在[0，2 ]上的图象.
【答案】（1） 3s 3y in x
；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先求出 3A ，再根据函数的周期求出 =1 ，再利用 3 3sin( )6
求出 的值，
即得解；（2）先列表，再画出函数的图象.
【详解】（1）由题得 3A ,由题得 2 2 1 , 13 6 4
.
所以 3sin( )y x ，因为 3 3sin( ) =6 3
， .
所以 3s 3y in x
.
（2）由题得
3x
3
2
3
2
2 7
3
x 0
6
2
3
7
6
5
3
2
3s 3y in x
3
2 3 0 3 0 3
2
所以函数在[0，2 ]上的图象为：
【点睛】本题主要考查三角函数的解析式的求法，考查五点法作函数的图象，意在考查学生
对这些知识的理解掌握水平.
22.已知二次函数 f(x)=x2-3ax+4,分别求满足下列条件的实数 a 的取值范围.
(1)零点均大于 1；
(2)一个零点大于 1,另一个零点小于 1；
(3)一个零点在(0,1)内,另一个零点在(6,8)内.
【答案】（1） 4 5
3 3a ；（2） 5
3a ；（3） 20 17
9 6a
【解析】
【分析】
（1）解不等式
29 16 0
3 12
(1) 1 3 4 0
a
a
f a
得解；（2）解不等式 (1) 1 3 4 0f a 得解；（3）解不
等式
(0) 4 0
(1) 1 3 4 0
(6) 36 18 4 0
(8) 64 24 4 0
f
f a
f a
f a
得解.
【详解】由二次函数的图象和性质得
（1）
29 16 0
3 12
(1) 1 3 4 0
a
a
f a
解得， 4 5
3 3a .
（2） (1) 1 3 4 0f a ，则 5
3a ．
（3）
(0) 4 0
(1) 1 3 4 0
(6) 36 18 4 0
(8) 64 24 4 0
f
f a
f a
f a
解得， 20 17
9 6a ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象特征及二次函数与二次方程之间的联系，属于基础题．
