【数学】2020届一轮复习北师大版随机事件的概率课时作业

【数学】2020届一轮复习北师大版随机事件的概率课时作业

随机事件的概率 ‎ (30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.下列事件是随机事件的是 (　　)‎ ‎①当x≥10时,lg x≥1;②当x∈R,x2-1=0有解;‎ ‎③当a∈R,关于x的方程x2+a=0在实数集内有解;‎ ‎④当sin α>sin β时,α>β.‎ A.①②　　　 B.②③‎ C.③④　　　 D.①④‎ ‎【解析】选C.①当x≥10时,lg x≥1,属于确定事件;②当x∈R,x2-1=0有解,解得x=±1,属于确定事件;③当a∈R,关于x的方程x2+a=0在实数集内有解,需要根据a的值确定是否有解,属于随机事件;④当sin α>sin β时,α>β,属于随机事件.‎ ‎2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是 (　　)‎ A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”‎ B.“至少有一个黑球”与“都是红球”‎ C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”‎ D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”‎ ‎【解析】选D.A中的两个事件是包含关系,不是互斥事件;B中的两个事件是对立事件;C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件,不是互斥关系;D中的两个事件是互斥而不对立的关系.‎ ‎3.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,‎ ‎179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任意抽取一人,估计该生的身高在155.5～‎170.5 cm之间的概率约为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选A.从已知数据可以看出,在随机抽取的这20名学生中,身高在155.5～170‎.5 cm之间的学生有8人,频率为,故可估计在该校高二年级的所有学生中任意抽取一人,其身高在155.5～170‎.5 cm之间的概率约为.‎ ‎4.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环的概率分别是0.20,0.30,0.10,则此射手在一次射击中射中8环以下的概率为 (　　)‎ A.0.90 B.‎0.30 ‎ C.0.60 D.0.40‎ ‎【解析】选D.依题意,射中8环及8环以上的概率为0.20+0.30+0.10=0.60,故射中8环以下的概率为1-0.60=0.40.‎ ‎5.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 (　　)‎ A. B. C. D.1‎ ‎【解析】选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C=A∪B,且事件A与B互斥.所以P(C)=P(A)+P(B)=+=,即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.‎ ‎【变式备选】在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车),有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里,他可乘3‎ 路或6路公共汽车到厂里,已知3路车和6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60,则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为 (　　)‎ A.0.20　　 ‎B.‎0.60　‎　 C.0.80 　　D.0.12‎ ‎【解析】选C.记“能乘上所需要的车”为事件A,则3路或6路车有一辆路过即事件发生,故P(A)=0.20+0.60=0.80.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.容量为20的样本数据,分组后的频数如表.‎ 分组 ‎[10,20)‎ ‎[20,30)‎ ‎[30,40)‎ ‎[40,50)‎ ‎[50,60)‎ ‎[60,70]‎ 频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ 则样本数据落在区间[10,40)的频率为________. ‎ ‎【解析】数据落在区间[10,40)的频率为==0.45.‎ 答案:0.45‎ ‎7.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________. ‎ ‎【解析】由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为+=.‎ 答案:‎ ‎8.一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红球的概率为,取得两个绿球的概率为,则取得两个同颜色的球的概率为________;至少取得一个红球的概率为________. 导学号 ‎ ‎【解析】由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件,取得两个同色球,只需两互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色球的概率为P=+=.‎ 记事件A为“至少取得一个红球”,事件B为“取得两个绿球”,事件A与事件B是对立事件,则至少取得一个红球的概率为P(A)=1-P(B)=1-=.‎ 答案:　‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力,出了10道智力题,每道题10分,然后作了统计,结果如表.‎ 贫困地区 参加测试的人数 ‎30‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎500‎ ‎800‎ 得60分以上的人数 ‎16‎ ‎27‎ ‎52‎ ‎104‎ ‎256‎ ‎402‎ 得60分以上的频率 发达地区 参加测试的人数 ‎30‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎500‎ ‎800‎ 得60分以上的人数 ‎17‎ ‎29‎ ‎56‎ ‎111‎ ‎276‎ ‎440‎ 得60分以上的频率 ‎(1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数).‎ ‎(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率. 导学号 ‎【解析】(1)贫困地区表格从左到右依次为0.53,0.54,0.52,0.52,0.51,0.50;发达地区表格从左到右依次为0.57,0.58,0.56,0.56,0.55,0.55.‎ ‎(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52,发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.‎ ‎10.某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表.‎ 赔付金额/元 ‎0‎ ‎1 000‎ ‎2 000‎ ‎3 000‎ ‎4 000‎ 车辆数/辆 ‎500‎ ‎130‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎120‎ ‎(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.‎ ‎(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率. 导学号 ‎【解析】(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为 ‎4 000元”,以频率估计概率得P(A)==0.15,P(B)==0.12.‎ 由表格知,赔付金额大于投保金额即事件A+B发生,且A,B互斥,‎ 所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27,故赔付金额大于投保金额的概率为0.27.‎ ‎(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100(辆),而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆),‎ 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为=0.24,因此,由频率估计概率得P(C)=0.24.‎ ‎ (20分钟　40分)‎ ‎1.(5分)(2019·襄阳模拟)有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进,每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是 (　　)‎ A.互斥但非对立事件　　　　 B.对立事件 C.相互独立事件 D.以上都不对 ‎【解析】选A.由于每人一个方向,故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的,故是互斥事件,但不是对立事件.‎ ‎【误区警示】研究对立事件要全面准确.如本题中还有可能“丙向南”、 “ 丁向南”,所以事件“甲向南”与事件“乙向南”是互斥但非对立事件 ‎2.(5分)(2018·石家庄模拟)“辽宁舰”是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰,在“辽宁舰”的飞行甲板后部有四条拦阻索,降落的飞行员须捕捉钩挂上其中一条,则为“成功着陆”,舰载机白天挂住第一条拦阻索的概率为18%,挂住第二条或第三条拦阻索的概率为62%,捕捉钩未挂住拦阻索需拉起复飞的概率约为5%,现有一架歼-15战机白天着舰演练20次,则其被第四条拦阻索挂住的次数约为 (　　)‎ A.5　　　 B.3‎ C.1　　 D.4‎ ‎【解析】选B.由题意可知舰载机被第四条拦阻索挂住的概率为1-18%-62%-5%= 15%,‎ 故其被第四条拦阻索挂住的次数约为20×0.15=3.‎ ‎【变式备选】袋中装有大小形状完全相同的红、白小球共15个,小明随机从袋中摸出一个小球,小球为红色的概率为,则袋中白球的个数为 (　　)‎ A.5　　　　　　　　 B.6‎ C.9　 D.10‎ ‎【解析】选D.由对立事件的概率公式知,摸出一个小球为白色的概率为1-=,白球个数为×15=10.‎ ‎3.(5分)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一名成员,他至少参加2个小组的概率是________,他至多参加2个小组的概率为________. ‎ ‎【解析】记恰好参加2个小组为事件A,恰好参加3个小组为事件B,随机选一名成员,恰好参加2个小组的概率P(A)=++=,恰好参加3个小组的概率P(B)==,则至少参加2个小组的概率为P(A)+P(B)=+=,至多参加2个小组的概率为1-P(B)=1-=.‎ 答案:　‎ ‎4.(12分)某校在高三抽取了500名学生,记录了他们选修A,B,C三门课的情况,如表所示.‎ ‎　　　科目 学生人数　　　‎ A B C ‎120‎ 是 否 是 ‎60‎ 否 否 是 ‎70‎ 是 是 否 ‎50‎ 是 是 是 ‎150‎ 否 是 是 ‎50‎ 是 否 否 ‎(1)试估计该校高三学生在A,B,C三门选修课中同时选修两门课的概率.‎ ‎(2)若某高三学生已选修A门课,则该学生同时选修B,C中哪门课的可能性大? 导学号 ‎【解析】(1)由频率估计概率得所求概率 P==0.68.‎ ‎(2)若某学生已选修A门课,则该学生同时选修B门课的概率为P==,‎ 选修C门课的概率为P==,‎ 因为<,所以该学生同时选修C门课的可能性大.‎ ‎【变式备选】(2017·陕西高考)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:‎ ‎(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率.‎ ‎(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.‎ ‎【解析】(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,在4月份任选一天,西安市不下雨的概率是.‎ ‎(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日,2日与3日等),这样在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为,以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为.‎ ‎5.(13分)某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查.这1 000名购物者2018年网上购物金额(单位:万元)均在区间[0.3,0.9]内,样本分组为:‎ ‎[0.3,0.4),[0.4,0.5),[0.5,0.6),[0.6,0.7),[0.7,0.8),[0.8,0.9],购物金额的频率分布直方图如图所示. 导学号 电子商务公司决定给购物者发放优惠券,其金额(单位:元)与购物金额关系如表.‎ 购物金 额分组 ‎[0.3,0.5)‎ ‎[0.5,0.6)‎ ‎[0.6,0.8)‎ ‎[0.8,0.9]‎ 发放优 惠券金额 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎(1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数.‎ ‎(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率,求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率.‎ ‎【解析】(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如表:‎ x ‎0.3≤x<0.5‎ ‎0.5≤x<0.6‎ ‎0.6≤x<0.8‎ ‎0.8≤x≤0.9‎ y ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ 频率 ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.28‎ ‎0.02‎ 这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数为 ‎50×0.4+100×0.3+150×0.28+200×0.02=96.‎ ‎(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)知 P(y=150)=P(0.6≤x<0.8)=0.28,‎ P(y=200)=P(0.8≤x≤0.9)=0.02,‎ 从而,获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)=P(y=150)+P(y=200)=‎ ‎0.28+0.02=0.3.‎ ‎【变式备选】假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图所示:‎ ‎(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率.‎ ‎(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.‎ ‎【解析】(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为=,所以估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.‎ ‎(2)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品是75个.‎ 所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是=.所以估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.‎