【数学】2019届一轮复习北师大版立体几何解答题（文）学案

【数学】2019届一轮复习北师大版立体几何解答题（文）学案

专题四 立体几何解答题（文）‎ 以直线与平面所成的角相关的综合题 ‎【背一背重点知识】‎ 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．‎ ‎①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是的角．直线与平面所成角的范围是．‎ 异面直线所成的角 如图，已知两条异面直线，经过空间任一点作直线．则把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．异面直线所成的角的范围是．‎ 二面角的平面角 如图在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则叫做二面角的平面角．二面角的范围是．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ 必备技能 ‎ 异面直线所成的角的范围是．求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题 解决 具体步骤如下 ①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形 求角；④补形法 将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ．‎ 直线与平面所成的角的范围是．求线面角方法 ‎ ‎①利用面面垂直性质定理，巧定垂足 ‎ 由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径．‎ ‎②利用三棱锥的等体积，省去垂足，‎ 在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键．确定垂足，是常规方法．可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法．从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角．因为垂线段的长度实际就是点面距h，利用三棱锥的等体积，只需求出h，然后利用进行求解．‎ ‎③妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式 ，如图所示 ．其中为直线AB与平面所成的线面角．这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用．但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴．‎ ‎（III）确定点的射影位置有以下几种方法 ‎ ‎①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；‎ ‎②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；‎ ‎③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；‎ ‎④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置 ‎ a．如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；‎ b．如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；‎ c．如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心．‎ 二面角的范围，解题时要注意图形的位置和题目的要求．求二面角的方法 ‎ ‎①直接法．直接法求二面角大小的步骤是 一作（找）、二证、三计算．即先作(找)出表示二面角大小的平面角，并证明这个角就是所求二面角的平面角，然后再计算这个角的大小．用直接法求二面角的大小，其关键是确定表示二面角大小的平面角．而确定其平面角，可从以下几个方面着手 ①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角，自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角，自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；③利用定义确定平面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；‎ ‎②射影面积法．利用射影面积公式＝ ；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等．‎ 典型例题 ‎ 例1．【2018江西抚州市高三八校联考】如图，在三棱锥中，，，，，平面平面，为的中点．‎ ‎（I）求证 平面；‎ ‎（II）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）‎ ‎【解析】试题分析 （I）利用勾股定理的逆定理得出 ‎，再用线面垂直的判定定理进行证明；（II）使用等体积法求出点到平面的距离，进一步求出与平面所成角的正弦值．‎ 试题解析 ∵，∴．‎ 又∵，∴，∴．‎ ‎∵平面平面，平面平面平面，∴平面．‎ ‎【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，属中档题；文 立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算，空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题为主．‎ 例2．【2018山东省济宁高三一模】如图，直三棱柱中，，，是棱的中点．‎ ‎（I）证明 平面平面；‎ ‎（II）若与平面所成角的正弦值为，求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）在中，得到，根据三棱柱的性质，得到，再 ‎（II）取的中点，连接，利用三棱柱的性质，得到为直线与平面所成的角，得到，进而得到几何体的体积．‎ 试题解析 （I）证明 在中，∵，是棱的中点，∴．‎ 由直三棱柱的性质知 平面，平面，∴．‎ 又，∴平面，平面，∴平面平面．‎ ‎（II）解 取的中点，连接，，则，‎ 由直三棱柱的性质知 平面，∴，又，∴平面，∴平面，‎ ‎∴为直线与平面所成的角，∴，‎ 又，，∴，，∴，即．‎ ‎∴，∴ ．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018衡水金卷（三）】如图所示，在三棱锥中，平面平面，，，，． - ‎ ‎（I）证明 平面；‎ ‎（II）若二面角的平面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【解析】【试题分析】（I）用余弦定理求得，故三角形为直角三角形，即，根据面面垂直的性质定理可知平面，所以，结合可得平面．（II）过点作，垂足为，连接．易证得即为直线与平面所成的角．计算的的长度，两者相比即得到所求线面角的正弦值为 ‎【试题解析】‎ ‎（I）在中，因为，，，‎ 所以由余弦定理，可知 ‎，‎ 所以．故，即有．‎ 又因为平面平面，且平面平面，平面，‎ 所以平面．又平面，所以．‎ 又因为，，所以平面．‎ 在中，，‎ 且 ．‎ 因此在中，得，‎ 故直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎2．【2018湖北八校高三上 期第一次联考（12月）】四棱锥中，∥， ，，为的中点．‎ ‎（I）求证 平面平面；‎ ‎（II）求与平面所成角的余弦值．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）设为的中点，连接，首先证明，由此可得，再证明，可得 ‎，由线面垂直判定定理可得面，最后由面面垂直判定定理可得结果；（II）设为的中点，连接，先证得，通过证明面面求出与面改成角的大小，故而得出结论．‎ 试题解析 （I）设为的中点，连接为的中点，，‎ 则， ‎ 又，，从而，‎ ‎ 面 ，‎ 面 面，面面．‎ 以立体几何中的距离、体积问题相关的综合题 ‎【背一背重点知识】‎ ‎（I）两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法①先证线段为异面直线的公垂线段，然后求出的长即可．②找或作出过 且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线间的距离．③找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离．④根据异面直线间的距离公式EF ＝（“±”符号由实际情况选定）求距离．‎ ‎（II）点到平面的距离 点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的距离．在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为，则点Ａ，Ｂ到平面的距离之比也为．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面的距离相等；③体积法 ‎（III）直线与平面的距离 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；‎ ‎（4）平行平面间的距离 两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离．‎ ‎（5）多面体的面积和体积公式 名称 侧面积()‎ 全面积()‎ 体 积 ()‎ 棱柱 棱柱[ ]‎ 直截面周长×[ ]‎ ‎+2 ‎ ‎·=· ‎ 直棱柱 ‎·‎ 棱锥 棱锥 各侧面积之和 ‎+‎ ‎·‎ 正棱锥 棱 棱台 各侧面面积之和 ‎++‎ ‎(++)‎ 台 正棱台 表中表示面积，分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长．‎ ‎（6）旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 侧 全 ‎ (即)‎ 表中、分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，分别表示圆台 上、下底面半径，表示半径．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 ‎ 求距离的关键是化归．即空间距离向平面距离化归，具体方法如下 ‎ ‎（I）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形．‎ ‎（II）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法．‎ ‎（III）求距离的一般方法和步骤 应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是 ①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之．异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为q，它们的公垂线AA′的长度为d，在a 上有线段A′E ＝m，b 上有线段AF ＝n，那么EF ＝（“±”符号由实际情况选定）‎ 求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点 ‎ ‎①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置．‎ ‎②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理．‎ ‎③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视．二面角的平角的常用作法有三种 ‎ 根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线．解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面．作二面角的平面角应把握先找后作的原则．此外在解答题中一般不用公式“＝ ”求二面角否则要适当扣分．‎ ‎④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质．而间接法中常用的是等积法及转移法．‎ ‎⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离．‎ 求体积常见方法 ‎①直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算；②转移法 利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法 把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法 通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质 （ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方．‎ 求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体．补形 三棱锥三棱柱平行六面体；分割 三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1 2 3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等．‎ 求体积常见技巧 当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．‎ ‎（I）几何体的“分割” 几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．‎ ‎（II）几何体的“补形” 与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．‎ ‎(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．‎ 组合体的表面积和体积的计算方法 实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体的表面积或体积的基本方法就是“分解”，将组合体分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积，然后根据组合体的结构，将整个组合体的表面积或体积转化为这些“部分的表面积或体积”的和或差． - ‎ ‎[易错提示]　空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算，组合体的表面积要根据情况决定其表面积是哪些面积之和．‎ 求解几何体体积的策略及注意问题 ‎（I）与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系．‎ ‎（II）计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．‎ ‎(3)注意求体积的一些特殊方法 分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．‎ ‎(4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018海南高三阶段性测试（二模）】如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，点为上一动点．‎ ‎（I）是否存在一点，使得线段平面？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由．‎ ‎（II）若点为的中点且，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（I）见解析（II） ‎ ‎【解析】试题分析 （I）存在点，且为的中点．要证平面，连接，，点，分别为，的中点，转证即可；（II）设点，分别为，的中点，连接，，，易得平面， ，从而得到三棱锥的体积．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）存在点，且为的中点．‎ 证明如下 ‎ 如图，连接，，点，分别为，的中点，‎ 所以为的一条中位线，，‎ 平面，平面，所以平面．‎ ‎（II）如图，设点，分别为，的中点，连接，，，并设，则，‎ ‎ ， ，‎ 由，得，解得，‎ 又易得平面，，‎ ‎ ．‎ 所以三棱锥的体积为．‎ ‎【名师点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法．①割补法 求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法 等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用 求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．‎ 例2．【2018湖北武汉高中毕业生2月调研测试】如图，在三棱锥中，，， ，，．‎ ‎（I）求三棱锥的体积；‎ ‎（II）求点C到平面的距离．‎ ‎【答案】（I）3；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）过作交于一点，利用题设中面面垂直可以得到，从而就是到平面的距离，而，从而所求体积为．（II）通过三角形可以得到，从而，利用就能计算出点到平面距离为．‎ ‎（II）在中，连接．则．‎ ‎，．‎ 在中，，，，，．设点到平面距离为，由等体积法可知．．从而点到平面距离为．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018福建莆田高三下 期教 质量检测（3月）】如图，四棱锥中，底面是平行四边形，分别为中点．‎ ‎（I）证明 平面；‎ ‎（II）若是等边三角形，平面平面，，，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（I）见解析（II） ‎ ‎【解析】试题分析 （I）取中点，连结，易证得四边形为平行四边形，进而得证；‎ ‎（II）取中点，连结，则，利用等体积转换即可得解．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）取中点，连结．‎ 因为中，分别为中点，‎ 所以．‎ 又因为四边形是平行四边形，所以．‎ 又是中点，所以，所以．所以四边形为平行四边形，所以，‎ 又平面，平面，所以平面．‎ ‎（II）取中点，连结，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又由（I）知平面，所以．‎ 又因为为中点，所以 ．所以三棱锥的体积为．‎ ‎2．【2018四川成都七中高三二诊（3月）模拟考试】如图，四棱锥中，侧棱垂直于底面，，，为的中点，平行于，‎ 平行于面，．‎ ‎（I）求的长；‎ ‎（II）求点到平面的距离 ‎【答案】（I）4；（II）‎ ‎【解析】试题分析 （I）取的中点，连接、，根据题设条件可证四边形为平行四边形，即可求出的长；（II）取的中点，由及侧棱垂直于底面可证垂直于面，即可得为点到平面的距离．‎ 试题解析 （I）取的中点，连接、．‎ 因为平行于，平行于，所以平行于，所以四点共面，‎ 因为平行于面，面与面交与，所以平行于，‎ 所以为平行四边形．所以，．‎ ‎（II）取的中点，则垂直于，因为平行于，所以平行线、的间距为，即．‎ 因为垂直于，垂直于，所以垂直于面，所以到面的距离为 解答题（共10题）‎ ‎1．【2018山东淄博市高三3月模拟】如图，已知四棱锥的底面是菱形，，为边的中点．‎ ‎（I）证明 平面平面；‎ ‎（II）若，求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）连接，得到是正三角形，得到，进而得到，再利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可得到平面平面；‎ ‎（II）先证得平面，得到几何体的高，即可利用椎体的体积公式，求得四棱锥的体积．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）证明 连接，因为底面是菱形，，所以是正三角形，‎ 所以，因为为的中点，，所以，且，‎ 所以平面，又平面，所以平面平面．‎ ‎（II）因为是正三角形，所以，在中，，所以，‎ 又，所以，所以，即，‎ 又，且，所以平面，‎ 因为，所以四棱锥的体积为．‎ ‎2．【2018上海杨浦区高三一模】如图，已知圆锥的侧面积为，底面半径和 互相垂直，且，是母线的中点． ！ ‎ ‎（I）求圆锥的体积；‎ ‎（II）求异面直线与所成角的正切值．‎ ‎【答案】（I）．（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）根据圆锥的侧面积求出，从而求出，由此能求出圆锥的体积；‎ ‎（II）取中点，连结，由是的中点知∥，则（或其补角）就是异面直线与所成角，由此能求出异面直线与所成角的大小．‎ 试题解析 （I）由题意，得， 故，从而体积．‎ 则，∴异面直线与所成角的正切值为．‎ ‎3．【2018河北石家庄高三教 质量检测（二）】如图，三棱柱中，侧面是边长为2且的菱形，．‎ ‎（I）证明 平面平面．‎ ‎（II）若，，求点到平面的距离．．‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 连接交于，连接，由条件求出，再运用判定定理证明（II）运用等体积法，算出各长度计算求得点到平面的距离 解析 （I）连接交于，连接侧面为菱形， ， ，为的中点， ，又， 平面，平面 平面 平面 ‎（II）由，，， 平面，平面 ‎ ，又，， 平面 ‎ 菱形的边长为2且， ‎ ‎ 又，， ‎ 设点B到平面的距离为，由得 ‎ 点B到平面的距离为．‎ ‎4．【2018贵州凯里市一中高三下 期开 （第一次模拟）】如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，，点在线段上，且，，平面．‎ ‎（I）求证 平面平面；‎ ‎（II）当四棱锥体积最大时，求四棱锥的表面积．‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）．‎ ‎【解析】【试题分析】（I）利用结合直角梯形，可知四边形是矩形，故，由于平面，所以，故平面．由此证得平面平面．（II）根据体积公式计算得，即只需取得最大值．利用基本不等式可求得的最大值为，再通过体积公式可计算得表面积．‎ ‎【试题解析】（I）由可得，易得四边形是矩形，∴，‎ 又平面，平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴平面平面 ‎（II）四棱锥的体积为 ，‎ 要使四棱锥的体积取最大值，只需取得最大值．‎ 由条件可得，∴，即，‎ 当且仅当时，取得最大值36．‎ ‎，，，，则，‎ ‎∴，‎ 则四棱锥的表面积为 ．4．‎ ‎5．【2018浙江温州市高三9月高考适应性测试（一模）】如图，四面体中，，平面平面．‎ ‎（I）求的长；‎ ‎（II）点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ 试题解析 （I）∵，，，∴，‎ 又∵平面平面，平面平面，∴平面，∴，‎ ‎∵，∴．‎ ‎（II）由（I）可知平面，过作于点，连接，则有平面，‎ ‎∴平面平面，‎ 过作于点，则有平面，连接，则为与平面所成的角．‎ 由，，得，∴，又∵，‎ ‎∴，又∵，∴．‎ ‎6．【2018湖北稳派教育高三上 期第二次联考】如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC=3，AB=4，AC=CC1=5，M，N分别是A1B，B1C1的中点．‎ ‎（I）求证 MN//平面ACC1A1；‎ ‎（II）求点N到平面MBC的距离．‎ ‎【答案】（I）见解析（II） ‎ ‎【解析】试题分析 （I）连结，结合几何关系可证得 ‎，结合线面平行的判断定理可得MN//平面ACC1A1；（II）由题意可得 ，且点M到平面的的距离为，利用三棱锥转换顶点体积相等可得点N到平面MBC的距离为．‎ 试题解析 （I）证明 如图，连接，因为该三棱柱是直三棱柱，，则四边形为矩形，由矩形性质得过的中点M，在中，由中位线性质得，‎ 又，，．‎ ‎ （II）解 ，，‎ 又点M到平面的的距离为，设点与平面的距离为，‎ 由可得，即，‎ 解得，即点到平面的距离为．‎ ‎7．【2018河北保定市高三上 期期末调研】如图，四面体中，、分别、的中点，，．‎ ‎（I）求证 平面； = ‎ ‎（II）求异面直线与所成角的余弦值的大小；‎ ‎（III）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）；（III）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）由已知条件得出，由计算得出，得出，再由线面垂直的判定定理得出平面；（II）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出的坐标，求出的值为，得出结果；（III）求出平面ABC的一个法向量，由点到平面的距离公式算出结果．‎ 试题解析 （I）连接OC，∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD， ‎ ‎∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD， ‎ 在△AOC中，由题设知 AO=，，AC=，‎ ‎∴AO2+CO2=AC2， ∴∠AOC=90°，即AO⊥OC， ‎ ‎∵AO⊥BD，BD∩OC=O， ‎ ‎∴AO⊥平面BCD；‎ ‎（II）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，‎ 则A（0，0，），B（，0，0），C（0，，0），D（﹣，0，0），，，，∴异面直线AD与BC所成角的余弦值大小为．‎ ‎（III）解 由（II）知 ，．‎ 设平面ABC的一个法向量为=（x，y， ），则 ，‎ 令y=1，得=（，1，），又， ‎ ‎∴点D到平面ABC的距离．‎ ‎8．【2018重庆市九校联盟高三上 期第一次联合考试】如图，直三棱柱中，侧面是正方形，．‎ ‎（I）证明 ；‎ ‎（II）当三棱锥的体积为2，时，求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（I）见解析（II） ‎ ‎【解析】试题分析 （I） 由是正方形得，易证，所以平面，从而问题得证；（II）利用等积法构建点到平面的距离的方程，解之即可．‎ 试题解析 ‎ ‎（Ⅰ）证明 如图2，‎ 由是正方形得，‎ 在直三棱柱中，，又，‎ 故平面，且平面，‎ 故，且，‎ 故平面，且平面，‎ 故．‎ ‎（Ⅱ）解 依题意得．‎ 如图，设，连接，则，‎ 设点到平面的距离为d，‎ 则，‎ 由对称性知 点C到平面的距离为．‎ ‎9．【2018河南濮阳市高三一模】如图，正方形中，，与交于点，现将沿折起得到三棱锥，，分别是，的中点．‎ ‎（I）求证 ；‎ ‎（II）若三棱锥的最大体积为，当三棱锥的体积为，且 为锐角时，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II） ．‎ 试题解析 （I）依题意易知，，，∴平面，‎ 又∵平面，∴．‎ ‎（II）当体积最大时三棱锥的高为，当体积为时，高为，‎ 中，，作于，∴，∴，‎ ‎∴为等边三角形，∴与重合，即平面，‎ 易知．‎ ‎∵平面，∴，∴，‎ ‎∴．‎ ‎10．【2018江苏淮安市等四市高三上 期第一次模拟】某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成，如图2．已知圆O的半径为10 cm，设∠BAO=θ，，圆锥的侧面积为S cm2．‎ ‎（I）求S关于θ的函数关系式；‎ ‎（II）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大．求S取得最大值时腰AB的长度．‎ ‎【答案】（I）S ，（II）侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为．‎ ‎【解析】试题分析 （I）由条件，，，所以S ，；（II）令，所以得，通过求导分析，得在时取得极大值，也是最大值．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）设交于点，过作，垂足为，‎ 在中，，，‎ 在中，，所以S ，．‎ ‎（II）要使侧面积最大，由（I）得 ‎ 令，所以得，由得 ．‎ 当时，，当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在时取得极大值，也是最大值；‎ 所以当时，侧面积取得最大值，此时等腰三角形的腰长 ‎． …… ‎ 答 侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为．‎