2015泉州质检3月份文数试卷

2015泉州质检3月份文数试卷

‎ 准考证号 姓名 ‎ ‎（在此卷上答题无效）‎ 保密★启用前 泉州市2015届普通中学高中毕业班质量检查 文 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页，满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效． ‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式： ‎ 样本数据、、…、的标准差：‎ ‎，其中为样本平均数；‎ 柱体体积公式：，其中为底面面积，为高；‎ 锥体体积公式：，其中为底面面积，为高；‎ 球的表面积、体积公式：，，其中为球的半径．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 ‎．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．下列所给的函数中，定义域为的是 A．　　　 B．　　 C．　　 D．‎ ‎2．下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是 A．　　　 B．　　 C．　　 D．‎ ‎3．若集合，，则 A．　　　 B．　　 　 C． 　　 D．‎ ‎4．若，则等于 A．　　　 B．　　 C．　　 D． ‎ ‎5．若向量，不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是 A．与　　　 B．与 C．与　　 D．与 ‎6．已知函数 则方程解的个数为 A．　　　 B．　　 C．　　 D．‎ ‎7．“”是“直线与垂直”的 A．充分而不必要条件　　　 B．必要而不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 ‎8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的结果为，则判断框中应填入 A． B．　　 　 ‎ C． 　 D．‎ ‎9．若双曲线与椭圆有相同的焦点，则椭圆的离心率为 A．　　　 B．　　 　 C．　　 D．‎ ‎10．已知为两条互不垂直的异面直线，，. 下列四个结论中，不可能成立的是 A． B．‎ C． D． ‎ ‎11．函数的图象如图所示，则函数有可能是 A． ‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎12．直线（且）与圆交于两点，记以为始边（为坐标原点），为终边的角分别为，则的值 A．只与有关 B．只与有关， ‎ C．与，都有关 D．与，都无有关 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卷的相应位置．‎ ‎13．复数等于__________．（是虚数单位） ‎ ‎14．已知中，，，，则等于__________． ‎ ‎15．若实数满足约束条件则的取值范围是 ．‎ ‎16．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验．借鉴其原理，我们也可以采用计算机随机数模拟实验的方法来估计的值：先由计算机产生对之间的均匀随机数；再统计两个数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数来估计的值. 假如统计结果是，那么可以估计_____________．（精确到）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知：等差数列中，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，是数列的前项和，试求满足的最小正整数．‎ ‎18.（本题满分分）‎ 某校为了解高一年段学生的体重情况，先按性别分层抽样获取样本，再从样本中提取男、女生体重数据，最后绘制出如下图表. 已知男生体重在的人数为．‎ ‎（Ⅰ）根据以上图表，计算体重在的女生人数的值；‎ ‎（Ⅱ）若从体重在的男生和体重在的女生中选取人进行复查，求男、女生各有一人被选中的概率；‎ ‎（Ⅲ）若体重在，，的男生人数比为，试估算高一年段男生的平均体重．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象．若函数为偶函数，求的最小值．‎ ‎20．（本题满分分）‎ 在如图1所示的多面体中，四边形是正方形，平面，，，是的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）若图2是该多面体的侧视图，求四棱锥的体积．‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 已知抛物线：的焦点到准线的距离为，过点的直线交抛物线于两点（如图所示）． ‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程； ‎ ‎（Ⅱ）有人发现，当点为抛物线的焦点时，的值与直线的方向无关．受其启发，你能否找到一个点，使得的值也与直线的方向无关．‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知函数，（），为的反函数．‎ ‎（Ⅰ）若函数在处的切线方程为，求的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，若不等式恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当时，若对任意，方程在上总有两个不等的实根，求的最小值．‎ 泉州市2015届普通中学高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准 说明：‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，或受篇幅限制、或考虑问题还不够周全，遇多种解法时，一般提供最能体现试题考查意图的最常规和最典型的解法.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ ‎ 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．‎ ‎ 1．B 2．D 3．B 4．D 5．C 6．C ‎7．A 8．A 9．C 10．B 11．A 12．B 部分试题考查意图说明：‎ 第5题 考查基底概念——不共线，平面向量的运算.‎ 第6题 考查分段函数、分类整合思想、对数运算.‎ 第7题 考查直线与直线位置关系和充要每件概念,考查运算求解能力.‎ 第8题 考查程序框图、对数运算，考查运算求解能力与推理论证能力.‎ 第9题 考查椭圆与双曲线的方程和性质，考查运算求解能力.‎ 第10题 考查空间线面位置关系及异面直线的概念，考查空间想象能力和推理论证能力.‎ 第11题 考查三角函数和函数的奇偶性、单调性，考查推理论证和抽象概括能力，考查创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想等. 根据图象的对称性和函数的奇偶性先排除C，D选项；当时，且，，，排除B.也可根据单调性，确定A或排除B. ‎ 第12题 显性考查直线与圆的位置关系，隐性考查三角函数的定义以及两角和的三角函数公式，考查推理论证和抽象概括能力以及创新意识，考查数形结合思想、特殊与一般思想、分类与整合思想等. 可考察直线与圆的交点，得到与的表达式；可考虑按定变与变定分类，特殊化地考察的值；也可通过作图，分析与倾斜角的关系判断答案.‎ 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.‎ ‎13．； 14．； 15．； 16. . ‎ 部分试题考查意图说明：‎ 第16题 本题综合考查线性规划、随机模拟方法、几何概型等知识，体现对数据处理能力的考查，体现对以频率估计概率的统计思想的考查，体现对必然与或然思想的考查。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力与推理论证能力，考查函数与方程思想等．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，‎ 因为，，‎ 所以，， …………2分 又由，得． …………4分 所以． …………6分 ‎（Ⅱ）由，得，‎ 因为，所以数列是首项 ，公比的等比数列．…8分 故． …………10分 由，可得. ‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 注意到是单调递增函数，‎ 所以满足的最小正整数的值为6． …………12分 ‎18．本小题主要考查频率分布直方图、频率分布图表、古典概型、用频率估计概率的统计思想等统计与概率的基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想等.. 满分12分.‎ 解：（Ⅰ）由男生体重数据频率分布直方图可知，体重落在区间的频率为． …………1分 因为男生体重在的人数为，‎ 所以本次抽样中男生抽取的总人数为. …………2分 因为样本是按性别分层抽样获取的，‎ 所以根据饼图描述的男，女生人数比，可知女生抽取的总人数为．…………3分 所以体重落在区间的女生人数为 ‎． …………4分 ‎（Ⅱ）体重落在区间的男生人数为. …………5分 记体重落在的名男生为，体重落在的名女生为．‎ 则事件“从体重在的男生和体重在的女生中选取人进行复查”包含的基本事件有：，，，，，，，，，，总数为. ‎ 记 “男、女生各有一人被选中” 的事件为，则事件包含的基本事件有：，， ，，，，共个. …………6分 因为事件空间中基本事件个数有限，且每个基本事件发生的可能性相同，所以该概率模型属于古典概率模型， ………7分 所以男、女生各有一人被选中的概率． …………8分 ‎（Ⅲ）因为体重在，，的男生人数比为，‎ 又由（Ⅰ）可知体重落在区间的频率为，‎ 所以男生第，，组体重数据的频率分别为，，. …………10分 因为由直方图可知，男生第，，组体重数据的频率分别为，，，‎ 所以样本中名男生的平均体重约为：‎ ‎.……11分 以样本估计总体，可以估计高一年段男生平均体重为公斤． …………12分 ‎19．本小题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象变换、函数的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等．. 满分12分.‎ 解：（Ⅰ）方法一：‎ 因为．…3分 所以由可得． …………4分 所以． …………6分 方法二：‎ 因为， …2分 所以由可得． …………3分 所以． …………5分 ‎（Ⅱ） （用方法一者此处补上化简的1分）‎ 依题意得． …………8分 因为为偶函数，可得，则，．……11分 因为，所以当时，取得最小值． …………12分 ‎20．本小题主要考查空间中直线与平面的位置关系、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等. 满分12分.‎ 解：（Ⅰ）连接，设，则为的中点.‎ 连接,则. …………1`分 又∵，且，∴，‎ ‎∴是平行四边形，. …………2分 ‎∵平面,平面，‎ ‎∴平面． …………4分 ‎（Ⅱ）∵，底面，‎ ‎∴底面， …………5分 又∵平面,∴.‎ ‎∵四边形是正方形，∴.‎ ‎∵平面,，‎ ‎∴平面. …………7分 由（Ⅰ）知 ‎ ‎∴平面． …………8分 又∵平面，∴平面平面． …………9分 ‎（Ⅱ）由侧视图可知，. …………10分 ‎∵四边形是正方形，∴．‎ ‎ ∵平面，，∴，‎ 又∵，，∴平面． ……………11分 则． …………12分 ‎21．本小题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）因为抛物线：中的几何意义就是焦点到准线的距离，‎ 所以抛物线的方程是． …………2分 ‎ ‎（Ⅱ）解法一：‎ 因为直线交抛物线于两点，所以直线的斜率必不为.‎ 设直线． …………3分 联立方程组得. …………4分 当，即时，直线与抛物线相交， …………5分 设交点的坐标为，则． …………6分 所以，同理可得，‎ 所以 ‎.（*） ……10分 若是定值，则式子（*）与的取值无关.‎ 因为当且仅当时，式子（*）与的取值无关，‎ 所以存在唯一的一个点，使得的值也与直线的方向无关（此时，恒为定值）． …………12分 解法二：‎ 由条件可知直线的斜率不为0，‎ 若直线的斜率存在，设直线， …………3分 联立方程组得， …………4分 当时，直线与抛物线相交. ……5分 设交点的坐标为，则．…………6分 所以，同理可得，‎ 所以 ‎（*） …………9分 若是定值，则式子（*）的值与无关.‎ 因为当且仅当，时，式子（*）的值与无关，‎ 所以存在点，使得恒为定值． …………10分 若直线斜率不存在，即直线：，‎ 此时，也满足． …………11分 综上可知，能找到一个点，使得的值也与直线的方向无关（如取，则恒为定值）． …………12分 ‎22．本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想等．满分14分.‎ 解：（Ⅰ）因为，‎ 所以，‎ 由，解得. ……2分 因为切点坐标为，‎ 代入函数式，可得． ……4分 ‎（Ⅱ）当时，．‎ 因为为的反函数，所以（）． ……5分 所以即.‎ 方法一：‎ 又因为，所以等价于． …………6分 令，则.‎ 解，得；解，得；解，得．‎ 所以在单调递增，在单调递减，‎ 由上可知， ……8分 故实数的取值范围是. ……9分 方法二：‎ 令，‎ 当时，因为存在，使得，‎ 所以不恒为正数. …………6分 当时，,‎ 因为，‎ 所以解，得；解，得；解，得．‎ 故在递减，在递增，‎ 所以. …………8分 令得，‎ 故实数的取值范围是. ……9分 方法三：‎ 设直线与的图象切于点，‎ 则且在直线上，‎ 所以,即直线与的图象切于点. ……8分 通过考察函数与的图象，‎ 可知不等式恒成立时，的取值范围为. ……9分 ‎（Ⅲ）解法：‎ 当时，即，．‎ 令，则.‎ 方程在上总有两个不等的实根等价于 函数的图象与轴在上有两个不同的交点． ……10分 ‎（ⅰ）当时，‎ 因为，所以，‎ 所以函数在单调递减，‎ 从而函数在内的零点最多一个，不符合题意. …11分 ‎（ⅱ）当时，因为，‎ 解，得；解，得；解，得.‎ ‎ 所以函数在单调递减，在单调递增.‎ ① 当时，因为在单调递减，‎ 所以函数在区间内的零点最多一个，不符合题意要求；……12分 ‎②当时，因为当趋于时，的值趋于正无穷大，‎ 所以当且仅当时函数在有两个零点．‎ 由得，即对恒成立.‎ 因为对任意的时，，‎ 所以，等价于.‎ 再令，则.‎ 解得；解得；解得.‎ 所以函数在单调递增，在单调递减.‎ 所以，故的解为．‎ 由得即对恒成立.‎ 因为，所以，‎ 所以的解为．‎ 所以的解为. …………13分 综合①②得. ‎ 综合（ⅰ）（ⅱ）得满足题意要求的实数的最小值为． …………14分 解法：‎ 当时，即，得．‎ 方程在上总有两个不等的实根等价于函数与的图象在上有两个不同的交点．…………10分 因为直线的斜率为，过定点，‎ 且由可得，． …………11分 所以当且仅当时，与的图象在上有两个不同的交点． …………12分 又因为对任意恒成立，‎ 所以． …………13分 综上所述，满足题意要求的实数的最小值为． …………14分