2014福建5月份质检文数试卷

2014福建5月份质检文数试卷

‎2014年福建省普通高中毕业班质量检查 文 科 数 学 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集，集合，，则等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为3，则输出的的值为 A．4 XB．‎5 C．8 D．10 ‎ ‎3．某几何体的俯视图是正方形，则该几何体不可能是 Ａ．圆柱 Ｂ．圆锥 Ｃ．三棱柱 Ｄ．四棱柱 ‎4．函数的定义域是 A． B． C． D．‎ ‎5．“”是“方程表示圆”的 Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 ‎ Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ‎6．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正边形内的概率为，下列论断正确的是 ‎ ‎ A．随着的增大，减小 B．随着的增大，增大 ‎ C．随着的增大，先增大后减小 D．随着的增大，先减小后增大 ‎ ‎7．已知，，函数的部分图象如图所示．为了得到函数的图象，只要将的图象 A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎8．已知是定义在上的奇函数，且在单调递增，若，则的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎9．若直线（）过点，则该直线在轴，轴上的截距之和的最小值为 A． 1 B．‎2 C．4 D． 8‎ ‎10．若满足，，则下列三个式子：①，②，③中为定值的式子的个数为 A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ ‎11．已知双曲线的离心率为，一条渐近线为，抛物线：的焦点为，点为直线与抛物线异于原点的交点，则 ‎ A．2 B． ‎3 C．4 D．5‎ ‎12．已知是函数的导函数，且，下列命题中，真命题是 A．若是奇函数，则必是偶函数 B．若是偶函数，则必是奇函数 C．若是周期函数，则必是周期函数 D．若是单调函数，则必是单调函数 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎13．复数__________．‎ ‎14．已知，则__________．‎ ‎15．已知满足，则的最大值是__________．‎ ‎16．在平面直角坐标系中， 是一个平面点集，如果存在非零平面向量，对于任意，均有，使得，则称为平面点集的一个向量周期．现有以下四个命题：‎ ‎①若平面点集存在向量周期，则也是的向量周期；‎ ‎②若平面点集形成的平面图形的面积是一个非零常数，则不存在向量周期；‎ ‎③若平面点集，则为的一个向量周期；‎ ‎④若平面点集（表示不大于的最大整数），则为的一个向量周期．‎ 其中真命题是＿＿＿＿（写出所有真命题的序号）．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分12分) ‎ 已知等比数列的前项和为，，。 ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和．‎ ‎18．(本小题满分12分) ‎ 如图，三棱柱的底面是正三角形，底面，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）若，且沿侧棱展开三棱柱的侧面，得到的侧面展开图的对角线长为13，求三棱锥的体积．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 某地区共有100万人，现从中随机抽查800人，发现有700人不吸烟，100‎ 人吸烟．这100位吸烟者年均烟草消费支出情况的频率分布直方图如图．‎ ‎（Ⅰ）估计这100位吸烟者年均烟草消费支出的平均数；‎ ‎（Ⅱ）据统计，烟草消费税约为烟草消费支出的40%，该地区为居民支付因吸烟导致的疾病治疗等各种费用年均约为18800万元．若将频率视为概率，当地的烟草消费税是否足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用？说明理由．‎ ‎（注：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以该小矩形底边中点的横坐标所得的积之和．）‎ ‎20．(本小题满分12分) ‎ 在平面直角坐标系中， 椭圆：过点，焦距为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设斜率为的直线过点且交椭圆于，两点，试探究椭圆上是否存在点，使得四边形为平行四边形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．(本小题满分12分) ‎ 某港湾的平面示意图如图所示， ，，分别是海岸线上的三个集镇，位于的正南方向‎6km处，位于的北偏东方向‎10km处．‎ ‎（Ⅰ）求集镇，间的距离；‎ ‎（Ⅱ）随着经济的发展，为缓解集镇的交通压力，拟在海岸线上分别修建码头，开辟水上航线．勘测时发现：以为圆心，‎3km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头的位置，使得之间的直线航线最短．‎ ‎22．(本小题满分14分) ‎ 已知函数，．‎ ‎ （Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若的最小值为0，回答下列问题：‎ ‎（ⅰ）求实数的值；‎ ‎（ⅱ）设，（）是函数图象上的两点，且曲线在点处的切线与直线平行，求证：．‎ ‎ ‎ ‎2014年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准 ‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．‎ ‎ 1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B ‎ ‎ 7．B 8．A 9．C 10．C 11．D 12．A ‎ 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．‎ ‎ 13．； 14．； 15．4； 16．②③④．‎ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，‎ 由 得 ……………………………………………………2分 解得 …………………………………………………………………………………………………4分 所以．……………………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ），…………………………………………8分 所以 ‎ ‎………………………………………………9分 ‎．………………………………………………………………………12分 ‎18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．‎ 解法一：（Ⅰ）如图，连接，交于点，连接．……………………1分 ‎∵三棱柱的侧面是矩形，∴为中点，‎ 为的中点，‎ ‎∴． ……………………3分 又∵‎ ‎∴． ……………………6分 ‎（Ⅱ）∵三棱柱侧面展开图是矩形，且对角线长为13，侧棱，‎ ‎∴三棱柱底面周长为， ……………………7分 又∵三棱柱的底面是正三角形，‎ ‎∴,,, ……………………9分 由已知得，，……………………10分 ‎∴=‎ ‎， ‎ 即三棱锥的体积为． ……………………12分 解法二：（Ⅰ）如图，取，连接．……………………1分 ‎∵三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，为的中点，‎ ‎∴， ……………………3分 又∵，‎ ‎∴， ……………………4分 又,∴． ……………………5分 ‎∵，∴∥平面． ……………………6分 ‎（Ⅱ）同解法一．‎ ‎19．本小题主要考查概率、频率分布直方图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，样本中吸烟者年均烟草消费支出的平均数约为……………………………4分 ‎ ‎（万元）． …………………5分 ‎ ‎（Ⅱ）依题意可知，该地区吸烟人数为万， …………………7分 又由（Ⅰ）知，吸烟者年均烟草消费支出的平均数约万元，‎ 所以该地区年均烟草消费税约为（万元）．…………………10分 又由于该地区居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用年均约为18800万元，它超过了当地的烟草消费税，‎ 故当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用．………12分 ‎20．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分14分．‎ 解：（Ⅰ）由已知得， ，…………………………………………………………2分 因为 ，所以， ……………………………………………… 3分 所以椭圆的方程为 ；…………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）依题意得：直线，设，，‎ 假设椭圆上存在点使得四边形为平行四边形， 则． ‎ 由得， ……………………6分 所以，．…………8分 于是即点的坐标为． ………………………………10分 又点在椭圆上，所以，整理得，此方程无解．‎ ‎…………………………………………………11分 故椭圆上不存在点，使四边形为平行四边形． ……………………………12分 ‎21．本小题主要考查解三角形、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分12分．‎ 解法一：（Ⅰ）在△中，，， ，…………………………………1分 根据余弦定理得，…………………………………3分 ‎，‎ 所以． ‎ 故，两集镇间的距离为‎14km．………………………………………5分 ‎（Ⅱ）依题意得，直线必与圆相切．设切点为，连接，则．………………6分 设，，，‎ 在△中，由，‎ 得，即， …………………………… …8分 由余弦定理得，， ……………………………10分 所以，解得， ………………………………………11分 当且仅当时，取得最小值．‎ 所以码头与集镇的距离均为km时，之间的直线航线最短，最短距离为km．…12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．‎ ‎（Ⅱ）依题意得，直线必与圆相切．设切点为，连接，则．‎ 设，则， ，………………………………………6分 在中，，所以， ………………………7分 在中，，所以，……………8分 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ． ………………………10分 因为，所以，因此当，即时，有最大值，故有最小值，此时．‎ 所以码头与集镇的距离均为km时，之间的直线航线最短，最短距离为km． …12分 ‎22．本小题主要考查函数的单调性、函数的最值、导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分14分．‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为，且．…………2分 当时，，所以在区间单调递增；…………3分 当时，由，解得；由，解得．‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为．…………4分 综上述：时，的单调递增区间是；‎ ‎ 时，的单调递减区间是，单调递增区间是．…………5分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当时，无最小值，不合题意；…………6分 当时， …………7分 令，则， ‎ 由，解得；由，解得．‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为．…………8分 故，即当且仅当时，=0．‎ 因此，． …………9分 ‎（ⅱ）因为，所以 直线AB的斜率．……10分 依题意，可得，即．令，‎ 于是=‎ ‎=． …………11分 由（ⅰ）知，当时，，于是，即成立． ………12分 ‎==．‎ 由（ⅰ）知，当时，，即，于是，‎ 即成立．‎ 综上，成立． …………14分