2018-2019学年江西省上饶市玉山县第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年江西省上饶市玉山县第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省上饶市玉山县第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知全集，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先化简集合，再求交集即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 所以.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎2．已知复数，则的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由复数的除法，化简，进而可得出其共轭复数.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以的共轭复数为.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的运算以及共轭复数，熟记除法运算法则以及共轭复数的概念即可，属于基础题型.‎ ‎3．方程表示的曲线不可能是（ ）‎ A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线 ‎【答案】B ‎【解析】分，，三种情况讨论，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当，即或时，方程可化为或，故方程表示直线；‎ ‎（2）当，即或时，方程可化为，当时，方程表示椭圆，当时，方程无解，不能表示任何曲线；‎ ‎（3）当，即时，方程可化为，表示双曲线；‎ 综上，可知方程不能表示抛物线.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查曲线与方程，用分类讨论的思想即可求解，属于基础题型.‎ ‎4．已知，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求定积分，再解方程得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查定积分，考查基本分析求解能力，属基础题..‎ ‎5．若函数的导函数的图像关于原点对称，则的解析式可能为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】逐项对所给函数求导，判断导函数的奇偶性，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ A中，因为，所以，由可得，为奇函数，其图像关于原点对称，所以A正确；‎ B中，由得，又，所以不是奇函数，不关于原点对称，所以B错；‎ C中，由得，所以，即为偶函数，所以C错；‎ D中，由得，所以，即不是奇函数，不关于原点对称，所以D错 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎6．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】化简不等式，再根据包含关系确定选项.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以或，‎ 因此“”是“”的充分不必要条件，选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充要关系，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎7．已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据命题真假列不等式，解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为“”是假命题，‎ 所以，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据命题真假求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎8．极坐标方程为表示的曲线是（ ）‎ A．双曲线 B．圆 C．两条相交直线 D．两条射线 ‎【答案】C ‎【解析】根据，得到，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，即，所以或.‎ 即极坐标方程为表示的曲线是两条相交直线.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.‎ ‎9．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题说法正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】D ‎【解析】根据空间中线线、线面、面面位置关系，逐项判断即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ A中，若，则还有可能平行；故A错；‎ B中，若，则，但可能异面、平行；故B错；‎ C中，若，则可能平行或相交；故C错；‎ D中，若，则，又，所以，即D正确.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题的真假判断，熟记空间中线线、线面、面面位置关系即可，属于常考题型.‎ ‎10．有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜是1号，2号，4号中的某一个；丁猜2号，3号，4号都不可能.若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【答案】D ‎【解析】根据条件进行推理，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为四位老师中只有一位老师猜对，所以当丁猜对时，则第一名为1号，5号，6号中的某一个；因为丙猜错，所以第一名为5号，6号中的某一个；因为乙猜错，所以第一名为6号，此时甲猜错，满足条件；‎ 当甲猜对时，第一名为3号，5号中的某一个；则乙猜也对，不满足条件；‎ 当乙猜对时，第一名为1,2,3,4,5中的某一个；因为丙猜错，所以第一名为为3号，5号中的某一个；即甲猜也对，不满足条件；‎ 当丙猜对时，第一名为1,2,4中的某一个；则乙猜也对，不满足条件；‎ 综上选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查合情推理，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎11．已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，且在第一象限，，垂足为，，则直线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据抛物线定义求得点坐标，即得点坐标，再根据斜率公式得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，‎ 因为，所以 因为点在第一象限，所以，即,‎ 从而直线的斜率为，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线定义以及斜率公式，考查基本分析求解能力，属基础题..‎ ‎12．已知是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据双曲线定义得,再根据三角形面积公式得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因为,所以,‎ 因为，所以，‎ 因此选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线定义以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ 二、填空题 ‎13．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若椭圆两焦点的极坐标分别为，长半轴长为2，则此椭圆的直角坐标方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由极坐标与直角坐标的互化，得到两焦点的直角坐标，得到椭圆半焦距，再由椭圆的长半轴长为2，求出，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为椭圆两焦点的极坐标分别为，‎ 所以焦点的直角坐标为，即，‎ 因此椭圆半焦距，设椭圆方程为，‎ 又椭圆的长半轴长为2，即，所以，‎ 因此，所求椭圆方程为.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的方程以及极坐标与直角坐标的互化，熟记公式即可，属于常考题型.‎ ‎14．已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，再反向延长交另一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出，坐标，代入条件化简即得结果.‎ ‎【详解】‎ 不妨设在上，则，‎ 因为，所以，即,‎ 因为在上，所以 ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线渐近线以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎15．一个棱长为8的正方体形状的铁盒内放置一个正四面体，且能使该正四面体在铁盒内任意转动，则该正四面体的棱长的最大值是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意得正方体内切球为正四面体外接球时，正四面体的棱长的最大，据此可解得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据题意得正方体内切球为正四面体外接球时，正四面体的棱长的最大，‎ 因为正方体内切球半径为，所以正四面体外接球半径为，‎ 因为正四面体的棱长与正四面体外接球半径关系为，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正方体内切球以及正四面体外接球，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎16．设命题：实数满足不等式；命题：函数无极值点．又已知“”为真命题，记为.命题：，若是的必要不充分条件，则正整数的值为_____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】先求命题，为真命题时实数的取值范围，再求交集得，最后根据充要关系结合二次函数图象列不等式解得的取值范围，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因为函数无极值点，‎ 所以中 因为“”为真命题，所以，‎ 因为：，‎ 而是的必要不充分条件，所以不等式的解集为一个真子集，即 从而正整数的值为1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题真假以及充要关系，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ 三、解答题 ‎17．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，曲线E的极坐标方程为.‎ ‎（1）分别求曲线C和E的直角坐标方程；‎ ‎（2）求经过曲线C与E交点的直线的直角坐标方程.‎ ‎【答案】(1)；(2) ‎ ‎【解析】（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可直接得出结果；‎ ‎（2）根据（1）的结果，两式作差，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，曲线C的直角坐标方程为：‎ ‎；‎ 曲线E的直角坐标方程为：. ‎ ‎（2）由题意得：得. ‎ 即所求直线的直角坐标方程为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，以及公共弦的方程，熟记公式即可，属于常考题型.‎ ‎18．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）； （2）或.‎ ‎【解析】（1）根据抛物线焦点求，即得结果，（2）设直线方程，并联立直线和抛物线方程，利用韦达定理化简，最后解方程得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，‎ ‎（2）由题意，直线的斜率一定不为0，‎ 可设直线方程为： ，点,且，‎ 则①‎ 联立直线和抛物线方程： ，‎ 消元得 代入①式，得或，‎ 即直线的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎19．已知五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，,CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC=，．‎ ‎（1）求证：AB平面ADE；‎ ‎（2）求平面EBC与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】（1）根据勾股定理得，再根据线面垂直判定定理得结果,（2）先根据条件证得直线DE,DA,DC两两互相垂直，再建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面EBC和平面BCF法向量，利用向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为 ，，所以 因为四边形CDEF为矩形，所以，‎ 因为,所以，‎ 因为，所以 ‎ (2)因为 ，，所以，‎ 由（1）得，所以直线DE,DA,DC两两互相垂直，‎ 故以点D为坐标原点，分别以正方向为 轴正方向建立空间直角坐标系，‎ 则E（0,0,2）A（2,0,0），C（0,4,0），B（2,2,0），F（0,4,2），‎ 设平面EBC和平面BCF法向量分别为，，‎ 则,所以，‎ 取得，‎ 同理，所以 取得 ‎ 设所求角为，则，即所求锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本论证能力与分析求解能力，属中档题.‎ ‎20．玉山一中篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”和“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才能参加“三步上篮”测试.为了节约时间，每项测试只需且必须投中一次即为合格.小华同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为.假设小华不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中相互独立.‎ ‎（1）求小华同学两项测试均合格的概率；‎ ‎（2）设测试过程中小华投篮次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】（1）先求出小华同学“立定投篮”合格的概率，再求出“三步上篮”合格的概率，即可得出结果；‎ ‎（2）先由题意确定随机变量X所有可能取值，再分别求出其对应概率，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）小华同学“立定投篮”合格的概率为，‎ ‎“三步上篮”合格的概率为，‎ 则小华同学两项测试均合格的概率为 ‎ ‎（2）由题意，随机变量X所有可能取值为2,3,4 ‎ ‎，，，其分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 数学期望为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概型、以及离散型随机变量的分布与期望，熟记概念以及概率计算公式，即可得出结果.‎ ‎21．已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过的直线与椭圆交于两点，求的面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）根据题意先求出，设出椭圆方程，再将点代入椭圆方程，求出，即可得出结果；‎ ‎（2）先设直线方程为，点,联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，弦长公式、点到直线距离，表示出的面积，进而可求出其最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为点为椭圆上一点，且有，故，‎ 所以，设椭圆的标准方程为，‎ 将点代入椭圆方程得，‎ 即椭圆的标准方程 ‎（2）结合题意，设直线方程为，点,‎ 且，联立直线和椭圆方程，‎ 消元，得，‎ 则，原点到直线距离为，‎ 则的面积，‎ 令，则（当时取等号），‎ 则，即的面积的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的方程以及椭圆中的最值问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.‎ ‎22．已知函数（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）若不等式在区间内有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)极小值，无极大值. (2) 或 ‎【解析】（1）先对函数求导，利用导数的方法研究其单调性，进而可得出极值；‎ ‎（2）先将在区间内有解，化为在区间内有解，即求时，即可，再令，用导数的方法研究的单调性，求其最小值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 当,；当时，.‎ 即函数有极小值，无极大值.‎ ‎（2）在区间内有解在区间内有解，即求时，即可 令，‎ 当时，在递减，‎ 则 ；‎ 当时，在递减，在递增 ‎①当时，‎ ‎ ‎ ‎②当时，，‎ 又 ‎ 综上，或 ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性、极值等，需要考生灵活运用分类讨论的思想求解，属于常考题型.‎