2021届高考数学一轮复习第五章数列第4讲数列的求和课件

2021届高考数学一轮复习第五章数列第4讲数列的求和课件

第 4 讲　数列的求和 课标要求 考情风向标 探索并掌握等差 数列、等比数列的 前 n 项和的公式 从近两年的高考试题来看，对等差、等比数 列的求和，以考查公式为主；对非等差、非 等比数列的求和，主要考查分组求和、裂项 相消法、错位相减法等 . 题型既有选择题、填 空题，又有解答题，属较难题目 公式法 分组求和法 裂项相消法 错位相减法 等差数列 等比数列 把一个数列 分成几个可 以直接求和 的数列 有时把一个 数列的通项 公式分成两 项差的形式， 相加过程消 去中间项，只 剩下有限项 再求和 适用于一个 等差数列和 一个等比数 列对应项相 乘构成的数 列求和 数列求和 D A 3. 数列 1 ， (1 ＋ 2) ， (1 ＋ 2 ＋ 2 2 ) ， … ， (1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n － 1 ) ， … ) D 的前 n 项之和为 ( A.2 n － 1 C.2 n ＋ 1 － n B. n ·2 n － n D.2 n ＋ 1 － n － 2 10 考点 1 公式或分组法求和 例 1 ： (20 18 年天津 ) 设 { a n } 是等差数列，其前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ) ； { b n } 是等比数列，公比大于 0 ，其前 n 项和为 T n ( n ∈ N * ). 已知 b 1 ＝ 1 ， b 3 ＝ b 2 ＋ 2 ， b 4 ＝ a 3 ＋ a 5 ， b 5 ＝ a 4 ＋ 2 a 6 . (1) 求 S n 和 T n ； (2) 若 S n ＋ ( T 1 ＋ T 2 ＋ … ＋ T n ) ＝ a n ＋ 4 b n ，求正整数 n 的值 . 【 规律方法 】 若一个数列是由等比数列和等差数列组成， 则求和时，可采用分组求和，即先分别求和，再将各部分合并 . 【 跟踪训练 】 1. (2016 年北京 ) 已知 { a n } 是等差数列， { b n } 是等比数列，且 b 2 ＝ 3 ， b 3 ＝ 9 ， a 1 ＝ b 1 ， a 14 ＝ b 4 . (1) 求 { a n } 的通项公式； (2) 设 c n ＝ a n ＋ b n ，求数列 { c n } 的前 n 项和 . 考点 2 裂项相消法求和 【 跟踪训练 】 得 [ S n － ( n 2 ＋ n )]( S n ＋ 1) ＝ 0. 由于 { a n } 是正项数列， ∴ S n >0 ， S n ＝ n 2 ＋ n . 于是 a 1 ＝ S 1 ＝ 2 ， 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ n 2 ＋ n － ( n － 1) 2 － ( n － 1) ＝ 2 n . 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 2 ＝ 2 × 1 符合上式 . 综上，数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 2 n . 【 规律方法 】 常见的裂项公式： 【 跟踪训练 】 答案： 99 考点 3 错位相减法求和 【 规律方法 】 (1) 一般地，如果数列 { a n } 是等差数列， { b n } 是等比数列，求数列 { a n b n } 的前 n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘等比数列 { b n } 的公比，然后作差求解 . (2) 在写出 “ S n ” 与 “ qS n ” 的表达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ” 以便下一步准确写出 “ S n － qS n ” 的表达式 . 【 跟踪训练 】 思想与方法 ⊙ 放缩法在数列中的 应用 (1) 解： 由题设，知 3 S n ＝ a n ＋ 1 － 2. 当 n ≥ 2 时， 3 S n － 1 ＝ a n － 2 ， 两式相减，得 3 a n ＝ a n ＋ 1 － a n ，即 a n ＋ 1 ＝ 4 a n . 又 a 1 ＝ 2,3 a 1 ＝ a 2 － 2 ，可得 a 2 ＝ 8 ， ∴ a 2 ＝ 4 a 1 . ∴ 数列 { a n } 构成首项为 2 ，公比为 4 的等比数列 . ∴ a n ＝ 2 × 4 n － 1 ＝ 2 2 n － 1 . 【 跟踪训练 】 数列求和常见类型及方法 . (1) a n ＝ kn ＋ b 型，利用等差数列的前 n 项和公式直接求解 . (2) a n ＝ a 1 q n － 1 型，利用等比数列的前 n 项和直接求解，但要注意对 q 分 q ＝ 1 与 q ≠ 1 两种情况进行讨论 . (3) a n ＝ b n ± c n ，数列 { b n } ， { c n } 是等比数列或是等差数列，采用分组求和 . (4) a n ＝ b n c n ，数列 { b n } 是等差数列， { c n } 是等比数列，采用错位相减法求和，在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号 . (5) 对于通项可化为 a n ＝ f ( n ) － f ( n － 1) 形式的数列，采用裂项相消法求和，在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项 . (6) 对于 a n － k ＋ a k ＝ c ( c 为常数 ) ，可考虑采用倒序相加求和 . (7) a n ＝ ( － 1) n f ( n ) ，可采用相邻两项合并求解，即采用 “ 并项法 ” 求和 .