【数学】2019届一轮复习苏教版第2章函数概念与基本初等函数I第7讲
第 7 讲 函数的奇偶性与周期性
考试要求 1.函数奇偶性的含义及判断(B 级要求)；2.运用函数的图象理解、研究
函数的奇偶性(A 级要求)；3.函数的周期性、最小正周期的含义，周期性的判断
及应用(B 级要求).
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数 y＝x2 在 x∈(0，＋∞)时是偶函数.( )
(2)若函数 f(x)为奇函数，则一定有 f(0)＝0.( )
(3)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称.( )
(4)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.( )
解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故 y＝x2 在(0，＋∞)上不是偶函数，
(1)错.
(2)由奇函数定义可知，若 f(x)为奇函数，其在 x＝0 处有意义时才满足 f(0)＝0，(2)
错.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(2018·苏州暑假测试)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x>0 时，f(x)＝2x－x2，
则 f(0)＋f(－1)＝________.
解析 因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－(2－1)＝
－1，因此 f(0)＋f(－1)＝－1.
答案 －1
3.(必修 1P43 习题 4 改编)已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那
么 a＋b 的值是________.
解析 依题意 b＝0，且 2a＝－(a－1)，∴a＝1
3，则 a＋b＝1
3.
答案 1
3
4. 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 函 数 ， 当 x∈[ － 1 ， 1) 时 ， f(x) ＝
{－4x2＋2，－1 ≤ x < 0，
x，0 ≤ x < 1， 则 f (3
2 )＝________.
解析 ∵f(x)的周期为 2，∴f (3
2 )＝f (－1
2 )，
又∵当－1≤x<0 时，f(x)＝－4x2＋2，
∴f (3
2 )＝f (－1
2 )＝－4×(－1
2 ) 2
＋2＝1.
答案 1
5.(2018·南京、盐城模拟)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)
上是单调增函数.如果实数 t 满足 f(ln t)＋f (ln
1
t)<2f(1)，那么 t 的取值范围是
________.
解析 ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数，∴原不等式可变为 2f(ln t)<2f(1)，即
f(ln t)
0).
考点一 函数奇偶性的判断
【例 1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3；
(2)f(x)＝lg（1－x2）
|x－2|－2
；
(3)f(x)＝{x2＋x，x < 0，
－x2＋x，x > 0.
解 (1)由{3－x2 ≥ 0，
x2－3 ≥ 0， 得 x2＝3，解得 x＝± 3，
即函数 f(x)的定义域为{－ 3， 3}，
从而 f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0.
因此 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)，
∴函数 f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由{1－x2 > 0，
|x－2| ≠ 2，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝lg（1－x2）
－x .
又∵f(－x)＝lg[1－（－x）2]
x
＝－lg（1－x2）
x
＝－f(x)，
∴函数 f(x)为奇函数.
(3)显然函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
∵当 x<0 时，－x>0，
则 f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当 x>0 时，－x<0，
则 f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知：对于定义域内的任意 x，总有 f(－x)＝－f(x)成立，∴函数 f(x)为奇函
数.
规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考
虑定义域；
(2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系.
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 f(x)＋f(－x)＝0(奇
函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.
【训练 1】 (1)(2018·扬州中 质检)给出下列四个函数：
①y＝x＋sin 2x；②y＝x2－cos x；③y＝2x＋ 1
2x；
④y＝x2＋sin x.
其中既不是奇函数，也不是偶函数的是________(填序号).
(2)(2017·镇江期末)在函数 y＝xcos x，y＝e x＋x2，y＝lg x2－2，y＝xsin x 中，偶
函数的个数是________.
解析 (1)对于①，定义域为 R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，
为奇函数；对于②，定义域为 R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为
偶函数；对于③，定义域为 R，f(－x)＝2－x＋ 1
2－x
＝2x＋ 1
2x＝f(x)，为偶函数；y＝
x2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数.
(2)y＝xcos x 为奇函数，y＝ex＋x2 为非奇非偶函数，y＝lg x2－2与 y＝xsin x 为偶
函数.
答案 (1)④ (2)2
考点二 函数的周期性
【例 2】 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1 时，f(x)＝－(x
＋2)2；当－1≤x<3 时，f(x)＝x.则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________.
解析 ∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.
∵当－3≤x<－1 时，f(x)＝－(x＋2)2；
当－1≤x<3 时，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，
f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，
f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)＝1×2 016
6 ＝336.
又 f(2 017)＝f(1)＝1，f(2 018)＝f(2)＝2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝339.
答案 339
规律方法 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考
查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.
【训练 2】 (1)(2018·淮安模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x)是定义在 R
上的奇函数，且 g(x)＝f(x－1)，则 f(2 017)＋f(2 019)＝________.
(2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋2)＝－ 1
f（x），当 2≤x≤3 时，f(x)＝
x，则 f(105.5)＝________.
解析 (1)由题意，得 g(－x)＝f(－x－1)，
又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x)是定义在 R 上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，
f(－x)＝f(x)，
∴f(x－1)＝－f(x＋1)，
∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，
∴f(x)的周期为 4，
∴f(2 017)＝f(1)，f(2 019)＝f(3)＝f(－1)，
又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，
∴f(2 017)＋f(2 019)＝0.
(2)由已知，可得 f(x＋4)＝f [(x＋2)＋2]
＝－ 1
f（x＋2）＝－ 1
－ 1
f（x）
＝f(x).
故函数的周期为 4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5).
∵2≤2.5≤3，由题意得 f(2.5)＝2.5.
∴f(105.5)＝2.5.
答案 (1)0 (2)2.5
考点三 函数性质的综合应用(多维探究)
命题角度 1 求函数值
【例 3－1】 (1)已知 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f(x)－g(x)
＝x3＋x2＋1，则 f(1)＋g(1)等于________.
(2)(2016·山东卷改编)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时，f(x)＝x 3－1；当－
1≤x≤1 时，f(－x)＝－f(x)；当 x>
1
2时，f (x＋1
2)＝f (x－1
2).则 f(6)＝________.
解析 (1)因为 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以 f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝
(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
(2)当 x>
1
2时，由 f (x＋1
2)＝f (x－1
2)，
得 f(x)＝f(x＋1)，∴f(6)＝f(1)，
又由题意知 f(1)＝－f(－1)，且 f(－1)＝(－1)3－1＝－2.
因此 f(6)＝－f(－1)＝2.
答案 (1)1 (2)2
命题角度 2 求参数值
【例 3－2】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则 a＝
________.
(2) 设 f(x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[ －1 ，1] 上，f(x) ＝
{ax＋1，－1 ≤ x < 0，
bx＋2
x＋1 ，0 ≤ x ≤ 1，其中 a，b∈R.若 f (1
2 )＝f (3
2 )，则 a＋3b 的值为
________.
解析 (1)f(x)为偶函数，则 ln(x＋ a＋x2)为奇函数，
所以 ln(x＋ a＋x2)＋ln(－x＋ a＋x2)＝0，
则 ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.
(2)因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，
所以 f (3
2 )＝f (－1
2 )且 f(－1)＝f(1)，
故 f (1
2 )＝f (－1
2 )，
从而
1
2b＋2
1
2
＋1
＝－1
2a＋1，
即 3a＋2b＝－2.①
由 f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋2
2
，
即 b＝－2a.②
由①②得 a＝2，b＝－4，从而 a＋3b＝－10.
答案 (1)1 (2)－10
命题角度 3 求取值范围
【例 3－3】 (1)(2017·南通模拟)已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则
满足 f(2x－1)3 成立的 x 的取值范
围为________.
(3) 已 知 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 当 x>0 时 ， f(x) ＝ x2 － 4x ， 则 f(x) ＝
________.
解析 (1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，
∴f(0)＝0，
又 f(x)在 R 上的周期为 2，
∴f(2)＝f(0)＝0.
又 f (－5
2 )＝f (－1
2 )＝－f (1
2 )＝－4
1
2
＝－2，
∴f (－5
2 )＋f(2)＝－2.
(2)易知 f(－x)＝2－x＋1
2－x－a
＝ 2x＋1
1－a2x，
由 f(－x)＝－f(x)，得 2x＋1
1－a2x＝－2x＋1
2x－a
，
即 1－a2x＝－2x＋a，化简得 a(1＋2x)＝1＋2x，所以 a＝1，
f(x)＝2x＋1
2x－1
，由 f(x)>3，得 00，∴f(－x)＝x2＋4x.
又 f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
则 f(x)＝－x2－4x(x<0)，
∴f(x)＝{x2－4x，x > 0，
0，x＝0，
－x2－4x，x < 0.
答案 (1)－2 (2)(0，1) (3){x2－4x，x > 0，
0，x＝0，
－x2－4x，x < 0
一、必做题
1.(2018·连云港、徐州、淮安、宿迁四市模拟)若 f(x)为定义在 R 上的奇函数，且
当 x<0 时，f(x)＝log2(2－x)，则 f(0)＋f(2)的值为________.
解析 ∵f(x)为定义在 R 上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)且 f(0)＝0，
又 x<0 时，f(x)＝log2(2－x)，∴f(－2)＝log24＝2，
∴f(2)＝－f(－2)＝－2，
∴f(0)＋f(2)的值为－2.
答案 －2
2.(2017·苏北四市二调)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足当 x≥0 时，f(x)＝log 2(x＋2)
＋(a－1)x＋b(a，b 为常数)，若 f(2)＝－1，则 f(－6)的值为________.
解析 由已知得 f(0)＝0＝1＋b，∴b＝－1，
又 f(2)＝2＋2(a－1)－1＝－1，∴a＝0，
∴f(x)＝log2(x＋2)－x－1(x≥0)，
∴f(－6)＝－f(6)＝－3＋6＋1＝4.
答案 4
3.(2017·泰州中 第一次质量检测)已知函数 f(x)是奇函数，当 x<0 时，f(x)＝x 2－
3asin
πx
2 ，且 f(3)＝6，则 a＝________.
解析 因为 f(3)＝6，f(x)是奇函数，所以 f(－3)＝－6，所以 f(－3)＝9－3asin
(－3π
2 )＝－6，所以 a＝5.
答案 5
4.(2018·启东中 阶段检测)函数 y＝f(x)是 R 上的奇函数，且满足 f(3＋x)＝f(3－x)，
当 x∈(0，3)时，f(x)＝2x，则 f(－5)＝________.
解析 由题意得 f(5)＝f(3＋2)＝f(3－2)＝f(1)＝21＝2，因为 f(x)是奇函数，所以
f(－5)＝－f(5)＝－2.
答案 －2
5.(2017·南京第三次模拟考试)已知函数 f(x)是定义在 R 上且周期为 4 的偶函数.
当 x∈[2，4]时，f(x)＝|log4(x－3
2)|，则 f (1
2 )的值为________.
解析 因为函数 f(x)是定义在 R 上且周期为 4 的偶函数，所以 f (1
2 )＝f (－1
2 )
＝f(－1
2
＋4)＝f(7
2 ).
又当 x∈[2，4]时，f(x)＝|log4(x－3
2)|，所以 f(7
2 )＝|log4(7
2－3
2)|＝|log42|＝1
2，
即 f(1
2 )＝1
2.
答案 1
2
6.(2017·镇江期末)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝x2－4x，则
不等式 f(x)>x 的解集为________.
解析 若 x<0，则－x>0，
∵当 x>0 时，f(x)＝x2－4x，
∴f(－x)＝x2＋4x，
∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，
∴f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)，
则 f(x)＝－x2－4x，x<0.
当 x>0 时，不等式 f(x)>x 等价于 x2－4x>x，
即 x2－5x>0，
得 x>5 或 x<0，此时 x>5，
即 x<0 时，不等式 f(x)>x 等价于－x2－4x>x，
即 x2＋5x<0，
得－5x 等价于 0>0，不成立，
故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞).
答案 (－5，0)∪(5，＋∞)
7.(2017·江苏押题卷)设函数 y＝f(x)是定义在 R 上的周期 T＝3 的奇函数，若
f(1)>1，f(2)＝2a－3
a＋1
，则实数 a 的取值范围为________.
解析 由题设可得 f(2)＝f(－1)＝－f(1)，因 f(1)>1，f(2)＝2a－3
a＋1
，故－2a－3
a＋1 >1，
即3a－2
a＋1 <0，解之得－10，x∈R}＝∅，则实数 a 的取值范围为
________.
解析 由题意得 f(x－1)≤f(x)恒成立.
①当 a≤0 时，f(x)＝x，满足 f(x－1)≤f(x)；
②当 a>0，x>0 时，f(x)＝{x－3a，x > 2a，
－x，0 < x ≤ a，
－a，a < x ≤ 2a，
由于 f(x)是定义在 R 上的奇函数，
所以其图象如图所示，要使 f(x－1)≤f(x)恒成立，由 y＝f(x)向右平移 1 个单位得
到 y＝f(x－1)图象，则 y＝f(x－1)的图象在 y＝f(x)图象的下方，则使点(－3a，0)
向右平移 1 个单位后落在(3a，0)的右侧，则－3a＋1≥3a，∴0
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