2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据复数运算法则得到化简的结果，进而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据复数的运算法则得到：.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的运算，属于基础题.‎ ‎2．复数，其中是虚数单位，则复数的虚部为（ ）‎ A．-1 B．-2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据复数除法运算求得，从而求得虚部.‎ ‎【详解】‎ 复数的虚部为 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的除法运算，属于基础题.‎ ‎3．下列求导计算正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数求导法则得到相应的结果.‎ ‎【详解】‎ A选项应为，‎ C选项应为，‎ D选项应为.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了函数的求导运算，数基础题.‎ ‎4．记为虚数集，设，．则下列类比所得的结论正确的是（ ）‎ A．由，类比得 B．由，类比得 C．由，类比得 D．由，类比得 ‎【答案】C ‎【解析】选项A没有进行类比，故选项A错误；选项B中取 不大于 ，故选项B错误；选项D中取 ，但是 均为虚数没办法比较大小，故选项D错误，综上正确答案为C.‎ ‎【点睛】本题考查复数及其性质、合情推理，涉及类比思想、从特殊到一般思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，属于中等难题.本题可以利用排除法，先排除B,再利用特例法取 不大于，排除B,再取 ，但是 均为虚数没办法比较大小，排除D，可得正确选项为C.‎ ‎5．下列表述正确的是（ ）‎ ‎①归纳推理是由特殊到一般的推理；‎ ‎②演绎推理是由一般到特殊的推理；‎ ‎③类比推理是由特殊到一般的推理；‎ ‎④分析法是一种间接证明法；‎ ‎⑤若，且，则的最小值是3．‎ A．①②③④ B．②③④ C．①②④⑤ D．①②⑤‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对①②③个命题逐一判断；分析法是一种直接证明法；考虑|Z+2﹣2i|=1的几何意义，表示以（﹣2，2）为圆心，以1为半径的圆，|Z﹣2﹣2i|的最小值，就是圆上的点到（2，2）距离的最小值，转化为圆心到（2，2）距离与半径的差，即可得到答案．‎ 解：归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，故①正确；‎ 演绎推理是由一般到特殊的推理，故②正确；‎ 类比推理是由特殊到特殊的推理，故③错误；‎ 分析法是一种直接证明法，故④错误；‎ ‎|z+2﹣2i|=1表示复平面上的点到（﹣2，2）的距离为1的圆，|z﹣2﹣2i|就是圆上的点，到（2，2）的距离的最小值，就是圆心到（2，2）的距离减去半径，即：|2﹣（﹣2）|﹣1=3，故⑤正确 故选：D．‎ 点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．‎ ‎6．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）‎ A． B． C．-2 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数的求导运算得到导函数，根据题干所给的垂直关系，得到方程，进而求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，，‎ ‎∵在点处的切线与直线垂直，∴，解得，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了函数的求导法则，涉及到导数的几何意义的应用，属于基础题.‎ ‎7．某个班级组织元旦晚会，一共准备了、、、、、六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排或，最后一个节目不能排，且、要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（ ）种 A．72 B．84 C．96 D．120‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先排第一个节目，同时把C、D捆绑在一起作为一个元素，按第一个节目排A还是排B分类，如果第一个是B，则第二步排最后一个节目，如果第一个是A，则后面全排列即可．‎ 详解：由题意不同节目顺序有．‎ 故选B．‎ 点睛：本题考查了排列、组合题两种基本方法 ‎(1)限制元素(位置)优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置．‎ ‎(2)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”——将“捆绑”元素在这些位置上作全排列．‎ ‎8．用数学归纳法证明“能被13整除”的第二步中，当时为了使用归纳假设，对变形正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：假设当，能被13整除， 当应化成形式，所以答案为A ‎【考点】数学归纳法 ‎9．的展开式中的系数是（ ）‎ A．1288 B．1280 C．-1288 D．-1280‎ ‎【答案】C ‎【解析】可能是，，，进而分情况,通过组合数的意义得到相应的系数.‎ ‎【详解】‎ 可能是，，，表示在8个式子中5个选，其余3个选出1，系数为；表示在8个式子中1个选，其余7个中3个选，其余选1，系数为；‎ 表示在8个式子中2个选，其余6个中一个选，其余选1，系数为，所以将展开合并同类项之后的式子中的系数是.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等。‎ ‎10．某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据先分组，后分配的原则得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，先分组，可得，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．‎ ‎11．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造函数，对函数求导得到函数的单调性，进而将原不等式转化为，，进而求解.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，设，‎ 则导数；‎ 函数在区间上，满足，则有，‎ 则有，即函数在区间上为增函数；‎ ‎，‎ 则有，解可得：；即不等式的解集为；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了函数的单调性的应用，考查了解不等式的问题；解函数不等式问题，可以直接通过函数的表达式得到结果，如果直接求解比较繁琐，可以研究函数的单调性，零点等问题，将函数值大小问题转化为自变量问题.‎ ‎12．若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：函数在上有最大值无最小值，则极大值在之间，一阶导函数有根在，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：函数在上有最大值无最小值，则极大值在 之间，设的根为，极大值点在处取得则 解得，故选C。‎ 点睛：极值转化为最值的性质：‎ ‎1、若上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为的最小值；‎ ‎2、若上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为的最大值；‎ 二、填空题 ‎13．二项式展开式中的常数项为______．‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．‎ ‎【详解】‎ 解：的展开式的通项公式为，‎ 令，求得，所以展开式中常数项为．‎ 故答案为：60．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．‎ ‎14．将数列按“第组有个数”的规则分组如下：，，，…，则第100组中的第一个数是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：前9组中共有个数,因此第9组中的最后一个数是是,所以第10组中的第一个数是．‎ ‎【考点】数列．‎ ‎15．定积分等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先根据定积分的几何意义求出，再根据定积分计算出的值，即可求解结果．‎ 详解：因为表示以为圆心，以为半径的圆的四分之一，‎ 所以，‎ 所以．‎ 点睛：本题主要考查了定积分的几何意义及微积分基本定理的应用，其中熟记定积分的几何意义和微积分基本定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎16．已知函数，若存在，使得，则实数的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（-a，-）之间距离的平方，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=ex得，y′=ex=，曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，要使f（x0）≤，则f（x0）=，然后求解a即可．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）=（x+a）2+（ex+）2，‎ 函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（-a，-）之间距离的平方，‎ 动点M在函数y=ex的图象上，N在直线y=x的图象上，‎ 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，‎ 由y=ex得，y′=ex=，解得x=-1，‎ 所以曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，最小距离d=，‎ 则f（x）≥，‎ 根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）=，‎ 此时N恰好为垂足，由KMN=-e，解得a= ．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ 三、解答题 ‎17．已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）．‎ ‎（1）设复数，求；‎ ‎（2）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】(1)先根据条件得到，进而得到，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到，根据复数对应的点在第一象限得到不等式，进而求解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴.∴.‎ 又∵为纯虚数，∴，解得．∴.‎ ‎（1），∴；‎ ‎（2）∵，∴，‎ 又∵复数所对应的点在第一象限，‎ ‎∴，解得：．‎ ‎【点睛】‎ 如果是复平面内表示复数的点，则①当，时，点位于第一象限；当，时，点位于第二象限；当，时，点位于第三象限；当，时，点位于第四象限;②当时，点位于实轴上方的半平面内；当时，点位于实轴下方的半平面内．‎ ‎18．（1）用分析法证明：；‎ ‎（2）用反证法证明：，，不能为同一等差数列中的三项．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】(1)根据分析法，将式子两边平方，进而一步步得到证明；（2）假设，，为同一等差数列的三项，则根据等差数列的通项得到，，将两个式子变形，得到进而推出矛盾.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）要证明；‎ 只要证，‎ 只要证，‎ 只要证，‎ 只要证，‎ 即证．而显然成立，故原不等式成立.‎ ‎（2）证明：假设，，为同一等差数列的三项，‎ 则存在整数，满足 ‎    ①‎ ‎   ②‎ 得：‎ 两边平方得：‎ 左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数 所以，假设不正确．故，，不能为同一等差数列中的三项 ‎【点睛】‎ 这个题目考查了反证法的应用以及分析法的应用，属于基础题，法正法主要用于要证的题目比较明显，直接证明反而不易证的题目.‎ ‎19．已知数列满足：，且．‎ ‎（1）求，，的值，并猜想的通项公式；‎ ‎（2）试用数学归纳法证明上述猜想．‎ ‎【答案】(1) ，，，猜想 (2)见解析 ‎【解析】试题分析：根据数列的递推公式求出，，的值，从而可以猜想的通项公式；根据数学归纳法的证明步骤，①当时，猜想显然成立；②假设 时猜想成立，根据递推公式只要求出 ，也就是当时，猜想也成立，从而最后得出结论。‎ 解析：（1）由递推公式可得，，，可猜想 .‎ ‎（2）下面用数学归纳法证明猜想成立.‎ ‎①当时，猜想显然成立；‎ ‎②假设 时猜想成立，即，‎ 则时，由可得 ‎ ，‎ 即：当时，猜想也成立，‎ 由①②可知，当时，.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）已知，，（其中是自然对数的底数），求证：．‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）函数的定义域为，求解导函数可得，‎ 利用导函数与原函数的单调性的关系可得f(x)的增区间是(0,e), 减区间是.‎ ‎（2）利用分析法，由于，则两边取对数，原问题等价于证明:，即.结合(1)中函数的单调性可得该不等式明显成立，故原命题得证.‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数的定义域为，且，‎ ‎∴当时,, ∴函数在上是单调递减.‎ 当0

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