2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

5.5.2 　简单的三角恒等变换 ( 二 ) 关键能力 · 合作学习 类型一　角的变换问题 ( 数学运算 ) 【 题组训练 】 1. -tan 20°= ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 2. 若 sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=0 ，则 sin(α+2β)+sin(α-2β) 等 于 ( 　　 ) A.1 B.-1 C.0 D.±1 3. 若 3sin x- cos x=2 sin(x+ φ ) ， φ ∈(-π ， π) ，则 φ =_______.  【 解析 】 1. 选 C. 原式 = 2. 选 C. 因为 sin( α + β )cos β -cos( α + β )sin β =sin( α + β - β )=sin α =0 ， 所以 sin( α +2 β )+sin( α -2 β )=2sin α cos 2 β =0. 3. 因为 3sin x- cosx ，又因为 φ ∈(- π ， π ) ， 所以 φ =- . 答案： - 　 【 解题策略 】 角的三种变换 (1) 常见的配角变换 . α=2· ， α=(α+β)-β ， α=β-(β-α) ， α= [(α+β)+(α-β)] ， β= [(α+β)-(α-β)] ， (2) 辅助角变换 . asin x+bcos x= sin(x+ φ ) ，其中 tan φ = . (3) 注意常值的代换 . 用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能用相关公式，如 1=sin 2 α+ cos 2 α ， 1=sin 90° ， =sin 30° ， =cos 30° 等 . 【 补偿训练 】 1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)- cos(θ+15°)=_______.  【 解析 】 令 α = θ +15 ° ， 则原式 =sin( α +60 ° )+cos( α +30 ° )- cos α = sin α + cos α + cos α - sin α - cos α =0. 答案： 0 2.(2020· 莒南高一检测 ) =_______.  【 解析 】 原式 = 答案： 4 类型二　三角恒等变换的实际应用问题 ( 数学建模、数学运算 ) 【 典例 】 某工人要从一块圆心角为 45° 的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为 1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积 ( 如图 ). 四步 内容 理解 题意 条件：①圆心角为 45° ，半径长为 1 m 的扇形木板； ②割出一块一边在半径上的内接长方形桌面 . 结论：求割出的长方形桌面的最大面积 . 思路 探求 连接 CO ，设∠ COB=θ ，用 θ 表示矩形的长宽，写出矩形面积关于 θ 的函数关系，进而求最值 . 【 解题策略 】 三角恒等变换实际问题的解题策略 　此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有利于表示所需线段，其次要确定角的范围 . 【 跟踪训练 】 如图所示，要把半径为 R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△ OAB 的周长最长？ 【 解析 】 设∠ AOB= α ，△ OAB 的周长为 l ，则 AB=Rsin α ， OB=Rcos α ， 所以 l =OA+AB+OB=R+Rsin α +Rcos α =R(sin α +cos α )+R= +R. 因为 0< α < ，所以 < α + < ， 所以 l 的最大值为 R+R=( +1)R ，此时， α + ，即 α = ，即当 α = 时，△ OAB 的周长最长 . 类型三　三角恒等变换与函数问题 ( 数学运算，逻辑推理 ) 　角度 1 　与三角函数性质有关的问题  【 典例 】 函数 f(x)= (1+cos 2x)·sin 2 x(x∈R) 是 ( 　　 ) A. 最小正周期为 π 的奇函数 B. 最小正周期为 的奇函数 C. 最小正周期为 π 的偶函数 D. 最小正周期为 的偶函数 【 思路导引 】 先利用三角恒等变换把解析式化简为 f(x)=Acos(ωx+ φ )+c 的形式 再解答 . 【 解析 】 选 D. 因为 f(x)= (1+cos 2x)(1-cos 2x)= (1-cos 2 2x)= sin 2 2x= (1-cos 4x). 又 f(-x)=f(x) ，所以函数 f(x) 是最小正周期为 的偶函数 . 【 变式探究 】 本例若把函数解析式改为： f(x)=sin 2 x-sin 2 ， x∈R ，试求 f(x) 的最小正周期及在区间 上的最大 值和最小值 . 【 解析 】 由已知 ，有 f(x)= 所以 f(x) 的最小正周期 T= = π . 因为 f(x) 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， ，所以 f(x) 在区间 上的最大值为 ，最小值为 - . 　角度 2 　与三角函数图象有关的问题  【 典例 】 函数 f(x)=4cos 2 cos -2sin x-|ln(x+1)| 的零点个数为 _____.  【 思路导引 】 利用三角恒等变换公式化简函数解析式后再结合图象解答 . 【 解析 】 因为 f(x)=4cos 2 cos -2sin x-|ln(x+1)| =2(1+cos x)sin x-2sin x-|ln(x+1)| =sin 2x-|ln(x+1)| ， 所以函数 f(x) 的零点个数为函数 y=sin 2x 与 y=|ln(x+1)| 图象的交点的个数， 函数 y=sin 2x 与 y=|ln(x+1)| 的图象如图， 由图知，两函数图象有 2 个交点，所以函数 f(x) 有 2 个零点 . 答案： 2 【 解题策略 】 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成 y=asin ωx+bcos ωx+k 的形式，借助辅助角公式化为 y=Asin(ωx+ φ )+k( 或 y=Acos(ωx+ φ )+k) 的形式，将 ωx+ φ 看作一个整体研究函数的性质 . 研究图象问题时用数形结合的方法直观解题，由“数”想图，借“图”解题 . 【 题组训练 】 1. 函数 f(x)=cos 2 ， x∈R ，则 f(x) ( 　　 ) A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既是奇函数，也是偶函数 D. 既不是奇函数，也不是偶函数 【 解析 】 选 D. 由 cos 2x=2cos 2 x-1 ， 得 f(x)= 所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数 . 2. 函数 f(x)=sin xcos x-ln|x| 有 _______ 个零点 .  【 解析 】 因为 f(x)=sin xcos x-ln|x|= sin2x-ln ，所以函数 f(x) 的零点个 数为函数 y= sin 2x 与 y=ln 图象的交点的个数， y= sin 2x 与 y=ln |x| 的 图象如图，由图知零点的个数为 2 个 . 答案： 2 3. 设函数 f(x)=sin 2 ωx+2 sin ωx·cos ωx-cos 2 ωx+λ(x∈R) 的图象关于 直线 x=π 对称 . 其中 ω ， λ 为常数，且 ω∈ . (1) 求函数 f(x) 的最小正周期； (2) 若 y=f(x) 的图象经过点 ，求函数 f(x) 的值域 . 【 解析 】 (1) 因为 f(x)=sin 2 ω x-cos 2 ω x+2 sin ω x·cos ω x+ λ = -cos 2 ω x+ sin 2 ω x+ λ =2sin + λ . 由直线 x= π 是 y=f(x) 图象的一条对称轴， 可得 sin = ± 1. 所以 2 ωπ - =k π + (k∈Z) ，即 ω = (k∈Z). 又 ω ∈ ， k∈Z ，所以 k=1 ，故 ω = . 所以 f(x) 的最小正周期是 . (2) 由 y=f(x) 的图象过点 ，得 f =0 ， 即 λ =-2sin 即 λ =- ，故 f(x)=2sin 函数 f(x) 的值域为 【 补偿训练 】 已知函数 f(x)=2asin ωxcos ωx+2 cos 2 ωx- (a>0 ， ω>0) 的最大值为 2.x 1 ， x 2 是集合 M={x∈R|f(x)=0} 中的任意两个元素， |x 1 -x 2 | 的最小 值为 . (1) 求 a ， ω 的值； (2) 若 f(α)= ，求 sin 的值 . 【 解析 】 (1)f(x)=asin 2 ω x+ cos 2 ω x = sin(2 ω x+ φ ) ，其中 tan φ = . 由题意知 =2 ， a>0 ，则 a=1. f(x) 的最小正周期为 π ， 则 = π ，故 ω =1. (2) 由 (1) 知 f(x)=sin 2x+ cos 2x=2sin 由 f( α )= ，知 2sin ， 即 sin 所以 sin 课堂检测 · 素养达标 1. 下列各式中，值为 的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.sin 15°cos15° B.cos 2 -sin 2 【 解析 】 选 B.A 中，原式 = B 中，原式 =cos C 中，原式 = D 中，原式 =cos 30 ° = . 2. 已知 sin 2 α = ，则 cos 2 = ( 　　 ) 【 解析 】 选 D.cos 2 3. 函数 y= sin 2x+cos 2 x 的最小正周期为 ( 　　 ) A. B. π C. D.2 π 【 解析 】 选 B. 因为 y= sin 2x+cos 2 x= sin 2x+ cos 2x+ = sin ，所以函数的最小正周期 T= = π . 4.( 教材二次开发：练习改编 ) 函数 f(x)=sin x-cos x ， x∈ 的最小值为 _______.  【 解析 】 f(x)= ， x∈ . 因为 - ，所以 f(x) min = =-1. 答案： -1 5. 已知 f(x)= sin x-cos x ，则 f 的最小正周期为 _______ ；若 f(x)= ， 则 cos =_______.  【 解析 】 因为 f(x)= sin x-cos x=2sin ， 所以 f 所以最小正周期 T=4 π . 由 f(x)= 则 cos 答案： 4 π 　 -