【数学】2019届一轮复习人教A版命题真假的判断学案

【数学】2019届一轮复习人教A版命题真假的判断学案

第2题 命题真假的判断 I．题源探究·黄金母题 ‎【例1】将下列命题改成“若，则”的形式，并判断真假 ‎（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；‎ ‎（2）负数的立方是负数；‎ ‎（3）对顶角相等．‎ ‎【解析】（1）若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．它是假命题．‎ ‎（2）若一个数是负数，则这个数的立方是负数．它是真命题．‎ ‎（3）若两个角是对顶角，则这两个角相等．它是真命题．‎ 精彩解读 ‎【试题 】人教版A版选修1-1．‎ ‎【母题评析】本题考查了假言命题的形式及其真假的判定．作为基础题，命题的四种形式及其真假的判定，是历年来高考的一个常考点．‎ ‎【思路方法】可以借助相关的基础知识判定一个命题是真命题，而判断假命题只要举一个反例即可！‎ II．考场精彩·真题回放 ‎【例2】 【2018高考北京文11】能说明“若，则”为假命题的一组的值依次为_________．‎ ‎【答案】（答案不唯一）‎ ‎【解析】试题分析：根据原命题与命题的否定的真假关系，可将问题转化为找到使“若，则”成立的，根据不等式的性质，去特值即可．‎ 试题解析：使“若，则”为假命题，则使“若，则”为真命题即可，只需取即可满足，所以满足条件的一组的值为（答案不唯一）．‎ ‎【名师点睛】本题考查不等式的运算，解决本题的核心关键在于对原命题与命题的否定真假关系的灵活转换，对不等式性质及其等价变形的充分理解，只要多取几组数值，解决本题并不困难．‎ ‎【命题意图】本题主要考查不等式的性质．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力等．‎ ‎【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．‎ ‎【难点中心】解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合题意，通过举反例应用“排除法”解题．‎ III．理论基础·解题原理 考点一 四种命题及其真假的判断 ‎（1）命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题．其中，判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题．常用小写的拉丁字母，，，，……表示命题．‎ ‎（2）四种命题及其关系 ‎①四种命题及其关系 ‎②四种命题的真假关系 同一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，互为逆否命题的两个命题同真假；互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系．因此任何一个命题的原命题、否命题、逆命题和逆否命题这四个命题中，真命题与假命题的个数总是偶数．‎ 考点二 含有逻辑联结词命题真假的判断 逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；‎ 简单命题：不含逻辑联结词的命题；‎ 复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题．‎ ‎（1）复合命题有三种形式：或（）；且（）；非（）．‎ ‎（2）复合命题的真假判断：“或”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；“且”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；“非”形式复合命题的真假判断方法：真假相对．‎ ‎（3）含逻辑联结词命题真假的等价关系：‎ ‎①真至少一个真假；‎ ‎②假都假真；‎ ‎③真都真假；‎ ‎④假至少一个假真；‎ ‎⑤真假；假真．‎ IV．题型攻略·深度挖掘 ‎【考试方向】‎ 这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解．若为新定义题，则难度加大．‎ ‎【技能方法】‎ ‎（1）写出命题的四种形式中的某种时，要注意分清原命题的条件和结论，再比较每个命题的条件和结论与原命题之间的关系．判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题等价简化，再进行判断．判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．要判断一个命题是假命题只需举出反例．‎ ‎（2）从集合的角度认识“或、且、非”：‎ ‎“或”是具有“选择性”的逻辑联结词，“或”的符号是“”，与集合的并集符号“”含义一致；“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，“且”的符号是“”，与集合的交集符号“”含义一致；“非”是具有“否定性”的逻辑联结词，“非”的符号是“”，与集合的补集符号“”含义一致．因此常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个逻辑联结词构成的命题问题．‎ ‎【易错指导】‎ ‎（1）在四种命题的构造中，否命题和逆否命题都涉及对一些词语的否定，要特别注意下表中常见词语的否定．‎ 词语 是 都是 大于 小于 至少一个 至多一个 至少个 至多有个 成立 ‎]‎ 成立 词语的否定 不是 不都是 不大于 不小于 一个也没有 至少两个 至多有个 至少有个 不成立 不成立 ‎（2）含逻辑联结词的命题的判断易错点有两处：一是对构成它的命题的真假的判断出错；二是对构成它的命题的真假的判断对，但是对含有逻辑联结词的命题的真值表中的“且”与“或”搞混，应注意“”是两真才真，一假必假；“”是一真必真，两假才假，应注意区别．‎ ‎（3）否命题与命题的否定是两个不同的概念，它们的区别如下表：‎ 否命题 命题的否定 学 ]‎ 区别 否命题是既否定其条件，又否定其结论 命题的否定只是否定命题的结论 学 。X。X。 ]‎ 否命题与原命题的真假无必然联系 命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假 V．举一反三·触类旁通 考向1 四种命题及其真假的判断 ‎【例3】【2018河南豫南九校期末考】下列说法正确的是（ ）‎ A．“函数为奇函数”是“”的充分不必要条件 B．在中，“”是“”的既不充分也不必要条件 C．若命题为假命题，则都是假命题 D．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ ‎【答案】D ‎【例4】【2018吉林长春五校1月联考】以下有关命题的说法错误的是（ ）‎ A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ B．“”是“”成立的必要不充分条件 C．对于命题，使得，则，均有 D．若为真命题，则与至少有一个为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】对于A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”正确；对于B．“”则“”，故“”是“”成立的必要不充分条件，正确；对于C．对于命题，使得，则，均有，正确；对于D．若为真命题，则与至少有一个为真命题，故D错误，故选D 学 ‎ ‎【例5】【2018超级全能生9月联考】下列说法正确的是（ ）‎ A．命题“若，则．”的否命题是“若，则．”‎ B．是函数在定义域上单调递增的充分不必要条件 C．‎ D．若命题，则 ‎【答案】D ‎【解析】“若p则q”的否命题是“若则”，所以A错．在定义上并不是单调递增函数，所以B错．不存在，C错．全称性命题的否定是特称性命题，D对，选D．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018河南郑州一模】下列说法正确的是（ ）‎ A．“若，则”的否命题是“若，则”‎ B．“若，则”的逆命题为真命题 C．，使成立 D．“若，则”是真命题 ‎【答案】D ‎2．【2018湖南十四校联考二】下列有关命题的说法中错误的是（ ）‎ A．设，则“”是“”的充要条件 B．若为真命题，则，中至少有一个为真命题 C．命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题 D．命题“，且”的否定形式是“，且”‎ ‎【答案】D ‎【解析】A．设 ，则，则当时，函数 为增函数，当 时，函数为增函数， 函数）在 上是增函数，则若，则，即|成立，则“”是“”的充要条件，故A正确；B若为真命题，则，中至少有一个为真命题，正确；C命题的逆命题是若的图象不经过第四象限，则是幂函数，错误比如函数 的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，故C正确，D．命题“，且”的否定形式是 ，故d 错误，故选D ．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大．学 ‎ ‎3．【2018江西八校4月联考】给出下列四个命题：‎ ‎①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；‎ ‎②“平面向量，的夹角是钝角”的充分不必要条件是 ‎③若命题，则；‎ ‎④命题“，使得”的否定是：“均有”．‎ 其中不正确的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C 考向2 含有逻辑联结词命题真假的判断 ‎【例6】【2018湖北八校12月联考】已知命题，且，命题，．下列命题是真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于命题，当时，且成立，故命题为真命题；对于命题，∵，其最大值为，故，为真命题，由以上可得为真，故选A．‎ ‎【例7】【2018豫南九校联考二】已知命题： ，使得；命题：在中，若，则，下列判断正确的是（ ）‎ A．为假 B．为假 C．为假 D．为真 ‎【答案】C ‎【例8】【2018福建漳州1月调研】已知命题p：椭圆25x2＋9y2＝225与双曲线x2－3y2＝12有相同的焦点；命题q：函数的最小值为，下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．()∧q C． (p∨q) D．p∧(q)‎ ‎【答案】B ‎【解析】p中椭圆为＝1，双曲线为＝1，焦点坐标分别为(0，±4)和(±4，0)，故p为假命题；q中f(x)＝，设t＝≥2(当且仅当x＝0时，等号成立)，则f(t)＝t＋在区间[2，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝，故q为真命题．所以(p)∧q为真命题，故选B．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018福建闽侯四中期末考】已知命题 “”是“”的充要条件； ，则（ ）‎ A．为真命题 B．为假命题 C．为真命题 D．为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】函数是增函数，所以，所以是充要条件，所以命题使正确的，为真命题，由图像可知和关于直线对称，没有交点，所以不存在，使，所以命题使错误的，为假命题，根据复合命题的真假可知是真命题，故选D．学 ‎ ‎2．【2018广西防城港市1月模拟】已知命题 “若，则”；命题 “若，，则”，则下列命题是真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎3．【2018华大新高考联盟1月考】设命题向量，则在方向上的投影为，命题是的必要非充分条件，则下列说法正确的是（ ）‎ A．命题是假命题 B．命题是真命题 C．命题是真命题 D．命题是真命题 ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得： ，则，则两向量的夹角为，在方向上的投影为，命题为真命题，很明显命题为假命题，‎ 逐一考查所给的选项：A．命题是真命题；B．命题是假命题；C．命题是假命题；D．命题是真命题，故选D．‎ ‎【名师点睛】为真，即p与q同时为真．为假，即p与q中至少有一个为假； ‎ 为真，即p与q至少有一个为真．为假，即p与q同时为假．‎