江西省南康中学2019届高三上学期第四次月考数学（文）试题

江西省南康中学2019届高三上学期第四次月考数学（文）试题

南康中学2018～2019学年度第一学期高三第四次大考 数 学（文）试 卷 ‎（总分:150分 考试时间:120分钟）‎ ‎ 参考公式：柱体体积公式：；锥体体积公式：；球表面积公式：；‎ 球的体积公式：‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设为第二象限的角，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3.是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ） ‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎ ‎4. 如图1，在平行四边形中，相交于点，为线段的中点，若，则（ ）‎ 图1‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知变量满足约束条件，若的取值集合为M，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若数列满足，则数列的前32项和为（　 ）‎ A．16 B．32 C．64 D．128 ‎ ‎7.已知函数，则函数的图象（ ）‎ A. 可由函数的图象向右平移个单位得到 ‎ B. 可由函数的图象向左平移个单位得到 C. 关于轴对称 D. 关于点对称 ‎8．如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC的中点，则异面直角AD1和OC1所成角的大小（　 　）‎ A． B． ‎ 图2‎ C． D． ‎ ‎9．函数在区间[﹣2，2]上的图象大致为（ 　　）‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎10.某多面体的三视图，如图3所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ ‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎11.设满足约束条件若恒成立，则实数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎12. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，若//，则_______‎ ‎14.如图4，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：‎ ‎ ①直线AM与CC1是相交直线；②直线BN与MB1是异面直线；‎ 图4‎ ‎③直线AM与BN是平行直线；④直线AM与DD1是异面直线。‎ 其中正确的结论为 （写正确的序号）‎ ‎15.已知函数恒过定点，其中且，均为正数，则的最小值是 ‎ ‎16. 为等腰直角三角形，，，是内的一点，且满足，则的最小值为 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17、（本题满分10分）‎ 等差数列中，，前n项和为，等比数列各项均为正数，，且，的公比.‎ ‎(1) 求数列与的通项公式；‎ ‎(2)若数列满足，则求数列的前项和.‎ ‎18、（本题满分12分）‎ 如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．‎ ‎（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；‎ ‎（2）求点C到平面AC1D的距离．‎ ‎19、（本题满分12分）‎ 在钝角三角形△ABC中，内角A，B，C所对的边长为已知角C为最大内角，且 ‎（1）求角C；‎ ‎（2）若,且△ABC的面积为，求的值．‎ ‎20、（本题满分12分）‎ 已知等差数列{an}的前3项分别为公比不为1的等比数列的前3项分别为 ‎（1）求数列与的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和．‎ ‎21、（本题满分12分）‎ 山东省于2015年设立了水下考古研究中心，以此推动全省的水下考古、水下文化遗产保护等工作;水下考古研究中心工作站，分别设在位于刘公岛的中国甲午战争博物院和威海市博物馆。为对刘公岛周边海域水底情况进行详细了解，然后再选择合适的时机下水探摸、打捞，省水下考古中心在一次水下考古活动中，某一潜水员需潜水米到水底进行考古作业，其用氧量包含以下三个方面：‎ ‎①下潜平均速度为米/分钟，每分钟的用氧量为升；‎ ‎②水底作业时间范围是最少10分钟最多20分钟，每分钟用氧量为0.4升；‎ ‎③返回水面时，平均速度为米/分钟，每分钟用氧量为0.32升.‎ 潜水员在此次考古活动中的总用氧量为升.‎ ‎（Ⅰ）如果水底作业时间是分钟，将表示为的函数；‎ ‎（Ⅱ）若，水底作业时间为20分钟，求总用氧量的取值范围.‎ ‎22、（本题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若对于任意成立，试求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）记，当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.‎ 南康中学2018～2019学年度第一学期高三第四次大考 数学（文）试卷参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B D C C C D A B C B B 二、填空题 ‎13.0 14.②④ 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17、解：(1)由已知可得 解得，或(舍去)，‎ ‎ ‎ ‎(2)由⑴知 ‎ ‎ ‎18．（1）证明：证：（1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥面ABC；‎ ‎∴BB1⊥AD，又∵AB=AC， D是BC的中点；‎ ‎∴AD⊥BC，BC∩BB1=B；‎ ‎∴AD⊥平面BCC1B1；‎ ‎（2）连接C1D，由（1）AD⊥平面BCC1B1，AD⊥DC1‎ ‎∴，AC1=，∴．‎ ‎==，‎ 设点C到平面AC1D的距离为d．则•d=•CC1‎ 解得d=，∴点C到平面AC1D的距离 为．…（12分）‎ ‎19． 解：（1）因为，‎ 由正弦定理可得．‎ 因为sinA≠0，所以．…（3分）‎ 因为△ABC为钝角三角形，且角C为最大内角，‎ 所以．‎ 故．…（5分）‎ ‎（2）因为△ABC的面积为，‎ 所以ab=6．…（7分）‎ 由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab=（a+b）2﹣ab，‎ 所以（a+b）2=c2+ab=18+6=24，‎ 即．…（10分）‎ 所以a，b是方程的两解，‎ 解得．…（12分）‎ ‎20．解：（I）等差数列{an}的前3项分别为1，a，b，‎ 可得2a=1+b，①‎ 公比不为1的等比数列{bn}的前3项分别为4，2a+2，3b+1，‎ 可得（2a+2）2=4（3b+1），②‎ 由①②解得a=3，b=5（a=b=1舍去），‎ 则等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，‎ 则an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；bn=4•2n﹣1=2n+1；‎ ‎（Ⅱ）＝‎ ‎＝＝﹣，‎ 则数列{cn}的前n项和Sn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．‎ ‎21.解：（Ⅰ）依题意，知下潜时间分钟，返回时间分钟，‎ 则有 ()，‎ 整理，得()‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）及题意，得 ()，‎ ‎ ∴（）.‎ 当且仅当，即时“=”成立. ‎ ‎∴当时，；‎ 又当时，；当时，. ‎ 所以，总用氧量的取值范围是.‎ ‎22、（Ⅰ） ‎ 由解得由解得 所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减 ‎ 所以当时，函数f(x)取得最小值 ‎ 因为对于任意成立，‎ 所以即可 则，由解得 所以a得取值范围是 ‎ ‎（Ⅱ）依题意得，则 由解得x>1，由解得0

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