【数学】甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高一下学期4月月考试题

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【数学】甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高一下学期4月月考试题

甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年 高一下学期4月月考试题 说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷(选择题)‎ 一、选择题(本大题共12 小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案涂在答题卡上.)‎ ‎1.下列各个角中与终边相同的是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.用秦九韶算法计算多项式在时的值时,的为 ‎ ‎  ‎ A.2 B.‎19 ‎C.14 D.33‎ ‎3.下列程序执行后输出的结果是  ‎ A.1 B.‎0 ‎C.2 D.‎ ‎4.下列各进制中,最大的值是  ‎ A. B. C. D.‎ 5. 从2004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2004人中剔除 4人,剩下的2000人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的概率为 ‎ ‎  ‎ A.不全相等 B.均不相等 ‎ C.都相等,且为 D.都相等,且为 ‎6.一钟表的秒针长,经过,秒针的端点所走的路线长  ‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 如果数据,,,的平均数是,方差是,则,,,的平均数和方差分别是   ‎ A.和 B.和 ‎ C.和 D.和 ‎8.已知,则角的终边在  ‎ A.第二象限 B.第三象限 ‎ C.第二象限或第四象限 D.第四象限 ‎9.利用随机数表法对一个容量为500编号为000,001,002,,499的产品进行抽样检验,抽取一个容量为10的样本,若选定从第12行第5列的数开始向右读数,(下面摘取了随机数表中的第11行至第15行),根据下图,读出的第3个数是   ‎ A.841 B.‎114 ‎C.014 D.146‎ ‎10.如图给出的是计算的值的一个框图,其中菱形判断框内应填入的条 件是    ‎ A. ‎? B.? C.? D.?‎ ‎11.考虑一元二次方程,其中,的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,则方程有实根的概率为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题,计算术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是,弧田面积计算公式为:弧田面积(弦乘矢矢乘矢),弧田是由圆弧(简称为弧田的弧)和以圆弧的端点为端点的线段(简称(弧田的弦)围成的平面图形,公式中“弦”指的是弧田的弦长,“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差.现有一弧田,其弦长等于,其弧所在圆为圆,若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为,则  ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案写在答题卡上.)‎ ‎13. 在空间直角坐标系中,设点是点,,关于坐标平面的对称点, 点,2, 关于轴对称点,则线段的长度等于   .‎ 14. 甲、乙、丙三人进行传球练习,球首先从甲手中传出,则第3次球恰好传回给甲的概率是  .‎ ‎15.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《四江月》: “平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地”某教师根据这首词的思想设计如图形,已知,,,, , , ,则在扇形中随机取一点求此点取自阴影部分的概率  .‎ ‎ ‎ ‎16.设函数,则的定义域为  .‎ 三、解答题(本大题共6 小题,共70分)‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:‎ 甲:82,81,79,78,95,88,93,84; ‎ 乙:92,95,80,75,83,80,90,85‎ (1) 用茎叶图表示这两组数据,并计算平均数与方差;‎ ‎(2) 现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中两个)考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 随着我国经济的发展,居民收入逐年增长.某地区2015年至2019年农村居民家庭人均纯收入(单位:千元)的数据如表:‎ 年份 ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 人均纯收入 ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ (1) 求关于的线性回归方程;‎ (2) 利用(1)中的回归方程,分析2015年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入 ‎ 的变化情况,并预测2020年该地区农村居民家庭人均纯收入为多少?‎ 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 某班同学利用国庆节进行社会实践,对,岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”.得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:‎ 组数 分组 低碳组的人数 占本组的频率 第一组 ‎,‎ ‎120‎ ‎0.6‎ 第二组 ‎,‎ ‎195‎ 第三组 ‎,‎ ‎100‎ ‎0.5‎ 第四组 ‎,‎ ‎0.4‎ 第五组 ‎,‎ ‎30‎ ‎0.3‎ 第六组 ‎,‎ ‎15‎ ‎0.3‎ (1) 补全频率分布直方图,并求,,的值;‎ (2) 求年龄段人数的中位数和众数;‎ (3) 从,岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动,其中选取3人作为领队,求选取的3名领队中年龄都在,岁的概率.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎(1) 已知函数,其中,,,1,,求函数的图象恰好经过第一、二、三象限的概率;‎ ‎(2) 某校早上开始上课,假设该校学生小张与小王在早上之间到校,且每人在该时间段内到校时刻是等可能的,求两人到校时刻相差10分钟以上的概率.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数,且.‎ (1) 求的值;‎ (2) 求的值.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知,,为的内角.‎ (1) 求证:;‎ (2) 若,求证:为钝角三角形.‎ 参考答案 ‎ 说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷(选择题)‎ 一、选择题(本大题共12 小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案涂在答题卡上.)‎ ‎1.答案 A.‎ ‎2.答案 C.‎ ‎3. 答案 A.‎ ‎4. 答案 D.‎ ‎5. 答案 C.‎ ‎6. 答案C.‎ ‎7.答案 B.‎ ‎8. 答案D.‎ ‎9.答案 B.‎ ‎10.答案 C.‎ ‎11.答案 A.‎ ‎12.答案D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案写在答题卡上.)‎ ‎13.在空间直角坐标系中,设点是点,,关于坐标平面的对称点,点,2,关于轴对称点,则线段的长度等于   .‎ 答案 .‎ 14. 甲、乙、丙三人进行传球练习,球首先从甲手中传出,则第3次球恰好传回给甲的概 率是   .‎ 答案 .‎ 14. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《四江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地”某教师根据这首词的思想设计如图形,已知,,,,,,,则在扇形中随机取一点求此点取自阴影部分的概率   .‎ 答案 . ‎ 15. 设函数,则的定义域为  .‎ 答案 ‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6 小题,共70分)‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:‎ 甲:82,81,79,78,95,88,93,84‎ 乙:92,95,80,75,83,80,90,85‎ ‎(1)用茎叶图表示这两组数据,并计算平均数与方差;‎ ‎(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.‎ 解:‎ ‎ ---------------------2分 根据所给的数据得到:,,,‎ ‎---------------------6分 ‎(2)因为甲、乙两位同学的平均数相等,但甲的方差比乙的方差小,所以甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. ------------------10分 ‎18.(本小题满分12分)‎ 随着我国经济的发展,居民收入逐年增长.某地区2015年至2019年农村居民家庭人均纯收入(单位:千元)的数据如表:‎ 年份 ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 人均纯收入 ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎(1)求关于的线性回归方程;‎ ‎(2)利用(1)中的回归方程,分析2015年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测2020年该地区农村居民家庭人均纯收入为多少?‎ 解:(1)由所给数据计算得,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以,.‎ 故所求的回归方程为. --------------------6分 ‎(2)由(1)可知,,故2015年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加1.2千元.‎ 当时,.‎ 故预测2020年该地区农村居民家庭人均纯收入为10.8千元. --------------------12分 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.‎ ‎19.(本小题满分12分)某班同学利用国庆节进行社会实践,对,岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”.得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:‎ 组数 分组 低碳组的人数 占本组的频率 第一组 ‎,‎ ‎120‎ ‎0.6‎ 第二组 ‎,‎ ‎195‎ 第三组 ‎,‎ ‎100‎ ‎0.5‎ 第四组 ‎,‎ ‎0.4‎ 第五组 ‎,‎ ‎30‎ ‎0.3‎ 第六组 ‎,‎ ‎15‎ ‎0.3‎ ‎(1)补全频率分布直方图,并求,,的值;‎ ‎(2)求年龄段人数的中位数和众数;‎ ‎(3)从,岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动,其中选取3人作为领队,求选取的3名领队中年龄都在,岁的概率.‎ 解:(1)第二组的概率为,‎ 所以高为.频率直方图如右图:‎ 第一组的人数为,频率为,‎ 所以.‎ 由题可知,第二组的频率为0.3,所以第二组的人数为,‎ 所以,第四组的频率为,‎ 所以第四组的人数为,所以A=150×0.4=60.---------------------6分 ‎(2)中位数为35,众数为32.5 -------------------10分 ‎(3)因为,岁年龄段的“低碳族”与,岁年龄段的 ‎“低碳族”的比值为,‎ 所以采用分层抽样法抽取6人,,岁中有4人,,岁中有2人.‎ 由于从6人中选取3人作领队的所有可能情况共种,‎ 其中从,岁中的4人中选取3名领队的情况有种,‎ 故选取的3名领队中年龄都在,岁的概率为. ------------------12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎(1)已知函数,其中,,,1,,求函数的图象恰好经过第一、二、三象限的概率;‎ ‎(2)某校早上开始上课,假设该校学生小张与小王在早上之间到校,且每人在该时间段内到校时刻是等可能的,求两人到校时刻相差10分钟以上的概率.‎ 解:(1)若函数的图象恰好经过第一、二、三象限,‎ 则满足,即,即,‎ 当时,,或满足条件.‎ 当时,,满足条件.即函数图象过第一、二、三象限的,有3种组合,‎ ‎,,,1,,‎ ‎,的组合有种组合,对应的概率 -------------------6分 ‎(2)设小张与小王的到校时间分别为后第分钟,第分钟,‎ 则满足,‎ 由题意可画出图形,‎ 则总事件所占的面积为.‎ 两人到校时刻相差10分钟,‎ 则满足 作出对应的区域如图:‎ 由得,即,‎ 由,得,即,‎ 则三角形的面积,‎ 则阴影部分的面积和,‎ 则两人到校时刻相差10分钟以上的概率 ‎ -------------------12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数,且.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的值.‎ 解:(1)因为,‎ ‎,‎ ‎, --------------------3分 故. --------------------6分 ‎(2),‎ ‎. --------------------12分 ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知,,为的内角.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,求证:为钝角三角形.‎ 解(1)∵在中,, --------------------2分 ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴. --------------------6分 ‎(2)∵,‎ ‎∴即.‎ 又,,,∴,∴,‎ 即,或,,‎ ‎∴为钝角或为钝角,∴为钝角三角形. --------------------12分
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