浙江省嘉兴市2012届高三数学二模测试试题 理 新人教A版

浙江省嘉兴市2012届高三数学二模测试试题 理 新人教A版

‎2012年高三教学测试（二）‎ 理科数学 试题卷 注意事项：‎ ‎ 1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;‎ ‎ 2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 参考公式：‎ 如果事件A，B互斥，那么 ‎．‎ 如果事件A，B相互独立，那么 ‎．‎ 如果事件A在一次试验中发生的概率是，‎ 那么次独立重复试验中事件恰好发生次 的概率 ‎ ．‎ 球的表面积公式 ‎，‎ 其中R表示球的半径．‎ 球的体积公式 ‎，‎ 其中R表示球的半径．‎ 棱柱的体积公式 ‎，‎ 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高．‎ 棱锥的体积公式 ‎，‎ 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高．‎ 棱台的体积公式 ‎，‎ 其中分别表示棱台的上、下底面积，表示棱台的高．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设集合，，则 A． B． C． D． ‎ ‎2．若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为 A．-2 B．‎2 ‎ C． D． ‎ ‎3．已知非零向量、，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．下列函数中，最小正周期为的奇函数是 ‎（第5题）‎ A．‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎5．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 A．－8‎ B．－2‎ C．－1‎ D．0‎ ‎6．已知直线和平面、，则下列结论一定成立的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎ ‎7．有6个人站成前后两排，每排3人，若甲、乙两人左右、前后均不相邻，则不同的站法种数为 A．240 B．‎384 ‎ C．480 D．768‎ ‎8．设实数满足：，则的最小值是 A． B． C．1 D．8‎ ‎9．设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于、两点，与双曲线的其中一个交点为，设为坐标原点，若，且，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数（），设， ，若函数有四个零点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）‎ ‎11．不等式的解集是 ▲ ．‎ ‎12．若二项式展开式中的常数项为60，则实数的值为 ▲ ．‎ ‎13．已知等差数列的前项和为，且，，则 ▲ ．‎ ‎14．在中，角的对边分别为，若，则 ▲ ．‎ ‎15．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 ▲ ．‎ ‎（第15题）‎ ‎16．已知抛物线的焦点为，经过的直线与 抛物线相交于、两点，则以为直径的圆在轴上所截得的弦长的最小值是 ▲ ．‎ ‎17．甲、乙两人进行“石头、剪子、布”游戏．开始时每人拥有3张卡片，每一次“出手”（双方同时）：若分出胜负，则负者给对方一张卡片；若不分胜负，则不动卡片．规定：当一人拥有6张卡片或“出手”次数达到6次时游戏结束．设游戏结束时“出手”次数为，则 ▲ ．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共72分）‎ ‎18．（本题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的值． ‎ ‎19．（本题满分14分）‎ 在等差数列和等比数列中，，，()，且成等差数列，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列、的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前和为，若恒成立，求常数的取值范围．‎ ‎20．（本题满分14分）‎ 如图，三棱柱的各棱长均为2，侧面底面，侧棱与底面所成的角为．‎ ‎（Ⅰ）求直线与底面所成的角；‎ ‎（第20题）‎ ‎（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（本题满分15分）‎ 已知点是圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，记点的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设，点、在曲线上，且直线与直线的斜率之积为，求的面积的最大值．‎ ‎22．（本题满分15分）‎ 已知为常数，，函数，．（其中是自然对数的底数）‎ ‎（Ⅰ）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证：；‎ ‎（Ⅱ）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．‎ ‎2012年高三教学测试（二）‎ 理科数学 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．A； 2．D； 3．A； 4．B； 5．C；‎ ‎6．D； 7．B； 8．B； 9．C； 10．C．‎ ‎9．提示：，代入，得，代入双曲线方程，得，即可得；‎ ‎10．提示：作函数的图象，且解方程得，即交点，又函数有四个零点，即函数的图象与直线有四个不同的交点，由图象知，点在的上方，所以 ‎，解得．‎ 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）‎ ‎11．；12．；13．84；14．；15．；16．；17．．‎ ‎17．提示：，，‎ ‎，．‎ 三、解答题（本大题共5小题，第18－20题各14分，第21、22题各15分，共72分）‎ ‎18．（本题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的值． ‎ 解：（Ⅰ） ‎ ‎． …4分 由，得（）．‎ ‎∴函数的单调递增区间是（）． …6分 ‎（Ⅱ）∵，∴，． …8分 ‎∵，∴，‎ ‎． …11分 ‎∴． …14分 ‎19．（本题满分14分）‎ 在等差数列和等比数列中，，，()，且成等差数列，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列、的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前和为，若恒成立，求常数的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．‎ 由题意，得，解得． …3分 ‎∴，． …7分 ‎（Ⅱ）． …9分 ‎∴． …11分 ‎∴． …12分 ‎∴恒成立，即．‎ 令，则，所以单调递增．‎ 故，即常数的取值范围是． …14分 ‎20．（本题满分14分）‎ 如图，三棱柱的各棱长均为2，侧面底面，侧棱与底面所成的角为．‎ ‎（Ⅰ）求直线与底面所成的角；‎ 第20题 ‎（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．‎ 解：（Ⅰ）过作于，‎ ‎∵侧面平面， ‎ ‎∴平面，‎ ‎∴．‎ 又∵是菱形，∴为的中点． …2分 以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，‎ 则,,,,, ‎ ‎∴,又底面的法向量 …4分 设直线与底面所成的角为，则,∴‎ 所以，直线与底面所成的角为． …7分 ‎（Ⅱ）假设在线段上存在点，设=，‎ 则，，．…8分 设平面的法向量，则．‎ 令，则，， ． …10分 设平面的法向量，则 令，则，，． …12分 要使平面平面，则=．‎ ‎． ． …14分 ‎21．（本题满分15分）‎ 已知点是圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，记点的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设，点、在曲线上，且直线与直线的斜率之积为，求的面积的最大值．‎ 解：（I）设，，则．，，‎ ‎，故点的轨迹方程：. …6分 ‎（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，设．‎ 则，，，不合题意． …7分 ‎（2）当直线的斜率存在时，设，,‎ 联立方程，得．‎ ‎，，． …9分 又，‎ 即．‎ 将，代入上式，得．‎ 直线过定点． …11分 ‎ ． …13分 令，即，．‎ 当且仅当时，． …15分 ‎22．（本题满分15分）‎ 已知为常数，，函数，．（其中是自然对数的底数）‎ ‎（Ⅰ）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证：；‎ ‎（Ⅱ）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．‎ 解：（I）（）． …2分 所以切线的斜率，‎ 整理得. …4分 显然，是这个方程的解，又因为在上是增函数，‎ 所以方程有唯一实数解．故． …6分 ‎（Ⅱ），． …8分 设，则．‎ 易知在上是减函数，从而． …10分 ‎（1）当，即时，，在区间上是增函数．‎ ‎，在上恒成立，即在上恒成立．‎ 在区间上是减函数．‎ 所以，满足题意． …12分 ‎（2）当，即时，设函数的唯一零点为，‎ 则在上递增，在上递减. 又∵，∴．‎ 又∵，‎ ‎∴在内有唯一一个零点，‎ 当时，，当时，.‎ 从而在递减，在递增，与在区间上是单调函数矛盾．‎ ‎∴不合题意．‎ 综合（1）（2）得，． …15分