2015年5月三明市普通高中毕业班质量检查文科数学试题含答案

2015年5月三明市普通高中毕业班质量检查文科数学试题含答案

‎2015年三明市普通高中毕业班质量检查 文 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎ 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ ‎ 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎ 4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式 ‎ 　　 ‎ 其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 ‎ ，‎ 其中S为底面面积，h为高 其中为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 ‎ ‎ 目要求的．‎ ‎1．已知集合，集合，则等于 A．　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．‎ ‎2．已知复数满足为虚数单位），则 A．　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　D． ‎ ‎3．下列有关命题的说法中，正确的是 A．， ‎ B．，使得 ‎ C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 ‎4．阅读如图所示的程序框图，则输出的的值是 ‎ ‎ A.14 B.20 ‎ C.30 D.55 ‎ ‎5．函数的图象在处的切线方程为 A． B． C． D．‎ ‎6．抛物线上的点到直线的距离等于4，则到焦点的距离 A．1　　　　 　B．‎2　‎　　　 　C．3　　　 　　D．4 ‎ ‎7．已知实数满足，则事件“点与点分别位于直线 两侧”的概 率为 ‎ A．　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　D． ‎ ‎8．已知圆的方程为，过直线上一点作圆的切线，‎ 切点为，则的最小值为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．如图是某几何体的三视图，且正视图与侧视图相同，则这 个几何体的表面积是 A．　　　　　　 B．‎ C．　 　　　 D． ‎ ‎10．函数的最小值和最大值分别是 ‎ A．，4 B．0，‎4 ‎‎ ‎‎ C．，2 D．0，2‎ ‎11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，斜率为的直线经过双曲线 ‎ 的右焦点与双曲线在第一象限交于点，若是等腰三角形，则双曲线的离心率为 A．　　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．‎ ‎12．已知函数设方程的根按从小到大的顺序得到数列，，，‎ ‎，那么等于 A．8 B．‎9 C．10 D．11‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎13．某班共有学生54人，其中男生30人，为了调查该班学生对国学的兴趣情况，现按性别采用分层抽样 的方法抽取一个容量为18的样本，则样本中女生的人数为 ．‎ ‎14．已知数列是公比大于1的等比数列，其前项和为，且是方程的两根，则 ．‎ ‎15．在△中，角，，所对的边分别是，，，若，则的最大值 为 ．‎ ‎16．如图，三条平行直线把平面分成①、②、③、④‎ 四个区域（不含边界），且直线到的距离相等．点 在直线上，点在直线上，为平面区域内的点，‎ 且满足．若所在的区域 为④,则的取值范围是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 如图，在多面体中，和都垂直于平面，‎ 且，，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求多面体的体积．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某市园林管理处为了了解在某片土地上培育的树苗的生长情况，在树苗种植一年后，从中随机抽取10株，测得它们的高度（单位：cm），并将数据用茎叶图表示（如图），已知，且．‎ ‎ ‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎4 6‎ ‎6 4 2‎ ‎14‎ ‎2 4 8‎ ‎(Ⅰ) 若这10株树苗的平均高度为‎130cm，求值；‎ ‎（Ⅱ）现从高度在和内的树苗中随机抽取两株，若这两株树苗平均高度不高于‎139cm的概率为，求的可能取值．‎ ‎19．(本小题满分12分) ‎ 已知向量，，函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的零点；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求的值．‎ ‎20．(本小题满分12分) ‎ 已知等差数列的前和为，且．‎ ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，集合， ‎ ‎ （ⅰ）求；‎ ‎（ⅱ）若，求的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：（）的离心率为，其左、右焦点分别是和，过点的直线交椭圆于，两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求三角形的面积；‎ ‎（Ⅲ）在椭圆上是否存在点，使得点同时满足：①过点且平行于的直线与椭圆有且 只有一个公共点；②线段的中点在直线上？若存在，求出点的坐标；否则请说明理由．‎ ‎22．(本小题满分14分) ‎ 设函数，是的导函数，且和分别是的两个极值 点．‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若对于，，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎2015年三明市普通高中毕业班质量检查 文科数学参考答案及评分标准 一、选择题：‎ ‎1－6 BCDCBC 7—12 BACADB 二、填空题：‎ ‎13．8 14．7 15．4 16．‎ 三、解答题：‎ ‎17．解：（Ⅰ）因为和都垂直平面，所以∥，‎ 又平面，平面，‎ 所以∥平面． …………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）因为和都垂直平面，所以∥，‎ 则四边形是直角梯形， ………………………………（6分）‎ 在平面内过点作∥，交于点，‎ 因为，，，………………（7分）‎ 在直角三角形中，，‎ 所以，……………………………………（8分）‎ 在直角三角形中，，…………（9分）‎ 因为，，所以平面，‎ 而四边形的面积，………………（10分）‎ 因此多面体的体积为． …………………………………（12分）‎ ‎18．解：（Ⅰ）设高度高在的另一株高度为（其中），‎ 由，‎ 得，于是． ……………………………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）由题知，从高度在和内的树苗中随机选取两株有以下10种选法：‎ ‎（132，134），（132，136），（134，136），（132，146），（134，146），（136，146），‎ ‎（132，），（134，），（136，），（146，），（其中） ………………（7分）‎ 则前六组的平均数分别为133，134， 135，139，140，141，有4组平均高度不高于139，‎ 由于，后四组中只能有一组的平均高度不高于139，………………………………（10分）‎ 显然是（132，）这一组满足题意．‎ 又由，得，注意到，于是． …………………（12分）‎ ‎19．解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ ，…………………………………………………………………………（3分）‎ ‎ 由，得，所以，‎ ‎ 所以函数的零点为． ……………………………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，………………………………（8分）‎ 因为，所以，则，…………………………………（10分）‎ 所以 ‎ ． ………………………………………………………（12分）‎ ‎20．解：(Ⅰ)设等差数列的公差为，由，，‎ ‎ 且，得解得，，‎ ‎ 所以数列的通项公式为．…………………………………………（4分）‎ ‎ （Ⅱ）由(Ⅰ)知，所以，…………（6分）‎ ‎ （ⅰ）‎ ‎ ． …………………………………………………………………………（8分）‎ ‎ （ⅱ）因为，‎ ‎ 所以数列是递增数列，即， ‎ ‎ 所以当时，取得最小值为，而， ………………（9分）‎ ‎ 故时，取得最小值为． …………………………………………………（10分）‎ ‎ 又，所以，则，……………………………………（11分）‎ ‎ 因此． …………………………………………………………………………（12分）‎ ‎21．解法一：（Ⅰ）由已知，，，解得，，‎ ‎ 从而椭圆的标准方程为：． …………………………………………………………（3分）‎ ‎（Ⅱ）由椭圆定义可得：， ……………………………………………（4分）‎ 又，因此有，即， ……………………………（5分）‎ 故可得△的面积为． ……………………………………………………………………（6分）‎ ‎（Ⅲ）存在，点的坐标为．理由如下：‎ 当直线轴时，与题意不符． ‎ 故设直线：，‎ ‎ 由此可得过点且平行于的直线为（）， ‎ ‎ ∵线段的中点在直线上，‎ ‎ ∴点到直线的距离等于两平行直线与之间的距离，‎ 即：，解得或． ………………………………………………（9分）‎ 由于时，直线过点，不符合条件，故舍去．……………………………（10分）‎ 由此得直线为，并与方程联立，‎ 得到， …① …………………………………………………（11分）‎ 由于直线为与椭圆有且只有一个公共点，‎ 故，解得，‎ 此时方程①为，为点的纵坐标，‎ 满足题意的点的坐标为． ………………………………………………………（12分）‎ 解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解法一． ……………………………………（6分）‎ ‎（Ⅲ）存在，点的坐标为．理由如下：‎ 当轴时，不合题意．‎ 故设直线，过平行于的直线的方程为：，‎ 由题可知，得或， ………………………………………（9分）‎ 当时，直线过左焦点，不合题意，舍去，所以，…………（10分）‎ 由消去得：，…………………………（11分）‎ 由，得，‎ 设，则，将代入得，，‎ 于是，即为所求． ……………………………………………（12分）‎ ‎22． 解：（Ⅰ）（），………………………………………（2分）‎ ‎ 由题意可得：和分别是的两根，‎ ‎ 即，，解出，．‎ ‎ ∴．………………………………………………………………………（4分）‎ ‎（Ⅱ）由上得（），‎ ‎ 由或；‎ ‎ 由．‎ ‎ 故的单调递增区间为和，单调递减区间为，…………………………（6分）‎ ‎ 从而对于区间，有或或， ……………………………（8分）‎ ‎ 解得的取值范围：． …………………………………………………………（9分） ‎ ‎（Ⅲ）“对于，，使得成立”等价于“，使（）成立”．‎ 由上可得：时，单调递减，故单调递增，∴；‎ ‎………………………………………………………………………………（11分）‎ 又时，且在上递减，在递增，‎ ‎∴， ……………………………………………………………………（12分）‎ 从而问题转化为“，使”，即“，使成立”，‎ 故．‎ ‎∴． …………………………………………………………………………………（14分）‎