2020版高考数学一轮（新课改省份专用）复习（讲义）第十章计数原理概率随机变量及其分布列第四节古典概型与几何概型

2020版高考数学一轮（新课改省份专用）复习（讲义）第十章计数原理概率随机变量及其分布列第四节古典概型与几何概型

第四节　古典概型与几何概型 突破点一　古典概型 ‎1．基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件都是互斥的；‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．‎ ‎2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．‎ ‎(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；‎ ‎(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．‎ ‎3．古典概型的概率公式 P(A)＝.‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　)‎ ‎(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　　)‎ ‎(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(　　)‎ ‎(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ 二、填空题 ‎1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为________．‎ 答案： ‎2．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．‎ 答案： ‎3．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．‎ 答案： ‎[典例]　(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．‎ ‎(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？‎ ‎(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．‎ ‎①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；‎ ‎②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．‎ ‎[解]　(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．‎ ‎(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．‎ ‎②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．‎ 所以事件M发生的概率P(M)＝.‎ ‎1．求古典概型概率的步骤 ‎(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；‎ ‎(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；‎ ‎(3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率．‎ ‎2．求基本事件个数的三种方法 ‎(1)列举法：把所有的基本事件一一列举出来，此方法适用于情况相对简单的试验题．‎ ‎(2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数．‎ ‎(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．　　　　 ‎ ‎[针对训练]‎ ‎1．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C　不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，∴所求概率为＝.故选C.‎ ‎2．(2019·大同一中月考)甲、乙两人玩一种游戏，在装有质地、大小完全相同，编号分别为1,2,3,4,5,6六个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．‎ ‎(1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率．‎ ‎(2)这种游戏规则公平吗？试说明理由．‎ 解：(1)设“两个编号和为8”为事件A，则事件A包括的基本事件有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个．又甲、乙两人取出的数字共有6×6＝36个等可能的结果，‎ 故P(A)＝.‎ ‎(2)这种游戏规则是公平的．‎ 设甲赢为事件B，乙赢为事件C，由题可知甲赢即两编号和为偶数所包含的基本事件数有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共18个．‎ 所以甲赢的概率P(B)＝＝，故乙赢的概率P(C)＝1－＝＝P(B)，‎ 所以这种游戏规则是公平的．‎ 突破点二　几何概型 ‎1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．‎ ‎2．几何概型的两个基本特点 ‎(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；‎ ‎(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．‎ ‎3．几何概型的概率公式 P(A)＝.‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(　　)‎ ‎(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　　)‎ ‎(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)√　(3)√‎ 二、填空题 ‎1．已知球O内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________．‎ 答案：1－ ‎2．已知四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．‎ 答案：1－ ‎3．已知函数f(x)＝2x(x＜0)，其值域为D，在区间(－1,2)上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．‎ 答案： 考法一　与长度、角度有关的几何概型　‎ ‎[例1]　(1)(2019·成都毕业班摸底)在区间[－4,1]上随机地取一个实数x，若x满足|x|＜a的概率为，则实数a的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 　B．1‎ C．2 D．3‎ ‎(2)(2019·福州四校联考)如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点在上任取一点C作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[解析]　(1)设集合A＝{x||x|＜a}＝(－a，a)(a＞0)，若0＜a≤1，则A⊆[－4,1]，由几何概型的意义，得P(A)＝＝，解得a＝2，不符合题意，若a＞1，则P(A)＝＝，解得a＝3，符合题意，故选D.‎ ‎(2)记事件T是“作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”，如图，记的三等分点为M，N，连接OM，ON，则∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30°，则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，所以P(T)＝＝＝，故选A.‎ ‎[答案]　(1)D　(2)A ‎[方法技巧]‎ ‎1．与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．‎ ‎2．与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．　‎ 考法二　与面积有关的几何概型　‎ ‎[例2]　(1)(2019·惠州调研)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为(　　)‎ A．866 B．500‎ C．300 D．134‎ ‎(2)(2019·齐齐哈尔八中模拟)如图，四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[解析]　(1)设勾为a，则股为a，所以弦为2a，小正方形的边长为a－a，所以题图中大正方形的面积为4a2，小正方形的面积为(－1)2a2，所以小正方形与大正方形的面积比为＝1－，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为× 1 000≈134.‎ ‎(2)设正方形ABCD的边长为1，则可求得S总＝3，S阴影＝2×××1×＝1，所以所求概率为P＝，故选A.‎ ‎[答案]　(1)D　(2)A ‎[方法技巧]‎ 求解与面积有关的几何概型的关键点 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．　　‎ 考法三　与体积有关的几何概型　‎ ‎[例3]　(2019·陕西部分学校摸底)在球O内任取一点P，则点P在球O的内接正四面体中的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[解析]　设球O的半径为R，球O的内接正四面体的棱长为a，所以正四面体的高为a，所以R2＝2＋2，即a＝2R，所以正四面体的棱长为，底面面积为××R＝R2，高为，所以正四面体的体积为R3，又球O的体积为 R3，所以P点在球O的内接正四面体中的概率为，故选C.‎ ‎[答案]　C ‎[方法技巧]‎ 求解与体积有关的几何概型的关键点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．　　‎ ‎1.已知函数f(x)＝sin x＋3cos x，当x∈[0，π]时，f(x)≥ 的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　f(x)＝sin x＋3cos x＝2sin，‎ ‎∵x∈[0，π]，∴x＋∈，令f(x)≥ ，‎ 得sin≥，得≤x＋≤，∴0≤x≤，‎ ‎∴f(x)≥ 的概率为.‎ ‎2.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．‎ 解析：正方体的体积为2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为×πr3＝×π×13＝π，则点P到点O的距离大于1的概率为：1－＝1－.‎ 答案：1－ ‎3.某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．‎ 解析：设正三角形的边长为a，圆的半径为R，则正三角形的面积为a2.‎ 由正弦定理得2R＝，即R＝a.所以圆的面积S＝πR2＝πa2.‎ 由几何概型的概率计算公式得概率P＝＝.‎ 答案：