2020高中数学函数的最大(小)值

2020高中数学函数的最大(小)值

第2课时　函数的最大(小)值 学习目标：1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(重点).2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点).3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点)4.通过本节内容的学习，使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高学生逻辑推理、数学运算的能力．(重点、难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ 函数最大值与最小值 最大值 最小值 条件 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M 存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 思考：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？‎ ‎[提示]　不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)任何函数都有最大(小)值．(　　)‎ ‎(2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．(　　)‎ ‎(3)函数的最大值一定比最小值大．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图134所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)‎ ‎134‎ A．－1,0　　　 B．0,2‎ C．－1,2 D．，2‎ C　[由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.]‎ ‎3．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)(　　)‎ A．有最大值　　　　　　　 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值 - 7 -‎ D　[∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)0，x2＋1>0，x1－x2<0，‎ 所以f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)0，‎ ‎∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)是减函数．‎ 同理f(x)在[2,4]上是增函数．‎ - 7 -‎ ‎∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.‎ 函数最值的实际应用 ‎　一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)‎ ‎(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式．‎ ‎(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？‎ ‎[解]　(1)当020时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝(x∈N*)．‎ ‎(2)当020时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．‎ 即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．‎ ‎[规律方法]　解实际应用题的四个步骤 (1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.‎ (2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.‎ (3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).‎ (4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？ ‎ ‎【导学号：37102142】‎ ‎[解]　设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000.‎ 故当x＝70时，ymax＝9 000.‎ 即售价为70元时，利润最大值为9 000元．‎ 二次函数的最值问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[－1,0]，[－1,2]，[2,3]上的最大值和最小值分别是什么？‎ 提示：函数f(x)＝x2－2x＋2的图象开口向上，对称轴为x＝1.‎ ‎(1)因为f(x)在区间[－1,0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1,0]上的最大值为f(－1)＝5，最小值为f(0)＝2.‎ - 7 -‎ ‎(2)因为f(x)在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，则f(x)在区间[－1,2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)＝5.‎ ‎(3)因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5.‎ ‎2．求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？‎ 提示：若求二次函数f(x)在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x＝－与区间[m，n]的关系．‎ ‎　已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0,1]上的最大值. ‎ ‎【导学号：37102143】‎ 思路探究： ‎[解]　因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝，‎ 当≤，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；‎ 当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.‎ 母题探究：1.在题设条件不变的情况下，求f(x)在[0,1]上的最小值．‎ ‎[解]　(1)当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝1.‎ ‎(2)当≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，‎ ‎∴f(x)min＝f(1)＝2－a.‎ ‎(3)当0<<1，即00，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即‎3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a＝1.]‎ - 7 -‎ ‎5．已知函数f(x)＝(x∈[2,6])．‎ ‎(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；‎ ‎(2)求函数的最大值和最小值. ‎ ‎【导学号：37102145】‎ ‎[解]　(1)函数f(x)在x∈[2,6]上是减函数．‎ 证明：设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x10，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，‎ 所以函数f(x)＝是区间[2,6]上的减函数．‎ ‎(2)由(1)可知，函数f(x)＝在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是.‎ - 7 -‎