2019-2020学年高中数学课时作业18事件的相互独立性北师大版选修2-3

2019-2020学年高中数学课时作业18事件的相互独立性北师大版选修2-3

课时作业(十八)‎ ‎1．已知事件A、B发生的概率都大于零，则(　　)‎ A．如果A、B是互斥事件，那么A与也是互斥事件 B．如果A、B不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件 C．如果A、B是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件 D．如果A＋B是必然事件，那么它们一定是对立事件 答案　C 解析　相互独立的两个事件彼此没有影响，可以同时发生，因而它们不可能为互斥事件．‎ ‎2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 答案　D 解析　设“甲射击一次中靶”为事件A，“乙射击一次中靶”为事件B，则P(A)＝＝，P(B)＝.‎ ‎∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.‎ ‎3．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为、.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　用A，B，C表示甲、乙、丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为P( )＝P()·P()·P()＝××＝.故至少有一人去北京旅游的概率为1－＝.‎ ‎4．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，，.现3人各投篮1次，则3人都没有投进的概率为(　　)‎ A. B. 7‎ C. D. 答案　C 解析　记“甲投篮1次投进”为事件A1，“乙投篮1次投进”为事件A2，“丙投篮1次投进”为事件A3，“3人都没有投进”为事件A.‎ 则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，‎ P(A)＝P(123)＝P(1)P(2)P(3)＝[1－P(A1)][1－P(A2)][1－P(A3)]＝(1－)(1－)(1－)＝，故3人都没有投进的概率为.‎ ‎5．来成都旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去武侯祠游览的概率均为，且他们的选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去武侯祠游览的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　事件A：“至多有两人选择去武侯祠游览”的对立事件为B：“三人均选择去武侯祠游览”，其概率为P(B)＝()3＝，∴P(A)＝1－P(B)＝1－＝.‎ ‎6．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为(　　)‎ A．0.12 B．0.88‎ C．0.28 D．0.42‎ 答案　D 解析　P＝(1－0.3)(1－0.4)＝0.42.‎ ‎7．三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译出的概率为(　　)‎ A. B. C. D．不确定 答案　A 解析　P＝1－(1－)(1－)(1－)＝.‎ ‎8．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“‎ 7‎ 骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)‎ ‎＝×＋×＋×＝，故选C.‎ ‎9．甲、乙两同学同时解一道数学题．设事件A：“甲同学做对”，事件B：“乙同学做对”，‎ ‎(1)甲同学做错，乙同学做对，用事件A，B表示为________；‎ ‎(2)甲、乙两同学同时做错，用事件A，B表示为________；‎ ‎(3)甲、乙两同学中至少一人做对，用事件A，B表示为________；‎ ‎(4)甲、乙两同学中至多一人做对，用事件A，B表示为________；‎ ‎(5)甲、乙两同学中恰有一人做对，用事件A，B表示为________．‎ 答案　(1)·B　(2)·　(3)A·＋·B＋A·B　(4)·＋A·＋·B　(5)A·＋·B 解析　由于事件A和事件B是相互独立的，故只须选择适合的形式表示相应事件便可．‎ ‎10．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．‎ 答案　 解析　加工出来的零件的正品率为(1－)×(1－)×(1－)＝，所以次品率为1－＝.‎ ‎11．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．‎ 答案　　 解析　甲、乙两人都未能解决为(1－)(1－)＝×＝，‎ 问题得到解决就是至少有1人能解决问题．∴P＝1－＝.‎ 7‎ ‎12．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．‎ 答案　0.128‎ 解析　此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.‎ ‎13．已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，事件C发生的概率是，求下列事件的概率：‎ ‎(1)事件A、B、C只发生两个；‎ ‎(2)事件A、B、C至多发生两个．‎ 解析　(1)记“事件A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括三种彼此互斥的情况，A·B·；A··C；·B·C，由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所以概率为P(A1)＝P(A·B·)＋P(A··C)＋P(·B·C)＝＋＋＝，∴事件A，B，C只发生两个的概率为.‎ ‎(2)记“事件A，B，C至多发生两个”为A2，则包括彼此互斥的三种情况：事件A，B，C一个也不发生，记为A3，事件A，B，C只发生一个，记为A4，事件A，B，C只发生两个，记为A5，故P(A2)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝＋＋＝.‎ ‎∴事件A、B、C至多发生两个的概率为.‎ ‎14．甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：‎ ‎(1)2个人都译出密码的概率；‎ ‎(2)2个人都译不出密码的概率；‎ ‎(3)恰有1个人译出密码的概率；‎ ‎(4)至多1个人译出密码的概率；‎ ‎(5)至少1个人译出密码的概率．‎ 解析　记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，且 P(A)＝，P(B)＝.‎ ‎(1)“2 个人都译出密码”的概率为 7‎ P(A·B)＝P(A)×P(B)＝×＝.‎ ‎(2)“2个人都译不出密码”的概率为 P(·)＝P()×P()＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝(1－)(1－)＝.‎ ‎(3)“恰有1个人译出密码”可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为 P(A·＋·B)＝P(A·)＋P(·B)‎ ‎＝P(A)P()＋P()P(B)‎ ‎＝(1－)＋(1－)×＝.‎ ‎(4)“至多1个人译出密码”的对立事件为“有2个人译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为 ‎1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－×＝.‎ ‎(5)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个都未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为 ‎1－P(·)＝1－P()P()＝1－×＝.‎ ‎1．事件A、B、C相互独立，若P(A·B)＝，P(·C)＝，P(A·B·)＝，则P(B)＝________，P(·B)＝________，P(B＋C)＝__________，P(B|C)＝________．‎ 答案　　　　 解析　由A、B、C相互独立，则 P(A·B·)＝P(A·B)·P()＝.‎ ‎∴P()＝，P(C)＝.‎ 又P(·C)＝，∴P()＝，则P(B)＝.‎ 又P(A·B)＝，∴P(A)＝.‎ ‎∴P(B)＝P()·P(B)＝×＝，‎ 7‎ P(B＋C)＝1－P( )＝1－P()·P()＝1－×＝，‎ P(B|C)＝P(B)＝.‎ ‎2．在一条马路上的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________．‎ 答案　 ‎3．在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分，将学生得分逐次累加并用ξ表示，如果ξ的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止．投篮的方案有以下两种：方案1：先在A处投一球，以后都在B处投；方案2：都在B处投篮．甲同学在A处投篮的命中率为0.5，在B处投篮的命中率为0.8.‎ ‎(1)甲同学选择方案1.‎ 求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率；‎ 求甲同学测试结束后所得总分ξ的分布列．‎ ‎(2)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由．‎ 解析　(1)在A处投篮命中记作A，不中记作；在B处投篮命中记作B，不中记作；甲同学测试结束后所得总分为4，可记作事件BB，则 P(BB)＝P()P(B)P(B)＝0.5×0.8×0.8＝0.32.‎ ξ的所有可能取值为0，2，3，4，则 P(ξ＝0)＝P()＝P()P()P()＝0.5×0.2×0.2＝0.02，‎ P(ξ＝2)＝P(B)＋P(B)＝P()P(B)P()＋P()P()P(B)＝0.5×0.8×(1－0.8)＋0.5×(1－0.8)×0.8＝0.16，‎ P(ξ＝3)＝P(A)＝0.5，‎ P(ξ＝4)＝P(BB)＝P()P(B)P(B)＝0.5×0.8×0.8＝0.32.‎ ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.02‎ ‎0.16‎ ‎0.5‎ ‎0.32‎ ‎(2)甲同学选择方案1通过测试的概率为P1，选择方案2通过测试的概率为P2，P1＝P(ξ≥3)＝0.5＋0.32＝0.82.‎ 7‎ P2＝P(BB)＋P(BB)＋P(BB)＝2×0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8＝0.896.‎ 因为P2>P1，‎ 所以甲同学应选择方案2通过测试的概率更大．‎ 7‎