数学卷·2018届辽宁省大连市瓦房店高中高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届辽宁省大连市瓦房店高中高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年辽宁省大连市瓦房店高中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，定义A﹣B={x|x∈A，且x∉B}，则A﹣B=（　　）‎ A．（﹣1，2） B．[2，3） C．（2，3） D．（﹣1，2]‎ ‎2．已知向量=（﹣3，4），=（1，m），若⊥（﹣），m=（　　）‎ A． B．7 C．﹣7 D．﹣‎ ‎3．某高级中学有高一、二、三三个年级的学生共1600名，其中高三学生400名，如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本，则应从高三年级学生中抽取的人数是（　　）‎ A．40 B．30 C．20 D．10‎ ‎4．北宋 欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，唯手熟尔．’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的．若铜钱是半径为1cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎6．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m与销售额y（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：‎ y ‎30‎ ‎40‎ p ‎50‎ ‎70‎ m ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 经测算，年广告支出m与年销售额y满足线性回归方程=6.5m+17.5，则p的值为（　　）‎ A．45 B．50 C．55 D．60‎ ‎7．若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（　　）‎ A．4 B．5 C．7 D．9‎ ‎8．在△ABC中，D是BC的中点，则“∠BAD+∠C=90°”是“AB=AC”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时， •的值为（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎10．已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值是（　　）‎ A． B． C．2 D．﹣1‎ ‎11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）‎ A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（1，2） D．（1，2]‎ ‎12．已知函数f（x）=，若存在实数x1、x2、x3、x4满足，x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则x1•x2•（x3﹣2）•（x4﹣2）的取值范围是（　　）‎ A．（4，16） B．（0，12） C．（9，21） D．（15，25）‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．若sin（﹣α）=，则cos（+2α）的值为　　．‎ ‎14．函数f（x）=ax﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny﹣1=0（m＞0且n＞0）上，则的最小值是　　．‎ ‎15．已知实数1，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为　　．‎ ‎16．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知函数f（x）=sin2ωx﹣2sin2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π．‎ ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）求f（x）的单调递减区间．‎ ‎18．设a，b，c是△ABC内角A，B，C所对的边，且．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）若b=2，△ABC的面积为，求a，c．‎ ‎19．某家电专卖店试销A，B，C三种新型空调，销售情况记录如下：‎ 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 A型数量（台）‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎15‎ A4‎ A5‎ B型数量（台）‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎13‎ B4‎ B5‎ C型数量（台）‎ ‎15‎ ‎8‎ ‎12‎ C4‎ C5‎ ‎（1）求A型空调前三周的平均周销售量；‎ ‎（2）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店前三周售出的所有空调中随机抽取一台，求抽到的空调“是B型空调或是第一周售出空调”的概率；‎ ‎（3）根据C型空调连续3周销售情况，预估C型空调连续5周的平均周销量为10台．当C型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值．‎ 参考公式：‎ 样本数据x1，x2，…，xn的方差是：，其中为样本平均数．‎ ‎20．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E是线段BC的中点．‎ ‎（1）证明：ED⊥PE；‎ ‎（2）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．‎ ‎21．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an﹣1．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎22．垂直于x轴的直线l与椭圆C：相交于M、N两点，A是C的左顶点．‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）设点P是C上异于M、N的任意一点，且直线MP、NP分别与x轴交于R、S两点，O是坐标原点，求△OPR和△OPS的面积之积的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年辽宁省大连市瓦房店高中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，定义A﹣B={x|x∈A，且x∉B}，则A﹣B=（　　）‎ A．（﹣1，2） B．[2，3） C．（2，3） D．（﹣1，2]‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】根据条件求出集合A，B的等价条件，结合定义进行求解即可．‎ ‎【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，‎ 则A﹣B={x|x∈A，且x∉B}=[2，3），‎ 故选：B ‎　‎ ‎2．已知向量=（﹣3，4），=（1，m），若⊥（﹣），m=（　　）‎ A． B．7 C．﹣7 D．﹣‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】令•（﹣）=0列方程解出m．‎ ‎【解答】解：∵若⊥（﹣），∴若•（﹣）=0，即=．‎ ‎∴25=﹣3+4m，‎ 解得m=7．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．某高级中学有高一、二、三三个年级的学生共1600名，其中高三学生400名，如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本，则应从高三年级学生中抽取的人数是（　　）‎ A．40 B．30 C．20 D．10‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】设应当从高三年级的学生中抽取的人数是x，则由分层抽样的定义可得，由此求出x的值．‎ ‎【解答】解：设应当从高三年级的学生中抽取的人数是x，则由分层抽样的定义可得，解得x=20，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．北宋 欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，唯手熟尔．’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的．若铜钱是半径为1cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】分别计算圆和正方形的面积，由几何概型概率公式可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得半径为1cm的圆的面积为π×12=π，‎ 而边长为0.5cm的正方形面积为0.5×0.5=0.25，‎ 故所求概率P==，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距OD，然后根据垂径定理得到垂足为弦长的中点D，根据勾股定理求出弦长的一半BD，乘以2即可求出弦长AB．‎ ‎【解答】解：连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点，‎ 根据（x+2）2+（y﹣2）2=2得到圆心坐标为（﹣2，2），半径为．‎ 圆心O到直线AB的距离OD==，而半径OB=，‎ 则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==，所以AB=2BD=‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m与销售额y（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：‎ y ‎30‎ ‎40‎ p ‎50‎ ‎70‎ m ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 经测算，年广告支出m与年销售额y满足线性回归方程=6.5m+17.5，则p的值为（　　）‎ A．45 B．50 C．55 D．60‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】求出，代入回归方程计算，从而得出p的值．‎ ‎【解答】解： ==5，‎ ‎∴=6.5×5+17.5=50，‎ ‎∴=50，解得p=60．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（　　）‎ A．4 B．5 C．7 D．9‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出该程序运行后输出的S的值．‎ ‎【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；‎ S=0，n=0，S=0+[]=0，0＞4，否；‎ n=1，S=0+[]=1，1＞4，否；‎ n=2，S=1+[]=2，2＞4，否；‎ n=3，S=2+[]=3，3＞4，否；‎ n=4，S=3+[]=5，4＞4，否；‎ n=5，S=5+[]=7，5＞4，是；‎ 输出S=7．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．在△ABC中，D是BC的中点，则“∠BAD+∠C=90°”是“AB=AC”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义结合三角形平行四边形的基础知识判断即可．‎ ‎【解答】解：延长AD到E，使得DE=AD，则四边形ABEC是平行四边形，‎ 如图示：‎ ‎，‎ 则由∠BAD+∠C=90°，显然推不出AB=AC，不是充分条件，‎ 若AB=AC，推出∠BAD+∠C=90°，是必要条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时， •的值为（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，‎ 则P到圆心的距离最小即可，‎ 由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0，此时|OP|==2，|OA|=1，‎ 设∠APB=α，则sin=， =‎ 此时cosα=， •==．‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值是（　　）‎ A． B． C．2 D．﹣1‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】作图，化点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和为PF+PA﹣1，从而求最小值．‎ ‎【解答】解：由题意作图如右图，‎ 点P到直线l：2x﹣y+3=0为PA；‎ 点P到y轴的距离为PB﹣1；‎ 而由抛物线的定义知，‎ PB=PF；‎ 故点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和为PF+PA﹣1；‎ 而点F（1，0）到直线l：2x﹣y+3=0的距离为 ‎=；‎ 故点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值为﹣1；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）‎ A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（1，2） D．（1，2]‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，‎ 若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，‎ 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，‎ ‎∴≥，离心率e2=≥4，‎ ‎∴e≥2，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=，若存在实数x1、x2、x3、x4满足，x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则x1•x2•（x3﹣2）•（x4﹣2）的取值范围是（　　）‎ A．（4，16） B．（0，12） C．（9，21） D．（15，25）‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，利用一元二次函数的性质进行求解即可．‎ ‎【解答】解：当2≤x≤10，时，f（x）=sinx，‎ 则函数的图象如图，‎ 则0＜x1＜1＜x2＜2＜x3＜x4，且x3，x4，关于x=6对称，‎ ‎∵f（x1）=f（x2），‎ ‎∴﹣log2x1=log2x2，‎ ‎∴log2x1x2=0，‎ ‎∴x1x2=1，‎ ‎∵f（x3）=f（x4），‎ ‎∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10‎ ‎∴x1x2（x3﹣2）（x4﹣2）=（x3﹣2）（x4﹣2）=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，‎ ‎∵2＜x3＜4，8＜x4＜10，x3+x4=12，‎ ‎∴x3=﹣x4+12，‎ 则x3x4=（12﹣x4）x4=﹣（x4）2+12x4=﹣（x4﹣6）2+36，‎ ‎∵8＜x4＜10，‎ ‎∴20＜x3x4＜32‎ 则0＜x3x4﹣20＜12，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．若sin（﹣α）=，则cos（+2α）的值为　　．‎ ‎【考点】二倍角的余弦；角的变换、收缩变换．‎ ‎【分析】利用二倍角的余弦公式把要求的式子化为2﹣1，再利用诱导公式化为2﹣1，将条件代入运算求得结果．‎ ‎【解答】解：∵=cos2（+α）=2﹣1=2﹣1 ‎ ‎=2×﹣1=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．函数f（x）=ax﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny﹣1=0（m＞0且n＞0）上，则的最小值是　25　．‎ ‎【考点】基本不等式；指数函数的单调性与特殊点．‎ ‎【分析】当x=1时，f（1）=a0+3=4，函数f（x）恒过定点P（1，4）．由点P在直线mx+ny﹣1=0（m＞0且n＞0）上，可得m+4n=1．利用基本不等式可得=．‎ ‎【解答】解：当x=1时，f（1）=a0+3=4，函数f（x）恒过定点P（1，4）．‎ ‎∵点P在直线mx+ny﹣1=0（m＞0且n＞0）上，∴m+4n=1．‎ ‎∴==17+=25，当且仅当m=n=时取等号．‎ ‎∴的最小值是25．‎ 故答案为25．‎ ‎　‎ ‎15．已知实数1，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为　或2　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．‎ ‎【解答】解：∵1，m，9构成一个等比数列，‎ ‎∴m=±3．‎ 当m=3时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，它的离心率是=；‎ 当m=﹣3时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，它的离心率是2．‎ 故答案为：或2．‎ ‎　‎ ‎16．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是　　．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，‎ 正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，‎ V=V正方体﹣2V三棱锥=2×2×2=．‎ 故答案我：‎ ‎　‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知函数f（x）=sin2ωx﹣2sin2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π．‎ ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）求f（x）的单调递减区间．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin2ωx﹣2sin2ωx+1=sin（2）结合ω＞0，由周期公式即可解得ω的值．‎ ‎（2）由（1）可得f（x）=sin（2）由正弦函数的性质来求f（x）的单调递减区间即可．‎ ‎【解答】解：（1）因为．‎ 所以f（x）的最小正周期．‎ 依题意，，解得ω=1；‎ ‎（2）由（1）知．‎ 函数y=sinx的单调递减区间为．‎ 由，得．‎ 所以f（x）的单调递减区间为．‎ ‎　‎ ‎18．设a，b，c是△ABC内角A，B，C所对的边，且．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）若b=2，△ABC的面积为，求a，c．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由已知及正弦定理，求出sinB与cosB的关系，求出tanB的值，即得角B的值；‎ ‎（2）利用三角形的面积公式和余弦定理，即可求出a、c的值．‎ ‎【解答】解：（1）由已知及正弦定理，得 ‎，‎ 又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，‎ 所以；‎ 因为0＜B＜π，故；…‎ ‎（2）由（1）及已知，有，‎ 得ac=4；①‎ 由余弦定理22=a2+c2﹣2accosB，‎ 得a2+c2=8；②‎ 由①②解得a=2，c=2．…‎ ‎　‎ ‎19．某家电专卖店试销A，B，C三种新型空调，销售情况记录如下：‎ 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 A型数量（台）‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎15‎ A4‎ A5‎ B型数量（台）‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎13‎ B4‎ B5‎ C型数量（台）‎ ‎15‎ ‎8‎ ‎12‎ C4‎ C5‎ ‎（1）求A型空调前三周的平均周销售量；‎ ‎（2）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店前三周售出的所有空调中随机抽取一台，求抽到的空调“是B型空调或是第一周售出空调”的概率；‎ ‎（3）根据C型空调连续3周销售情况，预估C型空调连续5周的平均周销量为10台．当C型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值．‎ 参考公式：‎ 样本数据x1，x2，…，xn的方差是：，其中为样本平均数．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】（1）根据数表中的数值计算平均数即可；‎ ‎（2）方法1：根据概率的定义进行计算即可；‎ 方法2：利用对立事件的概率公式进行计算也可；‎ ‎（3）根据方差的定义可得S2的解析式，再根据二次函数性质求出 c4=7或c4=8时，S2取得最小值，从而求出c5的值．‎ ‎【解答】解：（1）A型空调前三周的平均销售量为 ‎（台）；…‎ ‎（2）方法1：从前三周售出的所有空调中随机抽取一台，有105种可能，‎ 其中“是B型或是第一周售出空调”有35+35﹣10=60；…‎ 因此抽到的空调“是B型或是第一周售出空调”的概率是；…‎ 方法2：设抽到的空调“不是B型也不是第一周售出空调”的事件是M，‎ 抽到的空调“是B型或是第一周售出空调”的事件是N，‎ 则，‎ ‎；…‎ 故抽到的空调“是B型或是第一周售出空调”的概率是；…‎ ‎（3）因为C型空调平均周销售量为10台，‎ 所以c4+c5=10×5﹣15﹣8﹣12=15；…‎ 又，‎ 化简得．…‎ 因为c4∈N，‎ 所以c4=7或c4=8时，S2取得最小值，‎ 此时C5=8或C5=7…‎ ‎　‎ ‎20．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E是线段BC的中点．‎ ‎（1）证明：ED⊥PE；‎ ‎（2）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）推导出DE⊥PA，DE⊥AE，从而DE⊥平面PAE，由此能证明PE⊥ED．‎ ‎（2）建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PD﹣E的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴DE⊥PA．‎ 连接AE，∵AD=2AB，‎ ‎∴由勾股定理可得DE⊥AE．‎ ‎∴DE⊥平面PAE，‎ ‎∵PE⊂平面PAE，∴PE⊥ED．…‎ 解：（2）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角．‎ ‎∵PB与平面ABCD所成的角为45°，∴∠PBA=45°，PA=1．‎ 如图建立所示的空间直角坐标系A﹣xyz，‎ 则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，1），‎ E（1，1，0），=（1，0，0），=（1，1，﹣1），=（1，﹣1，0）．‎ ‎∴AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量．‎ 设平面PED的法向量为n=（x，y，z），‎ 由得．令z=1，得x=y=，所以n=．‎ ‎．…‎ ‎∵二面角A﹣PD﹣E是锐二面角，∴二面角A﹣PD﹣E的余弦值．…‎ ‎　‎ ‎21．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an﹣1．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1即可得出；‎ ‎（2）利用“错位相减法”，等比数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）n=1时，a1=1．‎ ‎∵2Sn=3an﹣1，∴2Sn+1=3an+1﹣1，‎ ‎∴an+1=3an，‎ ‎∴an=3n﹣1．‎ ‎（2）∵bn=n⋅3n﹣1，‎ ‎∴Tn=1⋅30+2⋅31+3⋅32+…+（n﹣1）⋅3n﹣2+n⋅3n﹣1，‎ ‎3 Tn=1⋅31+2⋅32+3⋅33+…+（n﹣1）⋅3n﹣1+n⋅3n，‎ 两式相减可得﹣2Tn=1+31+32+…+3n﹣1﹣n⋅3n，‎ ‎∴Tn=⋅3n+．‎ ‎　‎ ‎22．垂直于x轴的直线l与椭圆C：相交于M、N两点，A是C的左顶点．‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）设点P是C上异于M、N的任意一点，且直线MP、NP分别与x轴交于R、S两点，O是坐标原点，求△OPR和△OPS的面积之积的最大值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）点M、N关于x轴对称，设M（x1，y1）（y1＞0），则N（x1，﹣y1），利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．‎ ‎（2）利用点与椭圆的位置关系、三角形面积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）点M、N关于x轴对称，设M（x1，y1）（y1＞0），则N（x1，﹣y1），‎ ‎∵A（﹣2，0），∴，，‎ ‎∵点M在C上，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵x1∈（﹣2，2），∴时，取最小值．‎ ‎（2）设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，‎ 令y=0，得，同理，‎ ‎∵点M、P在C上，∴，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∵y0∈[﹣1，1]，∴y0=±1时，S△OPS•S△OPR取最大值1．‎