2019-2020学年湖南省邵东县第一中学高二上学期第三次月考数学试题 解析版

2019-2020学年湖南省邵东县第一中学高二上学期第三次月考数学试题 解析版

湖南省邵东县第一中学2019-2020学年高二上学期第三次月考 数学试卷 姓名：___________考号：___________‎ 一、单选题（每题5分)‎ ‎1．（5分）函数的定义域为( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（5分）命题“，”的否定为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎3．（5分）已知，，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）在中，内角的对边分别为，若，则一定是（ ）‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形[]‎ ‎5．（5分）等差数列的前n项和为，若，，则( )‎ A．4 B．5 C．10 D．15‎ ‎6．（5分）抛物线的准线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）在数列{an}中，若，a1＝8，则数列{an}的通项公式为（ ）‎ A．an＝2（n+1）2 B．an＝4（n+1） C．an＝8n2 D．an＝4n（n+1）‎ ‎8．（5分）下列各式中，对任何实数都成立的一个式子是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）若双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎10．（5分）己知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）设等差数列的前项和分别为，若，则使的的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每题5分)‎ ‎13．（5分）已知椭圆与双曲线有共同的焦点,则_________‎ ‎14．（5分）已知正数、的等差中项为1，则的最小值为__________．‎ ‎15．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，则______.‎ ‎16．（5分）如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且若点D是外一点，，，则当四边形ABCD面积最大值时，____．‎ ‎[]‎ 三、解答题 ‎17．（10分）如图，在中，已知，是边上的一点，，，.‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）求边的长.‎ ‎18．（12分）设数列的前项和为，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎19．（12分）设命题实数满足，命题实数满足．‎ ‎（I）若，为真命题，求的取值范围；‎ ‎（II）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎20．（12分）南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：‎ 分组 男生人数 ‎2‎ ‎16‎ ‎19‎ ‎18‎ ‎5‎ ‎3‎ 女生人数 ‎3‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.‎ ‎（1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?‎ ‎（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动.‎ ‎①求男生和女生各抽取了多少人；‎ ‎②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.‎ ‎21．（12分）已知椭圆的左、右焦点为、，，若圆Q方程，且圆心Q在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线交椭圆于A、B两点，过直线上一动点P作与垂直的直线交圆Q于C、D两点，M为弦CD中点，的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明你的理由．‎ ‎22．（12分）已知函数 ‎(1)当时,解不等式 ‎(2)若关于的方程的解集中怡好有一个元素,求的取值范围；‎ ‎(3)设若对任意函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.‎ 参考答案 ‎1．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 使函数表达式有意义，即即可求解.‎ ‎【详解】‎ 函数有意义，即解得 ‎ 故函数的定义域为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查函数的定义域，属于基础题.‎ ‎2．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把命题的结论改反过来，同时存在变成任意的即可．‎ ‎【详解】‎ 命题“，”的否定是“”．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，注意与否命题的要求区分开来，命题的否定是命题的结论改反过来，同时存在量词与全称量词互换，而否命题是条件与结论均要反过来，当然存在量词与全称量词也要互换．‎ ‎3．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 找出条件成立等价条件，再利用集合的包含关系得出、之间的必要不充分条件关系.‎ ‎【详解】‎ 由得，所以，是的必要不充分条件，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力，属于基础题.‎ ‎4．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由正弦定理得到，推出，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，由正弦定理得：，所以，‎ 故，所以一定是等腰三角形.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角形形状的判断，熟记正弦定理即可，属于常考题型.‎ ‎5．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由求，再求公差，最后可得.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，可得，所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的基本运算，熟练记忆等差数列的求和公式及通项公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎6．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将抛物线方程化成标准式，直接求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：抛物线的标准方程为：，可得，抛物线的准线方程是：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎7．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用是等差数列可得.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 所以,‎ 所以是首项为,公差为的等差数列,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的定义以及通项公式,属于基础题.‎ ‎8．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取特殊值可得选项A,B,D不恒成立，由可得选项C对应的不等式恒成立，得解.‎ ‎【详解】‎ 解：对于A，当时，根式无意义，故A不恒成立；‎ 对于B，当时，，故B不恒成立；‎ 对于C，，所以成立，故C成立；[]‎ 对于D，当时，，故D恒不成立，‎ 即对任何实数都成立的一个式子是，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了均值不等式的前提，重点考查了运算能力，属基础题.‎ ‎9．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先假设双曲线的标准方程为，求出其渐近线方程后可得的值，再由焦点到渐近线的距离可得的值，从而得到双曲线的方程.同理可求焦点在轴上的双曲线的标准方程.‎ ‎【详解】‎ 若双曲线的焦点在轴上，则其方程为，‎ 故渐近线为，所以.‎ 又双曲线的焦点到渐近线的距离为，故，所以，‎ 故双曲线的方程为：.‎ 若焦点在轴上，则双曲线的标准方程为，‎ 故渐近线为，所以.‎ 又双曲线的焦点到渐近线的距离为，故，所以，‎ 故双曲线的方程为：.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 求双曲线的标准方程，一般要根据焦点的位置确定标准方程的形式，如果焦点的位置不确定，则需分类讨论，此类问题属于基础题.‎ ‎10．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件，列出满足条件的不等式，求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 曲线表示交点在轴的椭圆，‎ ‎ ，解得：.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查根据椭圆的焦点位置求参数的取值范围，意在考查基本概念，属于基础题型.‎ ‎11．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，根据等差数列前项和的性质，得到，再由，得到，从而即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为等差数列的前项和分别为，‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 为使，只需，又，所以可能取的值为：，‎ 因此可能取的值为：.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列前项和的应用，熟记等差数列前项和的公式与性质即可，属于常考题型.‎ ‎12．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得，结合的范围可求，再由余弦定理求得 ，再由基本不等式，求得的范围，即可得到的范围，进而可求周长的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，‎ 可得：， ，解得， ∵， ∴由余弦定理可得 ∵由， ，得， ∴，即． ∴周长 ． 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理及运用，同时考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎13． 4[]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出椭圆的焦点坐标，再根据双曲线的焦距求m的值.‎ ‎【详解】‎ 由题得椭圆的焦点为（-3,0）和（3,0）,所以3=，所以m=4.‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得x+y=2,再利用基本不等式求最值.‎ ‎【详解】‎ 由题得x+y=2, ‎ ‎.当且仅当时取等.‎ 故答案为：9‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理完成边化角，然后利用两角和的正弦公式进行合并化简，即可求解出的值，然后可确定的大小.‎ ‎【详解】‎ 因为由正弦定理可知：，所以，‎ 所以，则，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）利用正弦定理完成边角互化时，要先判断是否满足“齐次”这个条件；‎ ‎（2）利用正、余弦定理进行边角互化时，要注意到三角形中的隐含条件：.‎ ‎16．‎ ‎【解析】‎ 分析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得，根据范围B∈（0，π），可求B的值．‎ 由余弦定理可得AC2=13﹣12cosD，由△ABC为直角三角形，可求，,‎ S△BDC=3sinD，由三角函数恒等变换的应用可求四边形的面积为，利用三角函数化一公式得到最值时的角C值.‎ 详解： ，由正弦定理得到 ‎ 在三角形ACD中由余弦定理得到，三角形ABC的面积为 ‎ 四边形的面积为 ‎ 当三角形面积最大时， ‎ 故答案为：‎ 点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．‎ ‎17．（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）在中，根据余弦定理求得，然后根据三角形的面积公式可得所求．（2）在中由正弦定理可得的长．‎ 详解：（1）在中，由余弦定理得 ‎，‎ ‎∵为三角形的内角，‎ ‎， ‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎（2）在中，，‎ 由正弦定理得：‎ ‎∴．‎ 点睛：解三角形时首先要确定所要解的的三角形，在求解时要根据条件中的数据判断使用正弦定理还是余弦定理以及变形的方向，另外求解时注意三角形内角和定理等知识的灵活应用．‎ ‎18．（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，得（，且），两式相减得，得是以为公比的等比数列，且，即可得结果；‎ ‎（2）由= ， 得 ，由裂项相消法求和即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以（，且），‎ 则（，且）.‎ 即（，且）.‎ 因为，所以，即.[]‎ 所以是以为首项，为公比的等比数列.‎ 故.‎ ‎（2），所以.‎ 所以，‎ 故 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求等比数列的通项公式和裂项相消法求数列和的问题，属于基础题.‎ ‎19．（I）；（II）．‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）将问题转化为当时求不等式组的解集的问题．（2）将是的充分不必要条件转化为两不等式解集间的包含关系处理，通过解不等式组解决．‎ 详解：（1）当时，‎ 由得，‎ 由得，‎ ‎∵为真命题，‎ ‎∴命题均为真命题，‎ ‎∴解得，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎（2）由条件得不等式的解集为，‎ ‎∵是的充分不必要条件，‎ ‎∴是的充分不必要条件，‎ ‎∴，‎ ‎∴解得，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 点睛：根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，由此得到不等式（组）后再求范围．解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．‎ ‎20．(1)700人；(2) ①男生抽取4人，女生抽取1人．② ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，由此能求出7000名学生中“锻炼达人”的人数．‎ ‎（2）①100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，能求出男生，女生各抽取多少人．‎ ‎②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，5人中随机抽取2人，利用列举法能求出抽取的2人中男生和女生各1人的概率．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，将频率视为概率，我校7000名学生中“锻炼达人”的人数为（人）‎ ‎（2）①由（1）知100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．[]‎ 从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1人．‎ ‎②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，则5人中随机抽取2人的所有结果有：男1男2，男1男3，男1 男4，男1女，男2男3，男2男4，男2女，男3男4，男3女，男4女．共有10种结果，且每种结果发生的可能性相等．记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件A，则事件A包含的结果有男1女，男2女，男3女，男4女，共4个，故．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频数、概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎21．（1）（2）为定值，定值是 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆的定义求得，再根据焦点坐标得，再由得到的值，从而得到椭圆的方程；‎ ‎（2）设，，将直线的方程代入椭圆方程，利用弦长公式求得；由题设条件得，从而有，所以的面积为定值，利用面积公式可 得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意可知：，，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，，由 消去y，得，‎ ‎∴,‎ ‎∵M为线段CD中点，∴，‎ 又∵，，∴，‎ 又点Q到的距离，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用待定系数法求椭圆的方程、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查坐标法思想、数形结合思想的应用，考查运算求解能力，求解过程中注意平面几何知识的应用，即两 平行线间的距离处处相等.‎ ‎22．（1）或；（2）或或；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，解对数不等式即可． （2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可． （3）根据条件得到恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时，， 由，得， 即，‎ 解得或， 即不等式的解集为或； （2）由得． 即， ‎ 即，① 则， 即，②， 当时，方程②的解为，代入①，成立 当时，方程②的解为，代入①，成立 当且时，方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即， 若是方程①的解，则，即， 则要使方程①有且仅有一个解，则． 综上，若方程的解集中恰好有一个元素， 则的取值范围是或或． （3）函数在区间上单调递减， 由题意得， 即，‎ 即即 设，则， ， 当时，， 当时，， 在上递减， ‎ ‎， ， ∴实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．‎