宁夏银川市兴庆区长庆高级中学2020届高三上学期第五次月考数学(理)试卷 含答案

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宁夏银川市兴庆区长庆高级中学2020届高三上学期第五次月考数学(理)试卷 含答案

www.ks5u.com 数学试卷(理科)‎ 满分150分,考试时间120分钟 一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合P={x|x2≤1},M={a},若P∪M=P,则a的取值范围是(  )‎ A. (-∞,-1] B. [1,+∞) C. [-1,1] D. (-∞,-1]∪[1,+∞)‎ ‎2.下列命题错误的是(  )‎ A. 命题“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否定是:“若xy≠0,则x,y都不为零”。‎ B. 对于命题p:∃x0∈R,使得+x0+1<0,则p:∀x∈R,均有x2+x+1≥0。‎ C. 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题为“若方程x2+x-m=0无实根,‎ 则m ≤0”。‎ D. “x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件。‎ ‎3.平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于(  )‎ A. 2 B. 2 C. 12 D.‎ ‎4.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为,则f的值是(  )‎ A.- B. C.1 D.‎ ‎5.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面.以下命题中正确命题的个数是( )‎ ‎①m,n相交且都在平面α,β外,m∥α, m∥β , n∥α, n∥β , 则α∥β; ‎ ‎②若m∥α, m∥β , 则α∥β; ③若m∥α, n∥β , m∥n, 则α∥β.‎ A.0 B.1 C.2 D.3 ‎ ‎6.函数的图像大致是( )‎ A. ‎ ‎ B. C. D.‎ ‎7.已知椭圆的焦点分别为,,点,在椭圆上,于,,,则椭圆方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.在各棱长均相等的直三棱柱中,已知是棱的中点,是棱的中点,则异面直线与所成角的正切值为( )‎ A. B.1 C. D.‎ ‎9.已知奇函数在R上是增函数,.若,,,则a,b,c的大小关系为( )‎ A. B. C . D.‎ ‎10.设函数f(x)=cos(2x+)+sin(2x+),且其图象关于直线x=0对称,则(  )‎ A.y=f(x)的最小正周期为π,且在上为增函数 B.y=f(x)的最小正周期为π,且在上为减函数 C.y=f(x)的最小正周期为,且在上为增函数 D.y=f(x)的最小正周期为,且在上为减函数 ‎11.双曲线的左、右焦点分别|为、,点P在C 上,且,,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.定义在R上的偶函数满足,且当时,,若函数有三个零点,则正实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.计算=________.‎ ‎14.已知命题:,命题:幂函数在是减函数,若“”为真命题,“”为假命题,则实数的取值范围是_________.‎ ‎15.已知抛物线的焦点为,准线为,若与双曲线的两条渐近线分别交于点 和点,且(为原点),则双曲线的离心率为_________.‎ ‎16.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为_______.‎ 三、解答题:(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,每题必须作答。第22,23题为选考题,考生根据要求作答。)‎ (一) 必考题:共60分,每题12分 ‎17.已知圆C的方程为,求:‎ ‎(1)过定点且与圆C相切的直线方程;‎ ‎(2)‎ ‎18.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acosC+asinC-b-c=0.‎ ‎(1)求A的大小;‎ ‎(2)若a=7,求△ABC的周长的取值范围.‎ ‎19.如图,在四棱锥P−ABCD中,AB//CD,且.‎ ‎(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;‎ ‎(2)若PA=PD=AB=DC,,求二面角A−PB−C的余弦值.‎ ‎20.设椭圆的离心率为,直线过点、,且与椭圆C相切于点P.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)是否存在过点的直线m与椭圆C相交于不同两点M、N,使得成立?若存在,求出直线m的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎21. 设函数,曲线过点,且在点处的切线方程为.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)证明:当时,;‎ ‎(3)若当时,恒成立,求实数的取值范围.‎ (一) 选考题:共10分。请考生在第22,23题中任选一题作答。如果多做,那么按所做的第一题计分。‎ ‎22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ 已知圆C:(θ为参数)和直线l:(其中t为参数,α为直线l的倾斜角).‎ ‎(1)当α=时,求圆上的点到直线l距离的最小值;‎ ‎(2)当直线l与圆C有公共点时,求α的取值范围.‎ ‎23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】‎ 已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)<4的解集为M.‎ ‎(1)求M;‎ ‎(2)当a,b∈M时,证明:2|a+b|<|4+ab|.‎ 数学试卷(理科)答案解析 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C A B D B D C C A B D A ‎1.【答案】C ‎【解析】P={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1},P∪M=Pa∈[-1,1],故选C.‎ ‎2.【答案】A ‎【解析】命题的否定是否定命题的结论,故A不正确;B选项是一个特称命题的否定,变化正确;C选项是写一个命题的逆否命题,需要原来的命题条件和结论都否定再交换位置,C正确;D选项由前者可以推出后者,而反过来不是只推出x=1,故D正确,故选A.‎ ‎3.【答案】B ‎【解析】|a+2b|====2,故选B.‎ ‎4.【答案】D ‎【解析】由题意可知该函数的周期为,‎ ‎∴=,ω=2,f(x)=tan 2x,∴f=tan=.‎ 5. ‎【答案】B 6. ‎【答案】D ‎7.【答案】C ‎【解析】椭圆的焦点分别为,,点A,B在椭圆上,‎ 于,,,可得,,‎ ‎,解得,,所以所求椭圆方程为,故选C.‎ ‎8.【解析】各棱长均相等的直三棱柱中,棱长为2,‎ 以为原点,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,‎ 则,,,,,,‎ 设异面直线与所成角为,则,‎ ‎∴.∴异面直线与所成角的正切值为.故选C.‎ ‎9.【答案】A(互换了答案)‎ ‎【考点】指数、对数、函数的单调性与奇偶性 ‎10.【答案】B ‎【解析】f(x)=cos(2x+φ)+sin(2x+φ)=2sin,‎ ‎∵其图象关于x=0对称,‎ ‎∴f(x)是偶函数,∴+φ=+kπ,k∈Z.‎ 又∵|φ|<,∴φ=.∴f(x)=2sin=2cos 2x.‎ 易知f(x)的最小正周期为π,在上为减函数.‎ ‎11.【答案】D ‎【解析】由双曲线的定义得:|PF1|﹣|PF2|=2a,(不妨设该点在右支上)‎ 又|PF1|+|PF2|=3b,所以,‎ 两式相乘得.‎ 结合c2=a2+b2,得,故e.故选D ‎12.【答案】A ‎【解析】由得函数是周期函数且周期为2,这样由的解析式可求得的解析式,再由偶函数可得时的解析式,从而再由周期性可得函数解析式和图象。作出函数图象,及直线,由图象可得它们有三个交点的情况。‎ ‎【详解】‎ 有三个零点,则函数的图象与直线有三个交点。‎ ‎∵,∴函数是周期函数且周期为2,‎ ‎∴时,,‎ ‎,‎ 又是偶函数,∴时,,‎ 同理,时,,‎ 利用周期性作出的图象,再作直线,如图,‎ 当直线与的图象相切时,由得 ‎,,(舍去),此时切线横坐标为,‎ 当直线与的图象相切时,由得 ‎,,(舍去),此时切线横坐标为,又,直线过点时,,‎ ‎∴的取值范围是。‎ 故选:A。‎ ‎13.【答案】‎ ‎【解析】====.‎ ‎14.【答案】‎ ‎【详解】‎ 对命题,因为,‎ 所以,解得;‎ 命题,因为幂函数在是减函数,‎ 所以,解得;‎ 因为“”为真命题,“”为假命题,‎ 所以一真一假,‎ 若真假,可得且或,解得;‎ 若假真,可得 ,且,解得;‎ 实数的取值范围是,‎ ‎15.【解析】抛物线的准线的方程为,‎ 双曲线的渐近线方程为,‎ 则有,‎ ‎∴,,,‎ ‎∴.‎ ‎16.【解析】解法一:为边长为2的等边三角形,为正三棱锥,‎ ‎,又,分别为,的中点,,,又,平面,∴平面,,为正方体的一部分,,即 解法二:设,分别为的中点,,且,为边长为2的等边三角形,,‎ 又,,‎ 中,由余弦定理可得,‎ 作于,‎ ‎,为的中点,,,‎ ‎,,‎ 又,两两垂直,‎ ‎,,‎ ‎17.【答案】(1)或;(2).‎ ‎【解析】(l)当切线的斜率存在时,设切线方程为,即,‎ 则圆心到该直线的距离,解得,‎ 切线方程为,即,‎ 当切线的斜率不存在时,直线也是圆的切线,‎ 综上所述:所求切线方程为或.‎ ‎(2)‎ ‎18.【答案】(1)∵acosC+asinC-b-c=0,‎ ‎∴由正弦定理可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC,‎ ‎∴sinAcosC+sinAsinC=sin(A+C)+sinC,‎ ‎∴sinA-cosA=1,∴sin(A-30°)=,∴A-30°=30°,∴A=60°.‎ ‎(2)由题意,b>0,c>0,b+c>a=7,‎ ‎∴由余弦定理49=b2+c2-2bccos=(b+c)2-3bc≥(b+c)2(当且仅当b=c时取等号),‎ ‎∴b+c≤14,‎ ‎∵b+c>7,∴7<b+c≤14,‎ ‎∴△ABC的周长的取值范围为(14,21].‎ ‎19.【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】(1)由已知,得AB⊥AP,CD⊥PD.‎ 由于AB//CD ,故AB⊥PD ,从而AB⊥平面PAD.‎ 又AB 平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.‎ ‎(2)在平面内作,垂足为,‎ 由(1)可知,平面,故,可得平面.‎ 以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由(1)及已知可得,,,.‎ 所以,,,.‎ 设是平面的法向量,则 即可取.‎ 设是平面的法向量,则 即可取.‎ 则,‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20.【解析】(1)由题得过两点,直线的方程为.‎ 因为,所以,.‎ 设椭圆方程为,由,‎ 消去得,.‎ 又因为直线与椭圆相切,所以,解得.‎ 所以椭圆方程为.‎ ‎(2)已知直线的斜率存在,设直线的方程为,‎ 由,消去,整理得,‎ 由题意知,解得,‎ 设,,则.‎ 又直线与椭圆相切,‎ 由解得,所以,则.‎ 所以.‎ 又 ‎.‎ 所以,解得,经检验成立.‎ 所以直线的方程为.‎ ‎21.(1)由题意可知,定义域为 ‎,‎ ‎,‎ ‎. ‎ ‎(2),‎ 设,,‎ 由,在上单调递增,‎ ‎∴,在上单调递增,.‎ ‎∴. ‎ ‎(3)设,,,‎ 由(2)中知,,‎ ‎∴, ‎ 当即时,,‎ 所以 在单调递增,,成立.‎ ‎②当即时, ‎ ‎,令,得,‎ 当时,单调递减,则,‎ 所以在上单调递减,所以,不成立.‎ 综上,.‎ ‎22.【答案】(1)当α=时,直线l的直角坐标方程为x+y-3=0,圆C的圆心坐标为(1,0),圆心到直线l的距离d==,圆的半径为1,故圆上的点到直线l距离的最小值为-1.‎ ‎(2)圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,‎ 得t2+2(cosα+sinα)t+3=0,这个关于t的一元二次方程有解,故Δ=4(cosα+sinα)2-12≥0,则sin2(α+)≥,即sin(α+)≥或sin(α+)≤-.‎ 又0≤α<π,故只能sin(α+)≥,即≤α+≤,即≤α≤.故α的取值范围是.‎ ‎【解析】‎ ‎23.【答案】(1)f(x)=|x+1|+|x-1|=‎ 当x<-1时,由-2x<4,得-21时,由2x<4,得1
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