辽宁省大连市2020届高三下学期第二次模拟考试数学文试题 PDF版含答案

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大连市高三二模数学文科1 / 6 2020 年大连市高三第二次模拟考试 数 学(文科) 命题人：安道波 周亚明 于学杰 闫旭 于丹 丁忒 审校人：安道波 本试卷满分 150 分，共 6 页，答卷时间 120 分钟。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条 形码粘贴区。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字 体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在 草稿纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 本试卷分第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分，其中第 II卷第 22题～ 第 23题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答 题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第 I 卷 一．选择题:（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分．每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） （1）已知集合  0342 +−= xxxA ,  42 = xxB ,则 A B =（ ） （A） (1,3) （B） (1, 4) （C） (2,3) （D） (2, 4) （2）已知 ,a bR ，i 为虚数单位，若 ia− 与2 ib+ 互为共轭复数，则(a＋bi)2 为（ ） （A）5－4i （B）5＋4i （C）3－4i （D）3＋4i21 教 （3）双曲线 2 2 1 4 x y− = 的渐近线方程是（ ） （A） 1 4 y x=  （B） 1 2 y x=  （C） 2y x=  （D） 4y x=  （4）瑞士数学家欧拉发明了著名的“欧拉公式 i cos isinxe x x= + （ i 为虚数单位）”， 欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它 在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知， 3ie 表示 的复数在复平面中位于（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 大连市高三二模数学文科2 / 6 （5）设函数 21 log (2 ), 1 ( ) , 1x x x f x e x + −  =   ，则 ( 2) (ln 6)f f− + =（ ） （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 （6）已知各项均为正数的数列{ na }为等比数列， 1 5 16a a = ， 3 4+ 12a a = ，则 7a =（ ） （A）16 （B）32 （C）64 （D）256 （7）已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，与图象最契合的函数是（ ） （A） ( )sin x xy e e−= + （B） ( )sin x xy e e−= − （C） ( )cos x xy e e−= − （D） ( )cos x xy e e−= + （8）已知关于某设备的使用年限 x （单位：年）和所支出的维修费用 y （单位：万元） 有如下的统计资料： 由上表可得线性回归方程 0.08y bx= + ，若规定当维修费用 12y  时该设备必须报 废，据此模型预报该设备使用的年限不超过为（ ） （A）7 （B）8 （C）9 （D）10 （9）已知点 P 在抛物线 2: 4C y x= 上，过点 P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于 A 、 B 两点，若直线 AB 的斜率为 1− ，则点 P 坐标为（ ） （A）（1,2） （B）（1， 2− ） （C） (2, 2 2) （D） (2, 2 2)− （10）下列四个正方体图形中， A B、 为正方体的两个顶点，M N P、 、 分别为其所在 棱的中点，能得出 / /AB 平面MNP 的图形的序号是（ ） 大连市高三二模数学文科3 / 6 （A）①③ （B）②③ （C）①④ （D）②④ （11）已知三棱锥P ABC− ,面PAB ⊥面 ABC， 4PA PB= = ， 4 3AB = ， =90ACB ，则三棱锥P ABC− 外接球的表面积（ ） （A）20 （B）32 （C）64 （D）80 （12）已知函数 ( ) sin( + )f x x = ( 0,| | ) 2     , 其图象与直线 1y = 相邻两个交点的 距离为 ，若对 ( , ) 24 3 x     ，不等式 1 ( ) 2 f x  恒成立，则 的取值范围是 ( ) （A）[ ] 12 6   ， （B） 12 3   （ ，） （C）[ ] 6 3   ， （D） 6 2   （ ，） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试 题考生都必须做答．第 22 题～第 23题为选考题，考生根据要求做答． 二.填空题:（本大题共 4小题,每小题 5分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相 应位置上） （13）设向量 )4,2(=a 与向量 )6,(xb = 共线，则实数 =x ． （14）抽取样本容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据落在区间[10,30)的频率为 ． （15）数列 na 满足 1 ( 1)n n na a n+ + − = ，则 na 的前 8 项和为 ． （16）已知函数 ( ) ln 2 ex f x x = − ，则 ( ) ( )2f x f x+ − 的值为 ； 则 19 1 10k k f =        的值为 ． 大连市高三二模数学文科4 / 6 三.解答题：(本大题共 6 小题,共 70分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) （17）(本小题满分 12 分) 在 ABC 中，内角 A B C， ， 的对边分别为a b c， ， ，且 ( )2 2 2(2 ) 2 cosa c a b c abc C− − + = . （Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）若 1, 3a b= = ，求 ABC 的面积. （18）(本小题满分 12 分) 如图，已知平面四边形 ABCP中， D 为 PA 的中点，PA AB⊥ ， / /CD AB， 且 2 4PA CD AB= = = ．将此平面四边形 ABCP沿CD折起， 且平面PDC ⊥平面DCB，连接PA PB BD、 、 ． （Ⅰ）证明：平面 PBD ⊥平面PBC ； (II)求点 D 与平面PBC 的距离． D A C B P BA CD P 大连市高三二模数学文科5 / 6 (19)(本小题满分 12分) 为了立德树人，某校组织学生参加中华传统文化知识竞赛，现从参加竞赛的 450名学生 中随机抽取 60名学生，将其按成绩(均为整数)分成六段[90,100)，[100,110)，…， [140,150]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题： （Ⅰ）求分数在[120,130)内的频率，并补全这个频率分布直方图； (II)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均 分； (Ш)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6的样本，将该样 本看成一个总体，从中任取 2个，求至多有 1人在分数段[120,130)内的概率． (20) （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) ln ( 1) 1f x x x a x a= − − + + . (Ⅰ)讨论 ( )f x 的单调性； (Ⅱ)若 1x  ，不等式 ( ) 1f x  恒成立，求整数a 的最大值. 大连市高三二模数学文科6 / 6 (21)（本小题满分 12 分） 已知离心率为 2 2 e = 的椭圆 22 2 2 : 1( 0) x y Q a b a b + =   的上下顶点分别为 (0,1),A (0, 1)B − ，直线 : ( 0)l x ty m m= +  与椭圆Q 相交于 ,C D 两点，与 y 相交于点M .21 (Ⅰ)求椭圆Q 的标准方程； (Ⅱ)设直线 ,AC BD 相交于点 N ，求OM ON 的值. 请考生在 22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记 分．做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． (22)（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 以平面直角坐标系 xoy 的原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极 坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin( ) 3 2 4    + = ,曲线C 的参数方程为 2cos 3 sin x y   =  = ( 为参数). （Ⅰ）求直线 l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程; (II)求曲线C 上的动点到直线 l 距离的最大值. (23)（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 已知函数 ( ) | | | 2 |f x x a x b= − + + ， ,a bR . （Ⅰ）若 1 1, 2 a b= = − ，求 ( ) 2f x  的解集； (II)若 0ab  ，且 ( )f x 的最小值为 2，求 2 1 a b + 的最小值. 大连市高三二模文科答案 1 / 6 2020 年大连市高三二模测试 数学（文科）参考答案与评分标准 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题 （1）（B）；（2）（D）；（3）（B）；（4）（B）；（5）（C）；（6）（C）；（7） （D）；（8）（D）；（9）（A）； （10）（C）；（11）（C）；（12）. (A) 二.填空题 （13）3； （14）0.25； (15) 20； 16．2，19. 三.解答题 （17）(本小题满分 12 分) （Ⅰ）由余弦定理得： 2 2 2 2 cosa b c ac B=− + ，．.. ....... .... ...........1分 又因为 2 2 2( ) 2 co2 )( sa c a b c abc C− − + = ，，...．.. ....... .... ...........2分 所以 (2 )cos cosb Ca c B =− ，所以 (2sin sin )c sinos cosA C B CB− = ，.. ..........3分 所以 sin(2sin ) icos s nB CB AA = + = ，...．.. ..... ........ .... ...........5分 因为sin 0A ， cos 1 2 B = 所以 3 B  = 。... ....．.... ........... ..........6分 (II)由正弦定理得： sin sin a b A B = ，... ....．. ..... ..... ..................7分 所以 sin 1 sin = 2 a B A b = ，... ....．. ..... ..... .......... ... ..........8分 因为a b ，所以 6 A  = .... ....．. ..... ..... .......... ... ..........10分 大连市高三二模文科答案 2 / 6 1 1 3 sin 1 3sin90 = 2 2 2 S ab C= =   ...．. ..... ..... .......... .. ......12分 (18)(本小题满分 12 分) 解：（Ⅰ）因为PD DC⊥ ，AD DC⊥ ，直二面角P DC B− − 的平面角为 90PDA = ， 则 PD ⊥平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以PD BC⊥ ． 又在平面四边形 ABCP中，连接BD，由已知数据易得BD BC⊥ ，而PD BD D= ， BD 平面 PBD ， PD 平面PBD ，故BC ⊥平面PBD ，因为 BC平面PBC ， 所以平面 PBD ⊥平面PBC ．．. . .......... ..... .......... .. ......6分 (II) 由（Ⅰ）知 , 2, 2 2AD AB AD AB BD⊥ = =  = ，由（Ⅰ）知PD BD⊥ ，所以 2 3PB = ， BD BC⊥ ， 2 2BC = .... ..... .......... .. ....... ......8分 1 1 2 2 2 2 2 3 2 P BDCV − =     ， 1 1 2 3 2 2 3 2 D BPCV h− =    ，...... .. ..10分 因为 P BDC D BPCV V− −= ，所以 2 6 3 h = ， 即点 D 与平面PBC 的距离为 2 6 3 ．......... ..... .......... .. ......12分 (19)(本小题满分 12 分) 解：（Ⅰ）分数在[120,130)内的频率为： 1 (0.1 0.15 0.15 0.25 0.05) 0.3− + + + + = 。..... 2分 补全的频率分布直方图（如右图）。...... ..... 3分 (II) 95 0.1 105 0.15 115 0.15 125 0.3 130 0.25 145 0.05 121x =  +  +  +  +  +  = . ......... ..... . ..... .... . ..... .......... . ..... ..... .. ......5分 (Ш)由题意，在[110,120)分数段的人数为60 0.15 9 = ，在[120,130)分数段的人数为 60 0.3 18 = ，因为用分层抽样方法在分数段[110,130)的学生中抽取一个样本容量为 6 的样本，所以需[110,120)分数段抽取 2 人，记为 1 2,a a ，需[120,130)分数段抽取 4 人， .. . ...... ....... .... ........ .... .......... . ..... ..... .. ......7分 记为 1 2 3 4, , ,b b b b ，则抽取两人的样本空间为： 大连市高三二模文科答案 3 / 6 1 2 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 2 4 ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) a a a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b b b b b b b       共 15 个。 .. . ...... ....... .... ....... .... .......... . ..... ..... .. ......10分 至多有 1 人在分数段[120,130)内样本空间 A 为：  1 2 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ),a a a b a b a b a b a b a b a b a b 共 9 个 .. . ...... ...... .... ........ .... .......... . ..... ..... .. ......11分 9 3 ( ) 15 5 P A = = .. .... ... ............ .......... . ..... ..... .. ......12分 (20) （本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）因为 ( )f x 的定义域为 (0, )+ ，所以 ( ) ln 2f x x a = + − ，... ....... 2分 所以 ( )f x 在 2(0, )ae − 上单调递减，在 2( , )ae − + 上单调递增. .... .. ......... 4 分 (II)方法一：若 2 1ae −  ，则 2a  ， 由（Ⅰ）知 2 2 min( ) ( ) 1a af x f e a e− −= = + − ，.. .. . . . .. . . .. . . ..... .6分 因为不等式 ( ) 1f x  恒成立，所以 2 0aa e −−  .. . ...... ....... . . ..... .7分 令 2( ) ( 2)xg x x e x−= −  ， 2( ) 1 0xg x e − = −  ， ( )g x 在 (2, )+ 为减函数，... .9分 2(3) 3 0, (4) 4 0g e g e= −  = −  .因为整数a ，所以 max 3a = . 当 2a  时，因为求整数 a 的最大值，所以舍。所以 max 3a = .. .... . . . ...12分 方法二：若 1x  ，不等式 ( ) 1f x  恒成立，即 ln ( 1) 0x x a x a− − +  恒成立， 令 =x e，则 ( 1) 0e a e a− − +  ，所以 2 1 e a e  − ，因为整数a ，所以 max 3a = . .. .. . . . .. . . .. .. . . . .. . . .. . . . . .. . . .. . . ..... .7分 下面证明： ln 2 3 0( 1)x x x x− +   恒成立. . .. . . . .. . . ..... .9分 令 ( ) ln 2 3 0g x x x x= − +  ， ( ) ln 1g x x = − . 所以 ( )g x 在 (1, )e 上单调递减，在 ( , )e + 上单调递增. .. . . ..... .10分 大连市高三二模文科答案 4 / 6 ( ) min ( ) 3 3 0g x g e= = −  ，所以 max 3a = .. .... . . .... . . ..... ...12分 方法三： 不等式可化为 (1 ln ) 1 x x a x +  − .设 (1 ln ) ( ) 1 x x h x x + = − ， 2 ln 2 ( ) ( 1) x x h x x − −  = − ....... 5分 设 ( ) ln 2g x x x= − − ，当 1x  时， 1 1 ( ) 1 0 x g x x x −  = − =  ， 则 ( )g x 在 (1, )+ 单调递增. . ．．. . ... ... ....... .......... .. ......6 分 又 (3) 1 ln 3 0g = −  ， (4) 2 ln 4 0g = −  ，则 ( )g x 在 (3, 4) 存在唯一零点 0x 满足 0 0 0( ) ln 2 0g x x x= − − = ，. .. .... ... .... . ...... ....... .. ......8 分 则当 0(1, )x x 时， ( )h x 单调递减，当 0( , )x x + 时， ( )h x 单调递增，则 0 0 0 0 (1 ln ) ( ) ( ) 1 x x h x h x x +  = − .. ... .... . ...... ....... .... .. ......9分 又因为 0 0ln 2 0x x− − = ，则 0 0 0 0 0 ( 1) ( ) 1 x x h x x x − = = − ，因为 0 (3,4)x  ，则 0( ) (3,4)a h x  ，则整数 a 的最大值为3 ... .. .... . . .... . .......12分 (21)（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由题意可得： 2 2 c a = ， 1b = ， 2 2 2a b c= + ，联立解得 2a = ， 1b c= = . 所以椭圆C 的方程为： 2 2 1 2 x y+ = .. .......... ....... .......... .. ......4分 (II)设 1 1 2 2( , ), ( , )C x y D x y ，联立方程组 2 2 1 2 x ty m x y = +   + =  化简得 2 2 2( 2) 2 2 0t y tmy m+ + + − = ； 大连市高三二模文科答案 5 / 6 2 2 2 2 2 24 4( 2)( 2) 4(2 2 4) 0t m t m m t = − + − = − − −  ， 2 1 2 1 22 2 2 2 , 2 2 tm m y y y y t t − − + = = + + ；. .......... . . ．．. . ....... ............6分 设 ( , ), (0, )N N MN x y M y ，直线 AC： 1 1 1 1 y y x x − − =  直线 BD： 2 2 1 1 y y x x + + = ；. . ．．. . ........... . ．. . ...............7分 ÷得 1 2 1 2 1 1 1 1 N N y y x y x y − − =  + + ，因为 2 2 2 2 1 11 1 , 2 0 0 2 BD AD y y k k x x − +  = −  = − − − ，......9分 所以 2 2 2 2 1 2 1 x y y x − = − + 。 所以 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ( 1)( 1) 2 1 1 N N y y x y y t m y x y x x t m − − − − + =  = − = + + − ，...... ..............10分 所以 N t y m = − 又因为 M m y t = − ， ( )( ) 1M N m t OM ON y y t m  = = − − = ．. ........ ....... .......... .. ......12分 (22)（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）由 sin( ) 3 2 4    + = ，得 2 2 sin cos 3 2 2 2    + = ，......... . .....2分 将 sin y  = ， cos x  = 代入上式， 得直线 l 的直角坐标方程为 6 0x y+ − = . ．．. . ....... .......... . .....4分 由曲线C 的参数方程 2cos 3 sin x y   =  = ，（为参数）， 得曲线C 的普通方程为 2 2 1 4 3 x y + = . . ．．. . ....... .......... .. ......5分 大连市高三二模文科答案 6 / 6 (II)设点M 的坐标为 (2cos , 3sin )  ，则点M 到直线 l ： 6 0x y+ − = 的距离为 2cos 3 sin 6 7 sin( ) 6 2 2 d    + − + − = = （其中 2 3 tan 3  = ）.. ....... ...8分 当 sin( ) 1 + = − 时，d 取最大值，且d 的最大值为 14+6 2 2 .. ．．. . . . ......10分 (23)（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 解：（Ⅰ）由题意 ( )=2 | 1| 2f x x −  ，所以解集为： 1,2 . ．．. . . . .. ......5分 (II)因为 ( ) | | | 2 | | ( ) ( 2 ) | | 2 |f x x a x b x a x b a b= − + +  − − + = + ，. . . .. ......6分 当且仅当 ( )( 2 ) 0x a x b− +  时，取到最小值 | 2 |a b+ ，即 | 2 | 2a b+ = ， 因为 0ab  ，故 | | | 2 | 2a b+ = ， 2 1 2 1 a b a b + = + ，... .. ..........8分 所以 2 1 1 2 1 1 2 1 2 (| | | 2 |) 2 2 a b a b a b a b   + =   + − = + +    1 4 1 4 4 4 2 4 2 2 2 b a b a a b a b    = + +  + − =        . 当且仅当 4b a a b = ，且 | | | 2 | 2a b+ = ，即 1a = ， 1 2 b = 或 1a = − ， 1 2 b = − 时，等号成立. 所以 2 1 a b + 的最小值为 4. .... .......... .... .... .. ......... .. .....10分