2019-2020学年海南省海口市第四中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年海南省海口市第四中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年海南省海口市第四中学高一上学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先确定集合中的元素，然后根据交集定义求解．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算，运算时必须先确定集合中的元素．‎ ‎2．已知，是一元二次方程的两个实根，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】用韦达定理求出两根和与积，再代入计算．‎ ‎【详解】‎ 由题意，，∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．‎ ‎3．命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】否定结论，并把存在量词改为全称量词．‎ ‎【详解】‎ 命题“，”的否定是“，”，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，命题的否定除要否定结论外还必须把全称量词改为存在量词．‎ ‎4．已知二次函数的图象如下图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由二次函数顶点确定的正负，然后再分析一次函数与反比例函数的图象的位置。‎ ‎【详解】‎ 由题意已知二次函数图象的顶点是在第四象限，∴，函数是增函数，且直线的纵截距为负，可排除A、D，又，函数的图象在二、四象限，可排除B，只有C正确。‎ 故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数、一次函数和反比例函数的图象，解题时由已知图象分析参数的取值范围，本题中只要分析的正负，然后根据参数的范围确定其他函数图象可能的位置。‎ ‎5．如果，那么下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论．‎ ‎【详解】‎ 由于，不妨令，，可得 ，，故不正确．‎ 可得，，，故不正确．‎ 可得，，，故不正确．‎ ‎，故D正确.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．‎ ‎6．数“”为无理数的一个充分不必要条件是（ ）‎ A．为无理数 B．为无理数，为有理数 C．为无理数，为无理数 D．为无理数 ‎【答案】B ‎【解析】根据充分必要条件的定义判断。分别由A、B、C、D作为条件去推导“是无理数”是否为真命题，确定充分条件，再由是无理数推导A、B、C、D四个结论是否为真确定是否是必要的。‎ ‎【详解】‎ 是无理数时，不一定是无理数，如，A不是充分条件；‎ 为无理数，为有理数时，一定是无理数，但时，是无理数，是无理数，B是充分不必要条件。‎ 时，都是无理数，但是有理数，C不是充分条件；‎ 与同时是无理数，同时是有理数，D是充要条件。‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础。‎ ‎7．已知两个正数a，b满足，则的最小值是　　‎ A．23 B．24 C．25 D．26‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，分析可得，对其变形可得，由基本不等式分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，正数a，b满足，‎ 则，‎ 当且仅当时等号成立.‎ 即的最小值是25．‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎8．已知，则，，则和的大小关系正确的是（ ）‎ A． B． C． D．与和的取值有关 ‎【答案】A ‎【解析】作差与0比较后可得结论。‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴。‎ 故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实数的大小比较，作差法是比较两实数大小的常用方法。‎ 二、多选题 ‎9．下面表示同一个集合的是（ ）‎ A．，‎ B．，‎ C．，‎ D．，‎ E.，‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】分别分析各选择支中两个集合中的元素是哪些即可判断。‎ ‎【详解】‎ A中两个集合都是由元素2和5构成的，是同一集合；‎ B中集合中元素是点，集合中元素是点，不相同，不是同一集合；‎ C中两个集合都是由都是所有奇数组成的，是同一集合；‎ D中两个集合都是由所有6的整数倍数组成的，是同一集合；‎ E中两个集合中有元素0，不含任何元素，不是同一集合。‎ 故选：ACD。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的概念，判断两个集合相等，解题方法是判断两个集合中的元素是否相同即可。对稍微复杂的集合必须证明且才能说明。‎ ‎10．下列说法正确的是（ ）‎ A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的既不充分也不必要条件 C．若“”是“”的充分条件，则 D．“”是“（，）”的充要条件 E.“一元二次方程无解”的必要不充分条件是“恒成立”‎ ‎【答案】BC ‎【解析】根据充分必要条件的定义对每一个命题进行判断。‎ ‎【详解】‎ 时，由不能得出，A错；‎ 与相互不能推导，如时但不满足，反之若，满足但不满足，∴“”是“”的既不充分也不必要条件，B正确；‎ 由充分必要条件与集合之间的包含关系可知正确；‎ 能得出，当时，，但，D错；‎ ‎“一元二次方程无解”时，可能是恒成立也可能是恒成立，因此题中不充分是对的，但“恒成立”，不一定是一元二次方程，必要性是错误的，E错。‎ 故选：BC。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题基础。‎ ‎11．下列关于基本不等式的说法，正确的是（ ）‎ A．若，，则成立 B．对任意的，，成立 C．若，，则不一定成立 D．若，则成立 E.若，则成立 ‎【答案】ABE ‎【解析】由基本不等式的条件分析。‎ ‎【详解】‎ A就是均值不等式，正确；由知B正确；由A知C错误；当时，，但，D错误；由A知E正确。‎ 故选：ABE。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式，掌握基本不等式成立的条件是解题关键。均值不等式中，但对也不影响结论的成立。‎ ‎12．设为实数集的非空子集．若对任意，，都有，，，则称为封闭集．下列命题正确的是（ ）‎ A．自然数集为封闭集 B．整数集为封闭集 C．集合为整数为封闭集 D．若为封闭集，且，则一定为无限集 E.若为封闭集，则一定有 ‎【答案】BCDE ‎【解析】根据集合的新定义判断每个命题是否为真。‎ ‎【详解】‎ A．自然数集不是封闭集，如，但，A错；‎ B．任意两个整数的和、差、积仍然是整数，整数集是封闭集，B正确；‎ C．集合为整数为封闭集，设，，则，，，C正确；‎ D．若为封闭集，且，则，，因此，依此类推，所有整数都属于，而整数是无数个，所以一定为无限集，D正确；‎ E．若为封闭集，设，则，E正确．‎ 故选：BCDE．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的新定义，考查学生的创新意识．解题关键是正确理解新概念，要证明新定义下的命题为真，要说明是封闭集，实质就是在时，证明。‎ 三、填空题 ‎13．设是平行四边形}，{是邻边相等的四边形}，则 ‎ __________．‎ ‎【答案】{是菱形}‎ ‎【解析】按交集定义运算。‎ ‎【详解】‎ 由题意是平行四边形且是邻边相等的四边形是菱形．‎ 故答案为：是菱形．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集的运算，掌握交集定义是解题基础。‎ ‎14．设集合，若，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】集合是方程的解集，要先讨论最高次项系数是否为0的情形。‎ ‎【详解】‎ 时，方程为－1＝0，不成立，无解，‎ 时，方程无解，则，，‎ 综上，。∴的取值范围是 故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空集的概念，实质考查方程无实数解的条件，易错点在于不分类讨论即不考虑的情形，直接由得结论。‎ ‎15．用列举法表示集合是_____________________；用描述法表示“所有被4除余1的整数组成的集合”是_____________________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由，且，则取值只能为，求出对应的可得集合中的各元素，被4除余1的整数可表示为（）形式．‎ ‎【详解】‎ 由题意，所有被4除余1的整数组成的集合为．‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的表示法．集合的表示法有列举法，描述法，图示法．‎ ‎16．命题“”是真命题，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分离参数为，只要求得的最大值即可．‎ ‎【详解】‎ 由，得，的最大值为0，‎ ‎∵，∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查存在命题为真时求参数取值范围问题，本题实质是不等式能成立问题，解题时要与不等式恒成立（即全称命题）区别开来，不等式恒成立与能成立，前者是，后者是．‎ ‎17．设，，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】凑配出可用基本不等式求最值的形式，即凑配出积为定值的式子．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号．∴的最小值为3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用基本不等式求最值，解题关键是凑配出“积为定值”的式子．‎ 四、解答题 ‎18．已知全集，设集合，集合，‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若集合只有一个元素，求的值；‎ ‎（3）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）=；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）根据集合的补集和交集的定义运算；‎ ‎（2）中只有一个元素，必须有；‎ ‎（3）等价于，由子集的定义可求解，但要注意的情形．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 所以，所以=；‎ ‎（2）集合只有一个元素，仅当时，所以，此时；‎ ‎（3）由，则，‎ 当，即时，，符合题意；‎ 当时，，则，‎ ‎ 解得，‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算，考查集合的包含关系，在集合的包含关系中要注意空集是任何集合的子集，不能遗忘．‎ ‎19．（1）把写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？‎ ‎（2）把写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？‎ ‎【答案】（1）a=b=6时，它们的和最小，为12；（2）a=b=9时，它们的积最大，为81‎ ‎【解析】（1）两个正数的积为定值，则和有最小值，由基本不等式可得；‎ ‎（2）两个正数的和为定值，则积有最大值，由基本不等式可得．‎ ‎【详解】‎ 设两个正数为a，b ‎（1），则，当且仅当等号成立，‎ 即a=b=6时，它们的和最小，为12.‎ ‎（2），则当且仅当等号成立 ‎ 即a=b=9时，它们的积最大，为81.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式求最值．即两个正数，积为定值时和有最小值，和为定值时积有最大值，都是当且仅当这两个数相等时取得最值．‎ ‎20． （1）已知，比较与的大小；‎ ‎（2）已知，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）的最小值为3‎ ‎【解析】（1）作差后与0比较；‎ ‎（2）由，可变形为，这样可用基本不等式求得最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（2）则，‎ 当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查比较两个实数的大小，考查用基本不等式求最值．对两个实数，常常用作差法比较它们的大小．如果是两个正数，也可用作商法比较大小．‎ ‎21．△中，边内上有一点，证明：是的角平分线的充要条件是．‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】证明两个命题为真：一个是由是的角平分线证明，一个是由证明是的角平分线．‎ ‎【详解】‎ 证明：设：是的角平分线，：．‎ 如图，过点作//交的延长线与点，‎ ‎（1）充分性（）：若，则，所以，所以，又△∽△，所以，所以．‎ ‎（2）必要性 （）：反之，若，则∵，∴△∽△，∴，所以，所以，又//，所以，所以．‎ ‎ 由（1）（2）可得，是的角平分线的充要条件是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分必要条件的证明，要证明是的充要条件，必须证明两个命题为真：即充分性：，必要性：．‎ ‎22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和点，交轴与点，抛物线的一条弦与轴正半轴交于点.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当点是线段的中点时，求点的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，写△的外心（外接圆的圆心）的坐标，并说明理由。‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）的外接圆的圆心为原点，理由见解析 ‎【解析】（1）将坐标代入中可解得；‎ ‎（2）设，，由是中点及，先求得，从而得，最后可得；‎ ‎（3）由可知是的外心．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将坐标代入中，得：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎(2)在轴上，设点 ‎ 而是的中点，则，‎ 而在抛物线上，，‎ ‎.‎ ‎（3）当时，，则，‎ ‎，‎ 的外接圆的圆心为原点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求二次函数解析式，考查二次函数的图象与性质．已知二次函数图象过两点，而函数解析式中只有两个参数，因此代入两点坐标就可求得解析式．‎ ‎23．某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为小时，则生产1000台某产品的总加工时间y是一个关于x的函数。‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式；‎ ‎（2）如何分配工人才能使生产1000台某产品的总加工时间最少？‎ ‎【答案】（1）；（2）当加工甲装置工人为时，乙装置工人时，总加工时间最少.‎ ‎【解析】（1）1000台产品中共有9000个甲型装置，3000个乙型装置，因此人加工完甲型装置的时间为，而剩下的个加工完乙型装置的时间为，两者相加即得总的加工时间．注意且；‎ ‎（2）从的表达式中可以看出，通过凑配法凑出定值后可求得最小值．，然后应用基本不等式可求得最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 当且仅当时，即时等号成立，‎ 所以，当加工甲装置工人为时，乙装置工人时，总加工时间最少.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的实际应用，解题关键是求出总加工时间关于的函数式．然后用凑配法配出可用基本不等式求最小值时形式（积为定值）后求得最小值．‎