江苏省徐州市2019-2020学年高二上学期期末抽测数学试题

江苏省徐州市2019-2020学年高二上学期期末抽测数学试题

徐州市2019-2020学年度第一学期期末抽测 高二年级数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 命题“，使得”的否定是( )‎ ‎ , , ‎ ‎ , , ‎ ‎【答案】‎ ‎2. 不等式的解集是( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎3. 等差数列前项和为，若，，则( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎4. 若平面的法向量分别为,,且,则的值为( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎5. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，且焦距为，则的值为( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎6. 有同学用石子在沙滩上摆成各种形状来 研究数，如图1和图2所示. 图1中的 ‎1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成 三角形，将其称为三角形数；类似地，‎ 称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为 正方形数.下列数中既是三角形数又是正 方形数的是( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎7. 已知都是实数，那么“”是“”的( )‎ ‎ 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 ‎【答案】‎ ‎8.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗 浮宫博物馆.该油画规格为：纵77cm，横53cm.油画挂 在墙壁上的最低点处B离地面237cm(如图所示).有一 身高为175cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼 睛C的距离为15cm)，设该游客离墙距离为xcm，视角 为.为使观赏视角最大，x应为( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选 错的得0分。‎ ‎9. 下列说法正确的有( )‎ ‎ 若，则 若，则 ‎ ‎ 若，则 若，则 ‎【答案】‎ ‎10.若双曲线的一个焦点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是( )‎ ‎ 的方程为 的离心率为 ‎ ‎ 焦点到渐近线的距离为 两准线间的距离为 ‎【答案】‎ ‎11.等差数列的前项和为，若，公差，则下列命题正确的是( )‎ ‎ 若，则必有 若，则必有是中最大的项 若，则必有 若，则必有 ‎【答案】‎ ‎12.下列命题中正确的是( )‎ ‎ 是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面 ‎ 已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底 ‎ 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面 所成角的正弦值为 ‎【答案】‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.若数列满足，，则数列前项的和为 .‎ ‎【答案】‎ ‎14.在长方体中，，，则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎15.若是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，则取最 小值时点的坐标为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎16.已知正项等比数列满足，若存在两项使得，‎ 则的最小值是 ，此时 .‎ ‎【答案】 ‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。‎ ‎17.(10分)已知，.‎ ‎（1）若，求； （2）若是的充分条件，求的取值范围.‎ ‎【解】（1）由题意，得 当时， …………………………………2分 所以， ……………………………………4分 ‎（2）由已知，是的充分条件，则 …………………………6分 又 ……………………………………………8分 所以 解得，， ‎ 所以的取值范围是 ………………………………………10分 ‎18.(12分)已知函数，且不等式的解集是.‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【解】（1）因为不等式的解集是 所以且的解是，…………………2分 所以，所以，， ………………………4分 所以， ……………………………………………………6分 ‎ ‎（2）因为对于恒成立 所以对恒成立， ……………8分 当时，，‎ 所以， …………10分 所以．………………………………12分 ‎19.(12分)设为等差数列的前项和，已知，且.‎ ‎(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的项和.‎ ‎【解】（1）由已知，，且，‎ 所以，……………………………………2分 所以 …………………………………………4分 ‎（2）由（1）知，，…………………6分 所以，‎ ‎，‎ 两式相减得， …………………4分 ‎ 所以 所以 …………………………………12分 ‎20.(12分)已知动点到定点的距离比它到轴的距离大.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设点(为常数)，过点作斜率分别为的两条直线与，交曲 线于两点，交曲线于两点，点分别是线段的中点，若 ‎，求证：直线过定点.‎ ‎【解】（1）因为点到定点的距离比它到轴的距离大1，‎ 所以，点到定点的距离等于它到的距离，‎ 所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ‎ 所以，动点的轨迹的方程为 ………………………………4分 ‎ ‎（2）由题意，直线的方程为，‎ 设，由，得，‎ 所以， ……………………………………6分 又线段的中点为，所以，同理……8分 所以，‎ 所以直线，‎ 即 ………………………………………………10分 所以，直线过定点 …………………………………12分 ‎21.(12分)如图，在三棱锥中，已知，，平面平 面，点分别是的中点，‎ ‎，连接.‎ ‎（1）若，并异面直线与 所成角的余弦值的大小；‎ ‎（2）若二面角的余弦值的大小 为，求的长. ‎ ‎【解】（1）连结OC．∵平面PAB⊥平面ABC，PO⊥AB，∴PO⊥平面ABC，所以PO⊥OC．‎ ‎∵AC=BC，点O是AB的中点，∴OC⊥AB．且． ‎ 如图，建立空间直角坐标系．………………2分 ‎，．‎ ‎，，， ‎ ‎，． ………………4分 从而， ．‎ ‎∵，‎ ‎∴异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为．…………………………6分 ‎（2）设，则．∵ PO⊥OC，OC⊥AB，∴OC⊥平面PAB．‎ 从而是平面PAB的一个法向量．…………………………8分 不妨设平面PBC的一个法向量为，‎ ‎∵，， ∴‎ 不妨令x=1，则y=1，，则． …………………10分 由已知，得，化简，得．‎ ‎∴． …………………………………12分 ‎22.(12分)在直角坐标系中，已知椭圆的上顶点坐标为，‎ 离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上的点的横坐标为，且位于第 一象限，点关于轴的对称点为点，是位于直线异侧的椭圆上的动点.‎ ①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；‎ ②若动点满足，试探求直线的斜率是否为定值？说明理由.‎ ‎【解】（1）由题意，可得，‎ 则椭圆的标准方程为. …………………………………2分 ‎（2）由（1）可得点坐标为，则.‎ ‎①设直线方程为，联立椭圆方程，‎ 化简可得，‎ 设，则，‎ ‎ 所以当时，四边形面积最大值为. ………………6分 ‎②由题意，因为，则直线斜率与直线斜率互为相反数.‎ 设直线的方程为，联立椭圆方程，‎ 化简可得，设，‎ 则，又，所以，‎ 设，同理可得，‎ 所以，‎ 所以直线的斜率为定值. ………………12分