【数学】2019一轮复习苏教版回归教材纠错例析帮你减少高考失分点6学案
6.解析几何
1．直线的倾斜角与斜率
(1)倾斜角的范围为[0，π)．
(2)直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率为k＝(x1≠x2)；③直线的方向向量a＝(1，k)；④应用：证明三点共线：kAB＝kBC.
[问题1] (1)直线的倾斜角θ越大，斜率k就越大，这种说法是________的．(填正确或错误)
(2)直线xcos θ＋y－2＝0的倾斜角的范围是____________________．
答案 (1)错误 (2)∪
2．直线方程的五种形式
(1)点斜式：已知直线过点(x0，y0)，其斜率为k，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x轴的直线．
(2)斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b，它不包括垂直于x轴的直线．
(3)两点式：已知直线经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线方程为＝，它不包括垂直于坐标轴的直线．
(4)截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为＋＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．
(5)一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式．
[问题2] 已知直线过点P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________________________________________________________________________．
答案 5x－y＝0或x＋y－6＝0
3．两条直线的位置关系
(1)若已知直线的斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则
①l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；②l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；③l1与l2相交⇔k1≠k2.
(2)若已知直线的一般方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则
①l1∥l2平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；
②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0；
③l1与l2相交⇔A1B2－A2B1≠0；
④l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0.
[问题3] 设直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m＝________时，l1∥l2；当m＝________时，l1⊥l2；当________时，l1与l2相交；当m＝________时，l1与l2重合．
答案 －1 m≠3且m≠－1 3
4．点到直线的距离及两平行直线间的距离
(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝.
(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.
[问题4] 两平行直线3x＋2y－5＝0与6x＋4y＋5＝0间的距离为________．
答案
5．圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，只有当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示圆心为，半径为的圆．
[问题5] 若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a＝________.
答案 －1
6．直线与圆的位置关系的判断
(1)几何法：根据圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系来判定．
(2)代数法：将直线方程代入圆的方程消元得一元二次方程，根据Δ的符号来判断．
[问题6] 已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，直线3x＋4y＋2＝0与圆C相切，则该圆的方程为__________．
答案 (x－1)2＋y2＝1
解析 因为抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，
所以a＝1，b＝0，
又由直线3x＋4y＋2＝0与圆C相切，得r＝＝1，
所以该圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.
7．圆锥曲线的定义和性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义
PF1＋PF2＝2a(2a>F1F2)
|PF1－PF2|＝2a(2a
b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
图形
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≥a
x≥0
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±a,0)
(0,0)
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
关于x轴对称
焦点
(±c,0)
轴
长轴长2a，短轴长2b
虚轴长2b
离心率
e＝＝
(01)
e＝1
准线
x＝±
x＝±
x＝－
通径
AB＝
AB＝2p
渐近线
y＝±x
[问题7] 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．
答案 2
解析 ∵c2＝m＋m2＋4，
∴e2＝＝＝5，
∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.
8．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有惟一解时，在椭圆中相切，
在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．
(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长
P1P2＝或
P1P2＝ .
(3)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于C(x1，y1)，D(x2，y2)，则①焦半径CF＝x1＋；
②弦长CD＝x1＋x2＋p；③x1x2＝，y1y2＝－p2.
[问题8] 如图，斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为________．
答案
解析 设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由椭圆方程知，a2＝4，b2＝1，c2＝3，
所以F(，0)，直线l的方程为y＝x－.
将其代入x2＋4y2＝4，
化简整理，得5x2－8x＋8＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
所以AB＝|x1－x2|
＝·
＝×＝.
易错点1 直线的倾斜角和斜率关系不清
例1 直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是__________．
易错分析 本题易混淆α和倾斜角的关系，不能真正理解斜率和倾斜角的实质，忽视倾斜角本身的范围．
解析 设直线的倾斜角为θ，
则有tan θ＝－sin α.
因为sin α∈[－1,1]，
所以－1≤tan θ≤1，
又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π.
答案 ∪
易错点2 忽视直线的特殊位置
例2 已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0，求使l1∥l2的a的值．
易错分析 本题易出现的问题是忽视直线斜率不存在的特殊情况，即忽视a＝0的情况．
解 当直线斜率不存在，即a＝0时，
l1：3x－5＝0，l2：－x－2＝0，符合l1∥l2；
当直线斜率存在时，l1∥l2⇔－＝⇔a＝－，
经检验，a＝－符合题意．
故使l1∥l2的a的值为－或0.
易错点3 焦点位置考虑不全
例3 已知椭圆＋＝1的离心率等于，则m＝______.
易错分析 本题易出现的问题就是误以为给出方程的椭圆，其焦点在x轴上导致漏解．该题虽然给出了椭圆的方程，但并没有确定焦点所在坐标轴，所以应该根据其焦点所在坐标轴进行分类讨论．
解析 ①当椭圆的焦点在x轴上时，
由方程＋＝1，得a2＝4，即a＝2.
又e＝＝，所以c＝，m＝b2＝a2－c2＝22－()2＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋＝1.
由方程，得b2＝4，即b＝2.
又e＝＝，故＝，解得＝，即a＝2b，
所以a＝4，故m＝a2＝16.
综上，m＝1或16.
答案 1或16
易错点4 忽视斜率不存在
例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2,1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．
①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；
②求证：OP⊥OQ.
易错分析 解答本题第(2)②问时需要考虑直线的斜率是否存在，可分两类情况分别求解．
(1)解 由题意，得＝，
＋＝1，解得a2＝6，b2＝3.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①解 椭圆C的右焦点F(，0)．
设切线方程为y＝k(x－)，
即kx－y－k＝0，
所以＝，解得k＝±，
所以切线方程为y＝±(x－)．
当k＝时，由方程组
解得或
所以点P，Q的坐标分别为，，所以PQ＝.
因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为.
因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－(x－)时，△OPQ的面积也为.
综上所述，△OPQ的面积为.
②证明 (ⅰ)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝或x＝－.
当x＝时，P(，)，Q(，－)．
因为·＝0，所以OP⊥OQ.
当x＝－时，同理可得OP⊥OQ.
(ⅱ)若直线PQ的斜率存在，
设直线PQ的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0.
因为直线与圆相切，所以＝，即m2＝2k2＋2.
将直线PQ的方程代入椭圆方程，得
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有
x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)
＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝(1＋k2)×＋km×＋m2.
将m2＝2k2＋2代入上式可得·＝0，所以OP⊥OQ.
综上所述，OP⊥OQ.
易错点5 忽视Δ>0
例5 设过点A(0,2)的动直线l与＋y2＝1相交于P，Q两点，O为坐标原点．当△OPQ的面积最大时，求l的直线方程．
易错分析 本题通过弦长公式、面积公式等工具将△OPQ的面积表示为关于变量k的函数解析式f(k)，再求函数最大值及相应的k值，此时需借助隐含条件直线与椭圆相交得到Δ>0进行验证．
解 当l⊥x轴时不合题意，故设直线l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx－2代入＋y2＝1得
(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1,2＝.
从而PQ＝|x1－x2|＝.
又点O到直线PQ的距离d＝，
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·PQ＝.
设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，k＝±时取等号，且满足Δ>0.
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
1．(2017·江苏张家港暨阳中学月考)双曲线－＝1的两条渐近线方程为________．
答案 y＝±x
解析 ∵双曲线－＝1中，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，而双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
∴双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
2．已知椭圆mx2＋3y2－6m＝0的一个焦点为(0,2)，则m的值是________．
答案 5
解析 方程变形为＋＝1，
∵焦点在y轴上，∴a2＝2m，b2＝6，
又c＝2且a2－b2＝c2，
∴2m－6＝22，∴m＝5.
3．设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则抛物线的方程为________．
答案 y2＝8x或y2＝－16x
解析 当m>0时，准线方程为x＝－＝－2，
∴m＝8，此时抛物线方程为y2＝8x；
当m<0时，准线方程为x＝－＝4，
∴m＝－16，此时抛物线方程为y2＝－16x.
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x.
4．已知双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
答案
解析 由题意求出双曲线中a＝3，b＝4，c＝5，
则双曲线的渐近线方程为y＝±x，
不妨设直线BF的斜率为，可求出直线BF的方程为
4x－3y－20＝0，①
将①式代入双曲线方程，解得yB＝－，
则S△AFB＝AF·|yB|＝(c－a)·＝.
5．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
答案
解析 椭圆＋＝1的右焦点F(1,0)，
故直线AB的方程为y＝2(x－1)，
由消去y，整理得3x2－5x＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1b>0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线y＝于点Q，求＋的值．
解 (1)由题意得＝，－c＝1，a2＝b2＋c2，
解得a＝，c＝1，b＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，OP的斜率存在，
当OP的斜率为0时，OP＝，OQ＝，
所以＋＝1，
当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为y＝kx，
由得(2k2＋1)x2＝2，
解得x2＝，所以y2＝，
所以OP2＝.
因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为y＝－x，
由得x＝－k，所以OQ2＝2k2＋2，
所以＋＝＋＝1.
综上可知，＋＝1.
