【数学】2018届一轮复习人教A版第09讲三角函数的零点问题的处理学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第09讲三角函数的零点问题的处理学案

高中数学热点难点突破技巧第09讲：‎ 三角函数零点问题的处理 ‎【知识要点】‎ 三角函数的零点问题，是考试经常考察的重点、热点和难点.三角函数的零点问题的处理一般有以下三种方法：1、单调性+数形结合 .2、分离参数+数形结合. 3、方程+数形结合. 三种方法也不是绝对的，要注意灵活使用.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法一 单调性+数形结合 解题步骤 一般先研究三角函数的单调性，再数形结合分析.‎ ‎【例1】已知向量，，设函数．‎ ‎（1）若函数的图象关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．‎ ‎（1）∵函数图象关于直线对称，‎ ‎∴，解得：，∵，∴，‎ ‎∴，由，‎ 解得：，‎ 所以函数的单调增区间为．‎ ‎∴当或时函数有且只有一个零点．‎ 即或，所以满足条件的．‎ ‎【点评】（1）本题第2小问是在第1问的前提下进行的，第1问求出了函数的单调增区间，所以第2小问对零点问题的研究，可以利用单调性+数形结合方法分析解答.第2问首先求复合函数 在上的单调性，再数形结合分析函数零点的个数. （2）在解答数学问题时，只要写不等式，一定要注意取等问题，本题第2问，左边可以取等，右边不能取等.‎ ‎【反馈检测1】设P是⊙O：上的一点，以轴的非负半轴为始边、OP为终边的角记为，又向量。且.‎ ‎（1）求的单调减区间； :Z|xx|k.Com]‎ ‎（2）若关于的方程在内有两个不同的解，求的取值范围.‎ 方法二 分离参数+数形结合 解题步骤 先分离参数，再画出方程两边的函数的图像，数形结合分析解答.‎ ‎【例2】已知函数的最大值为．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程-＝0在∈上有解，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1） :学 ]‎ ‎，‎ 由，解得，‎ 所以函数的单调递增区间 当时，，取最小值-3．‎ 方程在∈上有解，即 -3≤≤ ‎ ‎【点评】(1)本题就是先分离参数，再分别画方程左右两边的函数的图像数形结合分析.(2)本题也可以单调性+数形结合的方法分析解答.它们之间不是绝对的，要注意灵活使用.学 ‎ ‎【反馈检测2】已知函数的周期为.‎ ‎（1）若，求它的振幅、初相； ‎ ‎（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在的图像；‎ ‎（3）当时，根据实数的不同取值，讨论函数的零点个数.‎ 方法三 方程+数形结合 解题步骤 先解方程，再数形结合分析解答.‎ ‎【例3】已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求值；‎ ‎（Ⅱ）若存在区间(且)，使得在上至少含有6个零点，在满足上述条件的中，求的最小值.‎ ‎【点评】（1）本题就是先解方程，再数形结合分析解答.本题如果用前面的两种方法，也可以解答，不过比较复杂. （2）如果，所以它不是最小值.‎ ‎【反馈检测3】已知函数，其中常数；‎ ‎（1）若在上单调递增，求的取值范围；‎ ‎（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．‎ 高中数学热点难点突破技巧第09讲：‎ 三角函数零点问题的处理参考答案 ‎【反馈检测1答案】（1）的单调减区间是：、 ；（2），且 .‎ ‎【反馈检测1详细解析】‎ ‎ ‎ ‎（2）因，则.设，‎ 所以有两个不同的解，由题得 .‎ 借助函数图象可知：，即 ‎ 所以得：，且 ‎ ‎【反馈检测2答案】（1），；（2）详见解析；（3）当或时，函数无零点；当时，函数仅有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点.‎ ‎【反馈检测2详细解析】（1）化为，由得，即 . ‎ ‎（1）函数的振幅是，初相为 ‎ ‎（2）列表 ‎ ‎ :学 ]‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎【反馈检测3答案】（1）（2）‎ ‎【反馈检测3详细解析】(1)因为，根据题意有 ‎(2) ，‎ 或，‎ 即的零点相离间隔依次为和，‎ 故若在上至少含有30个零点，则的最小值为．学 0 ‎