重庆市江津中学、合川中学等七校2020届高三第三次诊断性考试数学（理）试题 Word版含解析

重庆市江津中学、合川中学等七校2020届高三第三次诊断性考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 七校高2019级第三次诊断性考试数学（理科）试题 第I卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题“，使”否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定定义,即可得解.‎ ‎【详解】由特称命题的否定可知, ,使否定是 ‎,‎ 故选B ‎【点睛】本题考查了特称命题的否定形式,属于基础题.‎ ‎2.集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次根式有意义的条件求得集合A,再根据交集运算即可求得.‎ ‎【详解】集合,即 因为 所以 故选:B - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,集合交集的运算,属于基础题.‎ ‎3.已知是虚数单位，复数共轭复数虚部为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化复数为代数形式，再根据共轭复数概念以及虚部概念得结果.‎ ‎【详解】因为，所以复数的共轭复数为，因此虚部为4，选C.‎ ‎【点睛】本题考查共轭复数概念以及虚部概念，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎4.在等差数列中，前项和满足，则的值是(　　)‎ A. 5 B. 7 C. 9 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列性质求的值.‎ ‎【详解】因为，所以，即选A.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎5.有6个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把三个空位分成两组，2个相邻，1个单独放置，利用插空法结合分步计数乘法原理求得符合条件的排法数，再求总排法数，根据古典概型可得结果.‎ ‎【详解】第一步，把三个空位分成两组，2个相邻，1个单独放置，3个人共有种排法，‎ - 23 -‎ 第二步，把两组不同空位插入3个人产生的4个空档里，共有种排法，‎ 共有排法种，而所有排法为，‎ 所以所求概率为 故答案为，‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率 ‎6.若双曲线的渐近线与圆相切，则C的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出渐近线方程,根据直线与圆相切可知圆心到直线的距离等于半径,解方程即可求得直线方程的斜率,代入即可得渐近线方程.‎ ‎【详解】因为双曲线 设双曲线的渐近线方程为,即 ‎ 因为双曲线的渐近线与圆相切,圆心为,半径 ‎ 则圆心到双曲线渐近线的距离等于半径,由点到直线距离公式可得 ‎ ‎ 解方程可得 ‎ 所以双曲线的渐近线方程为 - 23 -‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程,点到直线距离公式的用法,属于基础题.‎ ‎7.阅读如图程序框图，若输出的数据为30，则判断框中应填入的条件为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图的结构,可知作用为求和.依次列出前几次循环,即可得输出值为时的值,进而得判断框里的不等式.‎ ‎【详解】由程序框图可知, ‎ ‎(1) 是 ‎(2) 是 ‎(3) 是 ‎(4) 否 由以上循环可知, ‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了循环结构在程序框图中的应用,由输出结果确定判断框内容,属于基础题.‎ ‎8.定义在上的奇函数满足：，且当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D - 23 -‎ ‎【解析】‎ 由可知函数是周期为的周期函数，所以，故选D.‎ ‎9.已知函数, 先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得到的图象关于直线对称， 则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得，则，，，因为，最小值为．故选A．‎ 考点：三角函数图象变换，三角函数的对称轴．‎ ‎10.已知三棱锥的四个顶点都在同一个球的球面上，，，，若三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形三条边可知为直角三角形,由体积最大可求得高的最大值.高取得最大值时,结合球的性质即可求出球的半径,进而求得表面积.‎ - 23 -‎ ‎【详解】因为,,‎ 满足,则为直角三角形 三棱锥体积即为三棱锥的体积,当体积取最大值时,高取得最大值 由三棱锥体积公式可得,即 解得 如下图所示:‎ 设球心为O,AC中点为E,球的半径为 .‎ 则,即 解方程可得 ‎ 由球表面积公式 ‎ 代入可得 故选:C ‎【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式,球的性质及表面积公式的用法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.‎ ‎11.已知抛物线，焦点为F，直线，点，线段AF与抛物线C的交点为B，若，则（ ）‎ A. B. 35 C. D. 40‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 根据抛物线的方程,可得焦点坐标.设A、B点坐标,由可得A与B点的关系,结合即可求A点坐标,进而得.‎ ‎【详解】抛物线 所以焦点坐标为 因为,‎ 设 因为B在抛物线上,则,即 又因为 则,不妨设点A在轴的上方,则,即 因为在同一条直线上 则 ‎ 所以,化简可得,解得或(舍)‎ 所以 ‎ 则 ‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线性质的简单应用,属于基础题.‎ ‎12.如图正方体的棱长为1，点在线段和线段上移动，，过直线的平面将正方体分成两部分，记棱所在部分的体积为，则函数的大致图像是（ ）‎ - 23 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：当时，，则三棱柱的体积为，当时，，则棱所在部分的体积为，则函数的图象关于点对称；故选C．‎ 考点：1.几何体的体积；2.三角函数的图象与性质．‎ ‎【思路点睛】本题考查几何体的体积公式、分段函数的图象、正切函数的图象与性质，是三角函数与立体几何结合的综合题目，属于中档题；因为过直线的平面是变化的，棱所在部分的几何体的形状是不固定的，属于要注意找出分界点，确定几何体的形状，选择合理的体积公式进行求解.‎ 第II卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ - 23 -‎ ‎13.，则的值为________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解析式,代入即可得.再代入即可求得的值.‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的求值,根据自变量的值选择合适的解析式代入,属于基础题.‎ ‎14.若x，y满足，则的最小值为____‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式组表示的可行域，将变形为，移动直线并结合图形得到最优解，进而得到所求的最小值．‎ ‎【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．‎ - 23 -‎ 由可得．‎ 平移直线，由图形得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值．‎ 由 解得，‎ 所以点A的坐标为．‎ 所以．‎ 故答案为2．‎ ‎【点睛】利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行域；二是弄清楚目标函数中的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求．‎ ‎15.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.‎ ‎ ‎ ‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图,可得空间几何体的形状为三棱柱剪去一个小的三棱锥.求得三棱柱的体积和小三棱锥的体积,即可求得该几何体的体积.‎ ‎【详解】由三视图可知,几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥,‎ 三棱柱的体积为：‎ 剪去的三棱锥体积为：‎ 所以几何体的体积为：.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体,由割补法求几何体的体积,属于基础题.‎ ‎16.数列满足，，其前项积为，则= ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，即数列是以4为周期的数列，且，所以；故填．‎ 考点：1.数列的递推公式；2.数列的性质．‎ ‎【思路点睛】本题考查利用数列的首项和递推式求数列的通项公式以及利用数列的周期性求数列的前的积，属于中档题；已知数列的首项和递推式求通项或前的积（和）时，往往先探究数列通项或和（积）的周期性，如本题中，先通过首项和递推式求出数列的前几项，即可发现该数列的周期性.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长.，.‎ ‎（1）求角A的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据同角三角函数关系式,可得,由正弦定理代入表达式即可求得.‎ ‎（2）根据正弦和角公式,可代入求得.再由正弦定理可求得,结合三角形面积公式即可求得的面积.‎ - 23 -‎ ‎【详解】（1）在中,因为,‎ 所以 因为 由正弦定理,得,即 所以 若,则,与矛盾,故 于是 又因为 所以 ‎（2）因为,,,‎ 所以 由正弦定理,得 所以的面积为 ‎【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦定理解三角形,三角形面积公式的用法,属于基础题.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点，分别为和中点.‎ - 23 -‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）作交于根据条件可证得为平行四边形，从而根据线面平行的判定，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，根据条件中的数据可求得平面PAB的一个法向量为，从而问题可等价转化为求与的夹角．‎ 试题解析：（1）作交于，∵点为中点，∴，∴， 为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面；‎ ‎（2）如图所示，建立坐标系，由已知得，，，‎ ‎，，∴，，设平面的一个法向量为，∵，，∴，取，则，∴平面PAB的一个法向量为，∵，‎ 设向量与所成角为，‎ - 23 -‎ ‎∴，∴平面所成角的正弦值为．‎ 考点：1．线面平行的判定；2．空间向量求空间角．‎ ‎19.某校高三4班有50名学生进行了一场投篮测试，其中男生30人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号（1-50号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮测试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：‎ 甲抽取的样本数据 编号 ‎ ‎2 ‎ ‎7 ‎ ‎12 ‎ ‎17 ‎ ‎22 ‎ ‎27 ‎ ‎32 ‎ ‎37 ‎ ‎42 ‎ ‎47 ‎ 性别 ‎ 男 ‎ 女 ‎ 男 ‎ 男 ‎ 女 ‎ 男 ‎ 女 ‎ 男 ‎ 女 ‎ 女 ‎ 投篮成 绩 ‎ ‎90 ‎ ‎60 ‎ ‎75 ‎ ‎80 ‎ ‎83 ‎ ‎85 ‎ ‎75 ‎ ‎80 ‎ ‎70 ‎ ‎60 ‎ 乙抽取的样本数据 编号 ‎ ‎1 ‎ ‎8 ‎ ‎10 ‎ ‎20 ‎ ‎23 ‎ ‎28 ‎ ‎33 ‎ ‎35 ‎ ‎43 ‎ ‎48 ‎ - 23 -‎ 性别 ‎ 男 ‎ 男 ‎ 男 ‎ 男 ‎ 男 ‎ 男 ‎ 女 ‎ 女 ‎ 女 ‎ 女 ‎ 投篮成 绩 ‎ ‎95 ‎ ‎85 ‎ ‎85 ‎ ‎70 ‎ ‎70 ‎ ‎80 ‎ ‎60 ‎ ‎65 ‎ ‎70 ‎ ‎60 ‎ ‎（Ⅰ）在乙抽取的样本中任取3人，记投篮优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？‎ ‎ ‎ 优秀 ‎ 非优秀 ‎ 合计 ‎ 男 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 女 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 合计 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎10 ‎ ‎（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由.‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎ ‎ ‎0.15 ‎ ‎0.10 ‎ ‎0.05 ‎ ‎0.010 ‎ ‎0.005 ‎ ‎0.001 ‎ ‎ ‎ ‎2.072 ‎ ‎2.706 ‎ ‎3.841 ‎ ‎6.635 ‎ ‎7.879 ‎ ‎10.828 ‎ - 23 -‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎【答案】（Ⅰ）分布列见解析，期望为；（2）有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关；（Ⅲ）采用分层抽样方法比系统抽样方法更优．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（Ⅰ）在乙抽取的10个样本中，投篮优秀的学生人数为4，‎ ‎∴的取值为0，1,2,3，‎ 分布列为：‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得列联表如下：‎ ‎ ‎ 优秀 ‎ 非优秀 ‎ 合计 ‎ 男 ‎ ‎4 ‎ ‎2 ‎ ‎6 ‎ 女 ‎ ‎0 ‎ ‎4 ‎ ‎4 ‎ - 23 -‎ 合计 ‎ ‎4 ‎ ‎6 ‎ ‎10 ‎ 的观测值4.4443.841‎ 所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关．‎ ‎（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样． ‎ 由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优．‎ 考点：1.离散型随机变量的分布列和期望；2.独立性检验思想的应用；3.抽样方法．‎ ‎20.已知椭圆的短轴长为，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，，为坐标原点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由椭圆的短轴长可得，结合离心率求得a的值即可确定椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，，，与椭圆方程联立可得，结合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算公式可得，，结合k的范围确定的取值范围即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为椭圆的短轴长为，所以，所以，‎ 又椭圆的离心率为，所以，解得，‎ - 23 -‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）由题可设直线的方程为，，，‎ 将代入，消去可得，‎ 所以，即，‎ 且，，‎ 所以 ‎，‎ 因为，所以，所以，‎ 所以的取值范围是．‎ ‎【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎ ‎21.设函数.‎ ‎（1）若且在处的切线垂直于y轴，求a的值；‎ ‎（2）若对于任意，都有恒成立，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）1；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得的导函数,根据在处的切线垂直于y轴可知在处的导数等于0,代入即可求得的值.‎ - 23 -‎ ‎（2）根据任意,都有恒成立,则成立,代入可得.结合函数单调性,使得在上满足单调递增且,即可得的取值范围.再利用构造函数法,证明在时满足单调递增即可.‎ ‎【详解】（1）,则,∴,‎ ‎∵且在处的切线垂直于y轴,‎ ‎∴,∴,又 ‎∴‎ ‎（2）对于任意,都有恒成立,则,所以,‎ ‎,,,得,所以,即,‎ 下面证明成立,‎ ‎∴,令,,‎ ‎∴令,,∴,‎ ‎∴函数在上单调递增,由,∴,‎ ‎∴在上单调递增,.‎ 当时,,∴，∴函数在上单调递增,‎ ‎∴成立,‎ 所以对于任意，都有恒成立.‎ 当时，，而在上单调递增,‎ ‎∴存在唯一的，使得，即，，‎ 且时，单调递减，时，单调递增，‎ - 23 -‎ ‎，而，‎ 令，‎ ‎∴，‎ 令，得或，‎ 或时，单调递减，时，单调递增，‎ ‎∴是的极小值，而，∴当时，有小于0的函数值，也即是有小于0的函数值，这与对于任意，都有恒成立，相矛盾，∴当时，不满足题意，‎ 综上可得，a的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、最值,利用导数研究不等式恒成立问题,综合性强,属于难题.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ 选修4-4：极坐标与参数方程.‎ ‎22. 【选修4-4，坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），在以O为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 ‎（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与轴的交点为P，直线与曲线C的交点为A,B,求的值.‎ ‎【答案】（1）直线普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线与圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用 - 23 -‎ ‎，，转化方程；第二问，将直线方程与曲线方程联立，消参，得到关于的方程，利用两根之积得到结论.‎ 试题解析：（Ⅰ）直线的普通方程为，‎ ‎，‎ 曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程（为参数）代入曲线：，得到：，‎ ‎，‎ ‎.‎ 考点：本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知关于x的不等式.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若该不等式有实数解，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入,可得绝对值不等式.分类讨论的不同取值范围,即可解不等式.‎ ‎（2）根据绝对值三角不等式的性质,化简后结合不等式有实数解,即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时,令 - 23 -‎ 当时,,解得 当时,,不等式恒成立 当时,,解得 综上所述,不等式的解集为 ‎（2）,‎ 所以 即 解得 ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论思想和绝对值三角不等式性质的应用,属于中档题.‎ - 23 -‎ ‎ ‎ - 23 -‎