2021届高考数学一轮复习第七章解析几何第1讲直线的方程课件

2021届高考数学一轮复习第七章解析几何第1讲直线的方程课件

第七章 解析几何 第 1 讲 直线的方程 课标要求 考情风向标 1. 在平面直角坐标系中，结合具 体图形，探索确定直线位置的几 何要素 . 2. 理解直线的倾斜角和斜率的概 念，经历用代数方法刻画直线斜 率的过程，掌握过两点的直线斜 率的计算公式 . 3. 根据确定直线位置的几何要 素，探索并掌握直线方程的几种 形式 ( 点斜式、两点式及一般式 ) ， 体会斜截式与一次函数的关系 1. 本节是解析几何的基础，它 渗透到解析几何的各个部分， 复习时应把握基础点，重视基 础知识之间的联系，注意基本 方法的相互结合，提高通性通 法的熟练程度，提高选择题和 填空题的正确率 . 2. 在本节的复习中，注意熟练 地画出图形，抓住图形的特征 量，利用该特征量解决问题往 往能达到事半功倍的效果 1. 直线的倾斜角 0° [0 ， π) (1) 定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准， x 轴正 方向与直线 l 向上方向之间所成的角 α ，叫做直线 l 的倾斜角 . 当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ________. (2) 倾斜角的取值范围是 ____________. 2. 直线的斜率 (1) 定义：当 α ≠90° 时，一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这 条直线的斜率 . 斜率通常用小写字母 k 表示，即 k ＝ tan α . 当 α ＝ 90° 时，直线没有斜率 . (2) 经过两点的直线的斜率公式： 经过两点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 )( x 1 ≠ x 2 ) 的直线的斜率公式 为 ____________. 3. 直线方程的五种形式 y ＝ kx ＋ b 4. 过点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 ) 的直线方程 (1) 若 x 1 ＝ x 2 ， 且 y 1 ≠ y 2 ， 则 直 线 垂 直 于 x 轴 ， 方 程 为 __________________. (2) 若 x 1 ≠ x 2 ， 且 y 1 ＝ y 2 ， 则 直 线 垂 直 于 y 轴 ， 方 程 为 __________________. x ＝ x 1 y ＝ y 1 5. 线段的中点坐标公式 若点 P 1 ， P 2 的坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ，线段 P 1 P 2 的 C 则直线 AB 的倾斜角是 ( ) A.60° B.30° C.120° D.150° C 3. 已知点 A (1,2) ， B (3,1) ，则线段 AB 的垂直平分线的方程 为 ( B ) A.4 x ＋ 2 y ＝ 5 C. x ＋ 2 y ＝ 5 B.4 x － 2 y ＝ 5 D. x － 2 y ＝ 5 4.(2019 年辽宁沈阳模拟 ) 直线 ax ＋ b y ＋ c ＝ 0 同时要经过第 一、第二、第四象限，则 a ， b ， c 应满足 ( ) A. ab >0 ， bc <0 C. ab <0 ， bc >0 B. ab >0 ， bc >0 D. ab <0 ， bc <0 A 5.(2019 年青海模拟 ) 倾斜角为 13 5° ，在 y 轴上的截距为－ 1 ) 的直线方程是 ( A. x － y ＋ 1 ＝ 0 C. x ＋ y － 1 ＝ 0 B. x － y － 1 ＝ 0 D. x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 解析： 直线的斜率为 k ＝ tan 135° ＝－ 1 ， ∴ 直线方程为 y ＝ － x － 1 ，即 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0. D 考点 1 直线的方程 考向 1 斜率 图 D41 考向 2 倾斜角 例 2 ： (1) 经过 P (0 ，－ 1) 作直线 l ，若直线 l 与连接 A (1 ， － 2) ， B (2,1) 的线段总有公共点，则直线 l 倾斜角 α 的取值范围为 ________. (2)(2018 年安徽巢湖四中、庐江二中第二次联考数学试题 ) 直线 2 mx － ( m 2 ＋ 1) y － m ＝ 0 倾斜角的取值范围是 ( ) 解析： 由已知条件推导出直线的斜率 k ，通过讨论 m 的范 围从而得到 k 的范围，由此能求出直线的倾斜角的取值范围 . ① m ＞ 0 时 m 2 ＋ 1≥2 m ， ∴ 0≤ k ≤1 ； ② m ＜ 0 时，－ 1≤ k ＜ 0 ， 答案： C 考向 3 截距 例 3 ： (1) (2018 年江苏常州模拟 ) 过点 P ( － 2,3) 且在 两坐标轴 上的截距相等的直线 l 的方程为 _____________. x ＋ y － a ＝ 0. ∵ 点 P ( － 2,3) 在直线 l 上， ∴ － 2 ＋ 3 － a ＝ 0. ∴ a ＝ 1 ，所求直线 l 的方程为 x ＋ y － 1 ＝ 0. ② 当截距为 0 时，设所求直线方程为 y ＝ kx ，则有 3 ＝－ 2 k ， ∴ 直线 l 的方程为 x ＋ y － 1 ＝ 0 或 3 x ＋ 2 y ＝ 0. 答案： x ＋ y － 1 ＝ 0 或 3 x ＋ 2 y ＝ 0 (2) 过点 A (4,2) 且在两坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的 方程为 ______________________. (3) 求过点 A (4,2) 且在两坐标轴上截距之和为 12 的直线 l 的 方程为 ______________________. ∴ 直线 l 的方程为 x ＋ y － 6 ＝ 0 或 x ＋ 2 y － 8 ＝ 0. 答案： x ＋ y － 6 ＝ 0 或 x ＋ 2 y － 8 ＝ 0 【 规律方法 】 如果题目中出现直线在两坐标轴上的 “截距 相等 ”“ 截距的绝对值相等”“截距互 为相反数 ”“ 在一坐标 轴上的截距是另一坐标轴上截距的 m 倍 ( m ＞ 0)” 等条件时，可 采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑 “ 零截距 ” 的情况 . 考向 4 直线的方程 例 4 ： (1)(2019 年四川成都七中质检 ) 若点 P (1,1) 为圆 x 2 ＋ y 2 － 6 x ＝ 0 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为 ( ) A.2 x ＋ y － 3 ＝ 0 C. x ＋ 2 y － 3 ＝ 0 B. x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 D.2 x － y － 1 ＝ 0 解析： x 2 ＋ y 2 － 6 x ＝ 0 化为标准方程为 ( x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 9 ， ∵ P (1,1) 为圆 ( x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 9 的弦 MN 的中点，又圆心与点 P 确 ∴ 弦 MN 所在直线的方程为 y － 1 ＝ 2( x － 1) ，即 2 x － y － 1 ＝ 0 ， 故选 D. 答案： D (2) 直线 l 1 ： 3 x － y ＋ 1 ＝ 0 ，直线 l 2 过点 (1,0) ，且 l 2 的倾斜角 是 l 1 的倾斜角的 2 倍，则直线 l 2 的方程为 ( ) A. y ＝ 6 x ＋ 1 B. y ＝ 6( x － 1) 答案： D 考点 2 直线方程的综合应用 例 5 ： 过点 P (2,1) 作直线 l ，与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交 于 A ， B 两点，求： (1)△ AOB 的面积的最小值及此时直线 l 的方程； (2) 求直线 l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线 l 的方程； (3) 求 | PA |·| PB | 的最小值及此时直线 l 的方程 . 【 跟踪训练 】 1. 已知直线 x ＋ 2 y ＝ 2 与 x 轴、 y 轴分别相交于 A ， B 两点， 若动点 P ( a ， b ) 在线段 AB 上，则 ab 的最大值为 ____. 思想与方法 ⊙ 直线中的函数与方程思想 例题： 如果直线 l 经过点 P (2,1) ，且与两坐标轴围成的三角 形的面积为 S . (1) 当 S ＝ 3 时，这样的直线 l 有多少条？ (2) 当 S ＝ 4 时，这样的直线 l 有多少条？ (3) 当 S ＝ 5 时，这样的直线 l 有多少条？ (4) 若这样的直线 l 有且只有 2 条，求 S 的取值范围； (5) 若这样的直线 l 有且只有 3 条，求 S 的取值范围； (6) 若这样的直线 l 有且只有 4 条，求 S 的取值范围 . 前一个方程 Δ ＝ 0 有一个解，后一个方程 Δ >0 有两个不相等 的解， ∴ 这样的直线 l 共有 3 条 . 即 a 2 － 2 Sa ＋ 4 S ＝ 0 或 a 2 ＋ 2 Sa － 4 S ＝ 0. 后一个方程 Δ >0 恒成立，肯定有两个不相等的解， ∴ 如果这样的直线有且只有 2 条，那么前一个方程必须有 Δ <0 ，即 ( － 2 S ) 2 － 4×4 S <0. 故 S 的取值范围为 (0,4). (5) 若这样的直线 l 有且只有 3 条，则 即 a 2 － 2 Sa ＋ 4 S ＝ 0 或 a 2 ＋ 2 Sa － 4 S ＝ 0. 后一个方程 Δ >0 恒成立，肯定有两个不相等 的解， ∴ 如果这样的直线有且只有 3 条，那么前一个方程必须有 Δ ＝ 0 ， 即 ( － 2 S ) 2 － 4×4 S ＝ 0. 故 S ＝ 4. (6) 若这样的直线 l 有且只有 4 条，则 即 a 2 － 2 Sa ＋ 4 S ＝ 0 或 a 2 ＋ 2 Sa － 4 S ＝ 0. 后一个方程 Δ >0 恒成立，肯定有两个不相等的解， ∴ 如果这样的直线有且只有 4 条，那么前一个方程必须有 Δ >0 ，即 ( － 2 S ) 2 － 4×4 S >0. 故 S 的取值范围为 (4 ，＋ ∞ ). 【 规律方法 】 因为关系到直线与两坐标轴围成的三角形的 面积，所以解本题的关键就在于能否很敏锐地想到利用直线方 想，应把握题型，注意一题多变，培养思维的灵活性和发散性 . 【 跟踪训练 】 2. (2018 年四川九江模拟 ) 过点 P ( － 2，2) 作直线 l ，使直线 l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为 8 ，这样的直线 l 一共有 ( 　　 ) 　　 A.3 条　 　 B.2 条　　 C.1 条　　 　 D.0 条 答案： C 1. 直线的倾斜角与斜率都是表示直线方向的几何量，它们 分别从“形”和“数”两方面反映直线的倾斜程度 . 求直线斜 率的方法： 3. 求直线的方程可分为两种类型： (1) 是根据题目条件确定 点和斜率或 两个点，进而选择相应的直线方程形式，写出方程， 这是直接法； (2) 是根据直线在题目中所具有的某些性质，先设 出方程 ( 含参数 ) ，再确定其中的参数值，然后写出方程，这是 间接法 . 4. 求直线方程时要注意判断斜率是否存在，还要注意斜率 为 0 ，直线过原点等特殊情形 .