福建省福清华侨中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

福建省福清华侨中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

福清华侨中学2018-2019学年(下)期末考试 高二数学（文）试题 一 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.若集合，则的子集共有（ ）‎ A. 6个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以通过交集的相关性质计算出集合中所包含的元素，然后通过集合的子集数量的相关公式即可得出结果。‎ ‎【详解】因为，共有两个元素，‎ 所以的子集共有个，故选B。‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算以及集合的子集的数量，考查运算求解能力，如果一个集合有个元素，则它有个子集，是简单题。‎ ‎2.函数f（x）=‎ A. （-2,-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎，所以零点在区间（0，1）上 考点：零点存在性定理 ‎3.函数在上的最大值是（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用的单调性可求函数的最大值.‎ ‎【详解】，所以在上单调减函数， ‎ 所以的最大值为，故选C.‎ ‎【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．‎ ‎4.已知下面四个命题：‎ ‎①“若，则或”的逆否命题为“若且，则”‎ ‎②“”是“”的充分不必要条件 ‎③命题存在，使得，则：任意，都有 ‎④若且为假命题，则均为假命题，其中真命题个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①根据逆否命题的写法，以及或变为且得到命题正确；② 时，也成立；③含有量词（任意、存在）的命题的否定既要换量词，又要否定结论；④命题p，q中只要有一个为假命题，“P且q”为假命题．‎ ‎【详解】对于①，交换条件和结论，并同时否定，而且“或”的否定为“且”，故①是真命题；‎ 对于②时，也成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故②是真命题；‎ 对于③含有量词（任意、存在）的命题的否定既要换量词，又要否定结论，故③是真命题；‎ 对于④命题p，q中只要有一个为假命题，“P且q”为假命题，因而p或q 有可能其中一个是真命题，故④是假命题.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了命题的逆否关系，充分不必要条件的判定，含有量词的命题的否定及含有逻辑词“且”的命题的真值情况，属于中档题．‎ ‎5.设，，，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与对数函数的单调性判断出的取值范围，从而可得结果.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎6.下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递减的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本初等函数的性质可得正确的选项.‎ ‎【详解】A中函数是上的奇函数，故A错；‎ B中函数是上的增函数，故B错；‎ C中函数是上的偶函数，且在上为单调减函数，故C正确；‎ D中函数为上的偶函数，且在上为单调增函数，故D错误.‎ 综上，选C.‎ ‎【点睛】本题考查初等函数的性质，属于容易题.‎ ‎7.函数（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由于函数为偶函数又过（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接选A.‎ ‎【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.‎ ‎8.已知，“函数有零点”是“函数在上是减函数”的（ ）．‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在 上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B．‎ 考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.‎ ‎9.已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，对变形可得，则函数是周期为的周期函数，据此可得，，结合函数的解析式以及奇偶性求出与的值，相加即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，函数满足任意的都有，则，‎ 则函数是周期为的周期函数，‎ ‎，‎ 又由函数是定义在上的奇函数，则，‎ 时，，则，‎ 则；‎ 故；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，属于基础题．‎ ‎10.已知函数，为的导函数，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：求导，利用原函数、导函数的奇偶性进行赋值求解.‎ 解析：，‎ ‎∴为偶函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ 点睛：本题考查函数的求导法则、函数的奇偶性的应用等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和转化能力.‎ ‎11.已知是定义在R上减函数，其导函数满足，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 对于任意， B. 对于任意，‎ C. 当且仅当， D. 当且仅当，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取特殊值，令，结合题目所给不等式，对选项进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】从选择支看，只需判断的符号，，，‎ ‎，排除A、C、D，故本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的单调性与导数，考查特殊值法解选择题，属于基础题.‎ ‎12.已知函数，若关于方程只有两个不同的实根，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，先求出的函数解析式，再画出其图像，由数形结合可得结果.‎ ‎【详解】，‎ 画出函数图像，因为关于的方程有两个不同的实根，所以 故选D ‎【点睛】本题考查了函数性质，解析式的求法以及函数的图像，求其解析式以及画出函数图像是解题的关键，属于较难题.‎ 二:填空题。‎ ‎13.已知幂函数的图象经过点，则_______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的定义求得，得到，再由函数的图象经过点，求得，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，幂函数，所以，即，‎ 又由函数的图象经过点，即，所以，则.‎ ‎【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，及幂函数解析式的应用，其中解答中熟记幂函数的概念，以及利用幂函数的解析式准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎14.已知，则=___．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，求出值后可得的值．‎ ‎【详解】令，则，所以． 填．‎ ‎【点睛】本题考查函数的函数值的求法，注意无需求出解析式，可整体考虑．‎ ‎15.已知，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，令后可得的值．‎ ‎【详解】，令，‎ 则，故．填．‎ ‎【点睛】本题考查函数导数的运算，属于容易题，求导时注意为常数．‎ ‎16.函数y=log3（x2﹣2x）的单调减区间是 ．‎ ‎【答案】（﹣∞，0）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先求函数的定义域设u（x）=x2﹣2x则f（x）=lnu（x），因为对数函数的底数3＞1，则对数函数为单调递增函数，要求f（x）函数的减区间只需求二次函数的减区间即可．‎ 解：由题意可得函数f（x）的定义域是x＞2或x＜0，‎ 令u（x）=x2﹣2x的增区间为（﹣∞，0）‎ ‎∵3＞1，‎ ‎∴函数f（x）的单调减区间为（﹣2，1]‎ 故答案：（﹣∞，0）‎ 考点：对数函数的单调性与特殊点；对数函数的定义域．‎ 三：解答题。‎ ‎17.选修4-4:坐标系与参数方程 设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合.直线（t为参数)，曲线 ‎(I)求曲线的直角坐标方程； ‎ ‎(Ⅱ)直线与曲线交相交于A，B两点，求AB中点M的轨迹的普通方程.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由由，，代入曲线化简即可；（Ⅱ）将代入 ‎，设直线上的点对应的参数分别为，结合韦达定理，得出点M的轨迹方程的参数方程，转化为普通方程即可.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由，，代入曲线 得，即 ‎（Ⅱ）将代入得，，‎ 设直线上的点对应的参数分别为，‎ 则，‎ 所以中点M的轨迹方程为（为参数），‎ 消去参数，得M点的轨迹的普通方程为 ‎【点睛】本题考查了极坐标系方程与平面直角坐标系方程的转化，直线的参数方程，动点的轨迹方程，属于中档题.‎ ‎18.已知为正实数，函数.‎ ‎（1）求函数的最大值；‎ ‎（2）若函数的最大值为1，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用绝对值不等式公式进行求解；‎ ‎（2）由（1）得，再根据基本不等式可得的最小值.‎ ‎【详解】解：（1）因为，‎ 所以函数的最大值为.‎ ‎（2）由（1）可知，，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即，‎ 且当时取“”，‎ 所以的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是否满足“一正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键.‎ ‎19.已知定义在区间上的函数为奇函数．‎ ‎（1）求函数的解析式并判断函数在区间上的单调性；‎ ‎（2）解关于的不等式．‎ ‎【答案】（1）；在区间上是增函数；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用可求的值，注意检验．利用定义可判断为上的单调增函数 ‎（2）利用（1）中的结论及为奇函数可得的取值范围．‎ ‎【详解】（1）∵是在区间上的奇函数，‎ ‎∴，则，此时，‎ 是奇函数．‎ 设，‎ 则，‎ ‎， ‎ 则，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴函数在区间上是增函数．‎ ‎（2）∵，且为奇函数，‎ ‎∴．‎ 又∵函数在区间上是增函数，‎ ‎，解得，‎ 故关于的不等式的解集为．‎ ‎【点睛】含参数的偶函数（或奇函数），可通过取自变量的特殊值来求参数的大小，注意最后检验必不可少，也可以利用（或）恒成立来求参数的大小. 另外解函数不等式要利用函数的单调性和奇偶性去掉对应法则．‎ ‎20.某小型机械厂有工人共名，工人年薪4万元/人，据悉该厂每年生产台机器，除工人工资外，还需投入成本为(万元)，且每台机器售价为万元.通过市场分析，该厂生产机器能全部售完．‎ ‎（1）写出年利润（万元）关于年产量的函数解析式；‎ ‎（2）问：年产量为多少台时，该厂所获利润最大？‎ ‎【答案】（1）；（2）100台时，850万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用利润等于销售额减去成本可得利润函数.‎ ‎（2）利用二次函数的性质和基本不等式可求利润的最大值.‎ ‎【详解】（1）依题意有.‎ ‎（2）当时，‎ 此时时，取得最大值万元； ‎ 当时， ‎ 当且仅当时，即时，取得最大值万元． ‎ 综上可知当年产量为100台时，该厂在生产中获利最大，最大利润为850万元．‎ ‎【点睛】本题考查函数的应用，一般地，函数应用题应根据题设条件合理构建数学模型，并利用常见函数的性质、导数或基本不等式去求数学模型的最值.‎ ‎21.已知函数，当时，有极大值．‎ ‎（）求，的值．‎ ‎（）求函数的极小值．‎ ‎（）求函数在的最值．‎ ‎【答案】（），. （） . （）.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）求导，利用进行求解；（2）求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调性，进而确定函数的极小值点和极小值；（3）利用（2）的单调性和极值，再结合端点函数值确定最值.‎ 解析：（），，‎ ‎∵当时，有极大值，‎ ‎∴即解得，‎ 故，．‎ ‎（）由（）知，，‎ 令，解得，‎ 令，解得或，‎ ‎∴在和上是减函数，在上是增函数，‎ ‎∴在取得极小值，‎ 故． ‎ ‎（）由（）可知，在和上是减函数，在上是增函数，‎ 又，，，，‎ 故当时，，‎ 当时，．‎ 点睛：（1）在处理已知函数在处取得极值求有关参数问题时，不仅要重视，还要验证两侧的符号变化；‎ ‎（2）利用导数求函数在某区间上的最值的一般步骤为：‎ ‎①求导，利用导数在该区间上的符号变化确定函数的单调性；‎ ‎②求出位于该区间内的极值；‎ ‎③比较极值和端点函数值，确定最大值和最小值.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）显然函数的定义域为.‎ 因为，所以，‎ 当时，在上恒成立，函数在单调递减，‎ ‎∴在上没有极值点； ……3分 当时，由得，由得，‎ ‎∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．‎ ‎∴当时在上没有极值点，当时在上有一个极值点.……6分 ‎（Ⅱ）∵函数在处取得极值，由（Ⅰ）结论知，‎ ‎∴， ……8分 令，所以，‎ 令可得在上递减，令可得在上递增， ……10分 ‎∴，即. ……12分 考点：本小题主要考查函数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.‎ 点评：导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决.‎ ‎ ‎