【数学】2019届一轮复习北师大版 数系的扩充与复数的引入 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 数系的扩充与复数的引入 学案

‎1．若复数（a+i）（3+4i）的实部与虚部相等，则实数a=‎ A．7 B．–7 C．1 D．–1‎ ‎【答案】B 复数的定义 形如a+bi（a，b∈R）的数叫作复数，其中a叫作复数的实部，b叫作复数的虚部，i为虚数单位且规定i2=–1．‎ 注意：复数的虚部是b，而不是bi．‎ ‎2．已知i是虚数单位，复数（2+i）2的共轭复数虚部为 A．4i B．–4 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵（2+i）2=4+4i+i2=3+4i，∴复数（2+i）2的共轭复数为3–4i，虚部为–4．故选B．‎ 共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数．‎ 互为共轭复数的充要条件：a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c，b=–d（a，b，c，d∈R）．‎ 求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准代数形式，然后其实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．‎ ‎3．设复数 满足，则| |=‎ A．3 B． C．9 D．10‎ ‎【答案】A 复数的模 向量的长度r叫作复数 =a+bi的模，记作| |或|a+bi|，则| |=|a+bi|=r=（r≥0，r∈R），即复数a+bi的模表示点 （a，b）与原点O的距离．学 ‎ 特别地，b=0时， =a+bi是实数a，则| |=|a|．‎ 求复数的模时，直接根据复数的模的公式 ‎|a+bi|=和性质| 2|=||2= ·，| 1· 2|=| 1|·| 2|，||=，||=| |等进行计算．‎ ‎1．若复数 满足（1–2i） =2–i，则在复平面内 对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】由（1–2i） =2–i，得 =，∴复数 ‎ 在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选A．学 ‎ 复数的几何意义 ‎2．已知复数 =m2–3m+mi（m∈R）为纯虚数，则m=‎ A．0 B．3 C．0或3 D．4‎ ‎【答案】B 复数的分类 ‎ =a+bi 注意：‎ ‎（1）一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0；‎ ‎（2）两个不全是实数的复数不能比较大小；‎ ‎（3）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示．‎ ‎3．已知复数 =1+，则1+ + 2+…+ 2018=‎ A．1+i B．1–i C．i D．0‎ ‎【答案】C 复数的四则运算 ‎1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，把含有虚数单位i的项看作一类同类项，不含i的项看作另一类同类项，分别合并即可；复数除法运算的关键是分母实数化，注意要把i的幂化成最简形式．‎ ‎2．复数运算中的常用结论：‎ ‎（1）（1±i）2=±2i；（2）=i；‎ ‎（3）=–i；（4）=b–ai；‎ ‎（5）i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=–1，i4n+3=–i，i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0（n∈N）．‎ ‎1．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于 A． B． C．– D．2‎ ‎2．复数 满足 （1–2i）=3+2i，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设i是虚数单位，若（1+2i）i=a+bi（a，b∈R），则a+b=‎ A．–3 B．3 C．1 D．–1‎ ‎4．已知复数 =a+i（a∈R），若 +=4，则复数 的共轭复数=‎ A．2+i B．2–i C．–2+i D．–2–i ‎5．设i为虚数单位，a∈R，若（1–i）（1–ai）为纯虚数，则复数1–ai的模是 A． B．2 C．1 D．0‎ ‎6．若复数 满足=1–i，则其共轭复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第四象限 ‎7．在复平面内，表示复数 =（a+3i）（2–ai）的点在第二象限，则实数a满足 A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．复数（1+i）3的虚部为 A．–2 B．2 C．2i D．–2i ‎1．【答案】C ‎2．【答案】A ‎【解析】由 （1–2i）=3+2i，得 =，∴．故选A．学 ‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】由（1+2i）i=–2+i=a+bi，得a=–2，b=1．∴a+b=–1．故选D．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】∵ =a+i，∴ +=2a=4，∴a=2．∴复数 的共轭复数=2–i．故选B．‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】（1–i）（1–ai）=1–i–ai+ai2=（1–a）–（a+1）i，∵（1–i）（1–ai）为纯虚数，∴，解得a=1，∴1–ai=1–i，∴复数1–ai的模是．故选A．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】∵ =（a+3i）（2–ai）=2a+6i–a2i+3a=5a+（6–a2）i对应的点在第二象限，∴，解得．故选A．‎ ‎8．【答案】B ‎【解析】（1+i）3=（1+i）2（1+i）=2i（1+i）=–2+2i，虚部为2，故选B．‎