【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：10-1-3　古典概型

【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：10-1-3　古典概型

‎10.1.3　古典概型 课后篇巩固提升 基础达标练 ‎1.(2020全国高一课时练习)下列试验是古典概型的是(　　)‎ A.种下一粒大豆观察它是否发芽 B.从规格直径为(250±0.6)mm的一批产品中任意抽一根,测量其直径 C.抛一枚硬币,观察其正面或反面出现的情况 D.某人射击中靶或不中靶 解析只有C具有古典概型两个特征.‎ 答案C ‎2.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D.‎ 解析从这5个小球中任取两个,设x1,x2分别表示先、后取得的小球的标号,则(x1,x2)表示一个样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}.设A=“取出的小球标注数字之和为3或6”,则A={(1,2),(1,5),(2,4)},共3种,所以所求概率P(A)=.故选A.‎ 答案A ‎3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析从1,2,3,4中任取2个不同的数,设x1,x2分别表示先后取出的2个数,则可用(x1,x2)表示样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},设A=“满足取出的2个数之差的绝对值为2”,则A={(1,3),(2,4)},故所求概率是.‎ 答案B ‎4.(2020湖南高三月考)今年春节期间,一场突如其来的新型冠状病毒肺炎自武汉开始迅速向全国蔓延,随之而来的是医疗物资的紧缺,由于武汉医务人员和医院床位严重不够,国家领导人当机立断,仅仅用了十多天时间建成两座医院,名为“火神山”“雷神山”,全国人民如同一家人,纷纷捐款捐物,全国各地的白衣天使义无反顾踏上志愿者之路,纷纷驰援武汉.假设火神山医院有2名志愿者医生来自湖南湘雅医院,有2名志愿者医生来自广州中山医科大学附属医院,从这4人中任取2人分配新的任务,则两所医院各取一人的概率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析记2名来自湖南湘雅医院的医生分别为a,b,记2名来自广州中山医科大学附属医院的医生分别为A,B,设x1,x2分别表示从4人中取的第1个人,第2个人,则可用(x1,x2)表示样本点.从这4人中任取2人,则该试验的样本空间Ω={(a,b),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(A,B)},共6种,设A=“两所医院各取一人”,则A={(a,A),(a,B),(b,A),(b,B)},共4种.因此,两所医院各取一人的概率为P=.‎ 答案B ‎5.(多选题)(2020全国高一课时练习)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是(　　)‎ A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16‎ C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16‎ 解析记4件产品分别为1,2,3,a,其中a表示次品.设x1,x2为抽取的2件产品,则(x1,x2)可表示样本点.A选项,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},设A=“恰有一件次品”,则A={(1,a),(2,a),(3,a)},因此其概率P=,A正确;B选项,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12,B错误;C选项,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,C正确;D选项,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω)=16,D正确.‎ 答案ACD ‎6.(2020山西大同一中高三一模)洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有如图所示图案,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,则其和等于11的概率是　　　　. ‎ 解析从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,记为x1,x2,则(x1,x2)可表示样本点,样本点总数n=4×5=20,设A=“其和等于11”,则A={(9,2),(3,8),(7,4),(5,6)},∴其和等于11的概率P=.‎ 答案 ‎7.甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏:甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”、“手背(黑)”中的某一个手势,当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时,这个人胜出;其他情况,不分胜负.则一次游戏中甲胜出的概率是　　　　. ‎ 解析一次游戏中,甲、乙、丙出的方法种数都有2种,所以总共有8种方案,而甲胜出的样本空间Ω={甲黑乙白丙白,甲白乙黑丙黑},共2种,所以甲胜出的概率为.‎ 答案 ‎8.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.‎ ‎(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率.‎ ‎(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.‎ 解(1)甲校2名男教师分别用A,B表示,1名女教师用C表示;乙校1名男教师用D表示,2名女教师分别用E,F表示.设从甲校选出的教师为x1,从乙校选出的教师为x2,则(x1,x2)可表示样本点.‎ 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,试验的样本空间Ω={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共9种结果.‎ 设M=“从中选出2名教师性别相同”,则M={(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)},共4种结果,‎ 所以选出的2名教师性别相同的概率为P=.‎ ‎(2)设N=“从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名”,则N={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共15种结果.‎ 设O=“从中选出2名教师来自同一所学校”,则O={(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)},共6种结果,所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P=.‎ 能力提升练 ‎1.投掷一枚质地均匀的骰子两次,若第一次向上的点数小于第二次向上的点数,则我们称其为正试验;若第二次向上的点数小于第一次向上的点数,则我们称其为负试验;若两次向上的点数相等,则我们称其为无效试验.则一个人投掷该骰子两次出现无效试验的概率是(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析连续抛一枚骰子两次向上的点数记为(x,y),则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),‎ ‎(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),‎ ‎(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),‎ ‎(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),‎ ‎(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),‎ ‎(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},‎ 共有36个样本点,设“出现无效试验”为事件A,则A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},共6个样本点,则P(A)=.‎ 答案C ‎2.(多选题)(2019全国高一课时练习)下列关于各事件发生的概率判断正确的是(　　)‎ A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为 B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是 C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为 D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为 解析对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人,则该试验的样本空间Ω={(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙)},共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=,故A正确;对于B,样本空间Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共四种情况,而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种情况,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=,故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,所以获得食物的概率为,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以由古典概型的概率公式得,所求的概率是,故D错误.‎ 答案ABC ‎3.从甲、乙、丙、丁四名同学中选两人当班长和副班长,其中甲、乙是男生,丙、丁是女生,则选举结果中至少有一名女生当选的概率是　　　　　. ‎ 解析该试验的样本空间Ω={(甲、乙),(甲、丙),(甲、丁),(乙、丙),(乙、丁),(丙、丁)},其中“没有女生当选”只包含(甲、乙)1个样本点,故至少一名女生当选的概率为P=1-P(没有女生当选)=1-.‎ 答案 ‎4.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是　　　　　. ‎ 解析从2,3,8,9中任取两个数记为a,b,作为对数的底数与真数,共有3×4=12(个)样本点,其中为整数的只有log28,log39两个,所以其概率P=.‎ 答案 ‎5.(2020全国高一课时练习)现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1和B1不全被选中的概率为　　　　　. ‎ 解析从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所以该随机试验的样本空间中有12个样本点,样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2)}.‎ ‎“A1和B1全被选中”有2个样本点(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),“A1和B1不全被选中”共有10个样本点,则A1和A2不全被选中的概率为.‎ 答案 ‎6.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了 3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:‎ 日期 ‎3月1日 ‎3月2日 ‎3月3日 ‎3月4日 ‎3月5日 温差x/℃‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 发芽数y/颗 ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎(1)求这5天发芽数的中位数;‎ ‎(2)求这5天的平均发芽率;‎ ‎(3)从3月1日至3月5日中任选2天,记前面一天发芽的种子数为m,后面一天发芽的种子数为n,用(m,n)的形式列出所有样本点,并求满足“”的概率.‎ 解(1)因为16<23<25<26<30,所以这5天发芽数的中位数是25.‎ ‎(2)这5天的平均发芽率为 ‎×100%=24%.‎ ‎(3)用(x,y)表示所求试验的样本点,则有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共10个样本点.‎ 记“”为事件A,则A={(25,30),(25,26),(30,26)},共有3个样本点.所以P(A)=,即事件“”的概率为.‎ 素养培优练 ‎1.(2020全国高一课时练习)一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“有缘数”的概率是　　　　　. ‎ 解析由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321,共6个.‎ 同理,由1,2,4组成的三位自然数共6个;‎ 由1,3,4组成的三位自然数也是6个;‎ 由2,3,4组成的三位自然数也是6个.‎ 所以共有6+6+6+6=24(个).‎ 由1,2,3组成的三位自然数,共6个“有缘数”.‎ 由1,3,4组成的三位自然数,共6个“有缘数”.‎ 所以三位数为“有缘数”的概率P=.‎ 答案 ‎2.(多选题)(2019山东沂水第二中学高二月考)设集合M={2,3,4},N={1,2,3,4},分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m,n)落在直线x+y=k上”为事件Ak(3≤k≤8,k∈N*),若事件Ak的概率最大,则k的取值可能是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ 解析由题意,该试验的样本空间Ω={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共12个样本点,则事件A3:点P(m,n)落在直线x+y=3上,包含其中(2,1),共1个样本点,所以P(A3)=;事件A4:点P(m,n)落在直线x+y=4上,包含其中(2,2),(3,1),共2个样本点,所以P(A4)=;事件A5:点P(m,n)落在直线x+y=5上,包含其中(2,3),(3,2),(4,1),共3个样本点,所以P(A5)=;事件A6:点P(m,n)落在直线x+y=6上,包含其中(2,4),(3,3),(4,2),共3个样本点,所以P(A6)=;事件A7:点P(m,n)落在直线x+y=7上,包含其中(3,4),(4,3),共2个样本点,所以P(A7)=;事件A8:点P(m,n)落在直线x+y=8上,包含其中(4,4),共1个样本点,所以P(A8)=.综上可得,当k=5或6时,P(Ak)max=P(A5)=P(A6)=.‎ 答案BC