2018年高考试题——数学（江苏卷）原卷版

2018年高考试题——数学（江苏卷）原卷版

绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。 考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位 置。 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。学科.网 参考公式： 锥体的体积 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合 ， ，那么 ▲ ． 2．若复数 满足 ，其中 i 是虚数单位，则 的实部为 ▲ ． 3．已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值为 ▲ ． 1 3V Sh S h {0,1,2,8}A  { 1,1,6,8}B   A B  z i 1 2iz   z 5．函数 的定义域为 ▲ ． 6．某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为 ， 则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数 满足 ，且在区间 上， 则 的值为 ▲ ． 10．如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ． 11．若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与最小值 的和为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系 中，A 为直线 上在第一象限内的点， ，以 AB 为直径的圆 C 与直 2( ) log 1f x x  sin(2 )( )2 2y x        3x   xOy 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    ( ,0)F c 3 2 c ( )f x ( 4) ( )( )f x f x x  R ( 2,2] cos ,0 2,2( ) 1| |, 2 0,2 x x f x x x         - ( (15))f f 3 2( ) 2 1( )f x x ax a   R (0, ) ( )f x [ 1,1] xOy : 2l y x (5,0)B 线 l 交于另一点 D．若 ，则点 A 的横坐标为 ▲ ． 13．在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交 于点 D，且 ， 则 的最小值为 ▲ ． 14．已知集合 ， ．将 的所有元素从小到大依次排列构成 一个数列 ．记 为数列 的前 n 项和，则使得 成立的 n 的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分） 在平行六面体 中， ． 求证：（1） ； （2） ． 16．（本小题满分 14 分） 已知 为锐角， ， ． （1）求 的值； （2）求 的值． 17．（本小题满分 14 分） 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 （P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构 成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大 棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为 ，要求 均在线段 上， 均 在圆弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 ． （1）用 分别表示矩形 和 的面积，并确定 的取值范围； （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且 甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 ．求当 为何 值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．（本小题满分 16 分） 0AB CD   ABC△ , ,A B C , ,a b c 120ABC   ABC AC 1BD  4a c *{ | 2 1, }A x x n n   N *{ | 2 , }nB x x n  N A B { }na nS { }na 112n nS a  1 1 1 1ABCD A B C D 1 1 1 1,AA AB AB B C  1 1AB A B C平面∥ 1 1 1ABB A A BC平面 平面 ,  4tan 3  5cos( ) 5    cos2 tan( )  MPN CDP△ ,A B MN ,C D   ABCD CDP△ sin 4:3  如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 C 过点 ，焦点 ，圆 O 的直径为 ． （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P． ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； ②直线 l 与椭圆 C 交于 两点．若 的面积为 ，求直线 l 的方程． 19．（本小题满分 16 分） 记 分别为函数 的导函数．若存在 ，满足 且 ，则 称 为函数 与 的一个“S 点”．学科%网 （1）证明：函数 与 不存在“S 点”； （2）若函数 与 存在“S 点”，求实数 a 的值； （3）已知函数 ， ．对任意 ，判断是否存在 ，使函数 与 在 区间 内存在“S 点”，并说明理由． 20．（本小题满分 16 分） 设 是首项为 ，公差为 d 的等差数列， 是首项为 ，公比为 q 的等比数列． （1）设 ，若 对 均成立，求 d 的取值范围； （2）若 ，证明：存在 ，使得 对 均成立， 并求 的取值范围（用 表示）． xOy 1( 3, )2 1 2( 3,0), ( 3,0)F F 1 2F F ,A B OAB△ 2 6 7 ( ), ( )f x g x  ( ), ( )f x g x 0x R 0 0( ) ( )f x g x 0 0( ) ( )f x g x  0x ( )f x ( )g x ( )f x x 2( ) 2 2g x x x   2( ) 1f x ax  ( ) lng x x 2( )f x x a   e( ) xbg x x 0a  0b  ( )f x ( )g x (0, ) { }na 1a { }nb 1b 1 10, 1, 2a b q   1| |n na b b  1,2,3,4n  * 1 1 0, , (1, 2]ma b m q   N d R 1| |n na b b  2,3, , 1n m  d 1, ,b m q 数学Ⅰ试题参考答案 一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题 5 分，共计 70 分． 1．{1，8} 2．2 3．90 4．8 5．[2，+∞） 6． 7． 8．2 9． 10． 11．–3 12．3 13．9 14．27 二、解答题 15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证 能力．满分 14 分． 证明：（1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB∥A1B1． 因为 AB 平面 A1B1C，A1B1 平面 A1B1C， 所以 AB∥平面 A1B1C．学.科网 （2）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，四边形 ABB1A1 为平行四边形． 又因为 AA1=AB，所以四边形 ABB1A1 为菱形， 因此 AB1⊥A1B． 又因为 AB1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以 AB1⊥BC． 又因为 A1B∩BC=B，A1B 平面 A1BC，BC 平面 A1BC， 所以 AB1⊥平面 A1BC． 因为 AB1 平面 ABB1A1， 所以平面 ABB1A1⊥平面 A1BC． 16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分 14 分． 解：（1）因为 ， ，所以 ． 因为 ，所以 ， 因此， ． （2）因为 为锐角，所以 ． 3 10 π 6 2 2 4 3      4tan 3  sintan cos   4sin cos3  2 2sin cos 1   2 9cos 25  2 7cos2 2cos 1 25     ,  (0,π)   又因为 ，所以 ， 因此 ． 因为 ，所以 ， 因此， ． 17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知 识分析和解决实际问题的能力．满分 14 分． 解：（1）连结 PO 并延长交 MN 于 H，则 PH⊥MN，所以 OH=10． 过 O 作 OE⊥BC 于 E，则 OE∥MN，所以∠COE=θ， 故 OE=40cosθ，EC=40sinθ， 则矩形 ABCD 的面积为 2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP 的面积为 ×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）． 过 N 作 GN⊥MN，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K，则 GK=KN=10． 令∠GOK=θ0，则 sinθ0= ，θ0∈（0， ）． 当 θ∈[θ0， ）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD， 所以 sinθ 的取值范围是[ ，1）． 答：矩形 ABCD 的面积为 800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ 的取值范围是[ ，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3， 设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（k>0）， 则年总产值为 4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0， ）． 设 f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0， ）， 则 ． 令 ，得 θ= ， 当 θ∈（θ0， ）时， ，所以 f（θ）为增函数； 5cos( ) 5    2 2 5sin( ) 1 cos ( ) 5        tan( ) 2    4tan 3  2 2tan 24tan 2 1 tan 7     tan 2 tan( ) 2tan( ) tan[2 ( )] 1+tan 2 tan( ) 11                   1 2 1 4 π 6 π 2 1 4 1 4 π 2 π 2 2 2 2( ) cos sin sin (2sin sin 1) (2sin 1)(sin 1)f                  ′ ( )=0f ′ π 6 π 6 ( )>0f ′ 当 θ∈（ ， ）时， ，所以 f（θ）为减函数， 因此，当 θ= 时，f（θ）取到最大值． 答：当 θ= 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆 的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分 16 分． 解：（1）因为椭圆 C 的焦点为 ， 可设椭圆 C 的方程为 ．又点 在椭圆 C 上， 所以 ，解得 因此，椭圆 C 的方程为 ． 因为圆 O 的直径为 ，所以其方程为 ． （2）①设直线 l 与圆 O 相切于 ，则 ， 所以直线 l 的方程为 ，即 ． 由 ，消去 y，得 ．（*） 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点， 所以 ． 因为 ，所以 ． 因此，点 P 的坐标为 ． ②因为三角形 OAB 的面积为 ，所以 ，从而 ． 设 ， π 6 π 2 ( )<0f ′ π 6 π 6 1 2( ) 3,0 , ( 3,0)F F 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b    1( 3, )2 2 2 2 2 3 1 1,4 3, a b a b       2 2 4, 1, a b    2 2 14 x y  1 2F F 2 2 3x y  0 0 0 0( ), ,( 0 0)P x y x y  2 2 0 0 3x y  0 0 0 0 ( )xy x x yy    0 0 0 3xy xy y   2 2 0 0 0 1,4 3 , x y xy xy y        2 2 2 2 0 0 0 04 24 36 4 0( )x y x x x y     2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0( ) ( )(24 ) (4 4 36 4 8 2 0)4x x y y y x         0 0, 0x y  0 02, 1x y  ( 2,1) 2 6 7 21 2 6 7AB OP  4 2 7AB  1 1 2 2, ,( ) ( ),A x y B x y 由（*）得 ， 所以 ． 因为 ， 所以 ，即 ， 解得 舍去），则 ，因此 P 的坐标为 ． 综上，直线 l 的方程为 ．学*科网 19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑 推理能力．满分 16 分． 解：（1）函数 f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则 f′（x）=1，g′（x）=2x+2． 由 f（x）=g（x）且 f′（x）= g′（x），得 ，此方程组无解， 因此，f（x）与 g（x）不存在“S”点． （2）函数 ， ， 则 ． 设 x0 为 f（x）与 g（x）的“S”点，由 f（x0）=g（x0）且 f′（x0）=g′（x0），得 2 2 0 0 0 2 2 0 0 1,2 24 48 ( 2) 2(4 ) x y x xx y    2 2 2 2 1 21( ) ( )xB y yxA     2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 48 ( 2)(1 ) (4 ) x y x y x y     2 2 0 0 3x y  2 2 0 2 2 0 16( 2) 32 ( 1) 49 xAB x   4 2 0 02 45 100 0x x   2 2 0 0 5 ( 202x x  2 0 1 2y  10 2( , )2 2 5 3 2y x   2 2 2 1 2 2 x x x x        2 1f x ax （ ） ( ) lng x x 12f x ax g x x   （ ） ， （ ） ，即 ，（*） 得 ，即 ，则 ． 当 时， 满足方程组（*），即 为 f（x）与 g（x）的“S”点． 因此，a 的值为 ． （3）对任意 a>0，设 ． 因为 ，且 h（x）的图象是不间断的， 所以存在 ∈（0，1），使得 ，令 ，则 b>0． 函数 ， 则 ． 由 f（x）=g（x）且 f′（x）=g′（x），得 ，即 （**） 此时， 满足方程组（**），即 是函数 f（x）与 g（x）在区间（0，1）内的一个“S 点”． 因此，对任意 a>0，存在 b>0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及 综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分 16 分． 解：（1）由条件知： ． 因为 对 n=1，2，3，4 均成立， 即 对 n=1，2，3，4 均成立， 即 1 1，1 d 3，3 2d 5，7 3d 9，得 ． 2 0 0 0 0 1 ln 12 ax x ax x      2 0 0 2 0 1 ln 2 1 ax x ax     0 1ln 2x   1 2 0 ex   1 22 1 e 22(e ) a    e 2a  1 2 0 ex   0x e 2 3 2( ) 3h x x x ax a    (0) 0 (1) 1 3 2 0h a h a a        ， 0x 0( ) 0h x  0 3 0 0 2 e (1 )x xb x  2 e( ) ( ) xbf x x a g x x   ， 2 e ( 1)( ) 2 ( ) xb xf x x g x x   ′ ， ′ 2 2 e e ( 1)2 x x bx a x b xx x      0 0 3 2 0 0 3 0 2 0 2 e e (1 ) 2 e ( 1)2 e (1 ) x x x x xx a xx x xx xx          0x 0x 11 2( ,) n n na n d b    1| |n na b b  1 1 2 |( ) 1| nn d           7 5 3 2d  因此，d 的取值范围为 ．学@科网 （2）由条件知： ． 若存在 d，使得 （n=2，3，···，m+1）成立， 即 ， 即当 时，d 满足 ． 因为 ，则 ， 从而 ， ，对 均成立． 因此，取 d=0 时， 对 均成立． 下面讨论数列 的最大值和数列 的最小值（ ）． ①当 时， ， 当 时，有 ，从而 ． 因此，当 时，数列 单调递增， 故数列 的最大值为 ． ②设 ，当 x>0 时， ， 所以 单调递减，从而

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