【数学】2020届一轮复习人教A版古典概型与几何概型学案

【数学】2020届一轮复习人教A版古典概型与几何概型学案

考查角度1　古典概型与几何概型 ‎　　分类透析一　古典概型的应用 例1 有5个小球(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5个小球中任取2个不同颜色的小球,则取出的2个小球中含有红色小球的概率为(　　).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎4‎‎5‎ B.‎3‎‎5‎ C.‎2‎‎5‎ D.‎‎1‎‎5‎ 解析 选取2个小球的方法有红黄,红蓝,红绿,红紫,黄蓝,黄绿,黄紫,蓝绿,蓝紫,绿紫,共10种,含有红色小球的选法有4种.由古典概型公式,所求概率P=‎4‎‎10‎=‎2‎‎5‎.故选C.‎ 答案 C ‎ 方法技巧 古典概型中基本事件数的探求方法:‎ ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化,抽象的题目具体化.‎ ‎　　分类透析二　几何概型的应用 例2 设不等式组x-y≤2‎2‎,‎x+y≥-2‎2‎,‎y≤0‎所表示的区域为M,函数y=-‎4-‎x‎2‎的图象与x轴所围成的区域为N,向M内随机投一个点,则该点落在N内的概率为(　　).‎ A.π‎4‎ B.π‎8‎ C.π‎16‎ D.‎‎2‎π 解析 如图,由题意知区域M为△ABC及其内部,其面积为S=‎1‎‎2‎×4‎2‎×2‎2‎=8,‎ ‎　　区域N为半圆及其内部(图中阴影部分),其面积为S1=‎1‎‎2‎×π×22=2π,‎ ‎∴所求概率P=‎2π‎8‎=π‎4‎.‎ 故选A.‎ 答案 A 方法技巧 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.对于几何概型的计算,首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积、体积或时间),其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量,最后计算P(A).‎ 例3 甲、乙两人约定7:10在某处会面,已知甲在7:00~ 7:20内某一时刻随机到达,乙在7:05~7:20内某一时刻随机到达,则甲至少需等待乙5分钟的概率是(　　).‎ A.‎1‎‎8‎ B.‎1‎‎4‎ C.‎3‎‎8‎ D.‎‎5‎‎8‎ 解析 建立直角坐标系,如图,x,y分别表示甲,乙两人到达的时刻,则矩形中的点(x,y)表示甲,乙两人到达的时刻,则甲至少等待乙5分钟应满足的条件是y-x≥5,其构成的区域为图中阴影部分,则所求的概率为P=‎1‎‎2‎‎×15×15‎‎20×15‎=‎3‎‎8‎.故选C.‎ 答案 C 方法技巧 (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,应考虑使用几何概型求解.‎ ‎(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.‎ ‎(3)几何概型有两个特点:一是无限性,二是等可能性.基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的区域都是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.‎ ‎1.(2018年全国Ⅱ卷,文5改编)从数字1,2,3,4中任取两个不同数字组成两位数,则该两位数大于32的概率为(　　).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎4‎ D.‎‎1‎‎6‎ 解析 从数字1,2,3,4中任取两个不同数字组成的两位数有12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共12个,每个结果出现的可能性是相同的,所以该试验属于古典概型.记事件A为“取出两个不同数字组成的两位数大于32”,则A中包含34,41,42,43,共4个基本事件,根据古典概型概率公式,得P(A)=‎4‎‎12‎=‎1‎‎3‎.故选B.‎ 答案 B ‎2.(2018年全国Ⅲ卷,文5改编)某单位电话总机室内有2部外线电话:T1和T2.在同一时间内,T1打入电话的概率是0.4,T2打入电话的概率是0.5,两部同时打入电话的概率是0.2,则至少有一部电话打入的概率是(　　).‎ A.0.9 B.0.7 C.0.6 D.0.5‎ 解析 所求的概率为0.4+0.5-0.2=0.7.故选B.‎ 答案 B ‎3.(2018年全国Ⅰ卷,理10改编)折纸艺术是我国古代留下来的宝贵民间艺术,具有很高的审美价值和应用价值.右图是一个折纸图案,由一个正方形内切一个圆形,然后在四个顶点处分别嵌入半径为正方形边长一半的扇形.向图中随机投入一个质点,则质点落在阴影部分的概率P1与质点落在正方形内且圆形区域外的概率P2的大小关系是(　　).‎ A.P1>P2　　 B.P1

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