【数学】宁夏银川市六盘山高级中学2019-2020学年高一上学期期末考试试题 （解析版）

【数学】宁夏银川市六盘山高级中学2019-2020学年高一上学期期末考试试题 （解析版）

宁夏银川市六盘山高级中学 2019-2020 学年高一上学期 期末考试数学试题 A 卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的.把正确答案的代号填在答题卷上） 1.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是（ ） A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上都 有可能 【答案】D 【解析】若两平面平行，则分别在这两平面内的两条直线没有公共点，这两条直线平行或异 面； 若两平面相交，如三棱锥 P ABC ，侧面 PAB 与侧面 PAC 相交，PB  平面 PAB ，PC  平面 PAC ，且 PB PC P  . 因此，分别在两个平面内的两条直线异面、平行或相交. 故选：D. 2.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成方式为（ ） A. 上面为圆台，下面为圆柱 B. 上面为圆台，下面为棱柱 C. 上面为棱台，下面为棱柱 D. 上面为棱台，下面为圆柱 【答案】A 【解析】结合图形分析知上面为圆台，下面为圆柱.故选：A. 3.在直角坐标系中，直线 3 3 0x y   的倾斜角是（ ） A. 30 B. 120 C. 60 D. 150 【答案】C 【解析】化直线的方程为斜截式方程得 3 3y x  ，该直线的斜率为 3 ，倾斜角为 60 . 故选：C. 4.正方体的外接球与内切球的球面面积分别为 S1 和 S2 则( ) A. S1＝2S2 B. S1＝3S2 C. S1＝4S2 D. S1＝2 3 S2 【答案】B 【解析】不妨设正方体的棱长为 1，则外接球直径为正方体的体对角线长为 3 ， 而内切球直径为 1，所以 2 1 22 32 ( )2 312 ( )2 S S     ，所以 1 23S S . 故答案选 B 5.经过点  1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ） A. 2x y  B. 1x y  C. 2x y  或 y x D. 1x  或 1y  【答案】C 【解析】当直线过原点时，斜率为 1，由点斜式求得直线的方程是 y-1=x-1，即 y=x； 当直线不过原点时，设直线的方程是： 1x y a a   ，把点 M（1，1）代入方程得 a=2，直线 的方程是 x+y=2． 综上，所求直线的方程为 y=x 或 x+y=2 故选 C. 6.如果 AB>0,BC>0，那么直线 Ax－By－C＝0 不经过的象限是( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】斜率为 0A B  ，截距 0C B   ，故不过第二象限. 7.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为（ ） A. 2π :(1 2π) B. π :(1 π) C. 2π :(1 π) D. π :(1 2π) 【答案】A 【解析】设圆柱的底面半径为 r，圆柱的高为 h， ∵圆柱的侧面展开图是一个正方形， ∴2πr=h，即 r= 2π h ∴圆柱的侧面积为 2πrh=4π2r2， 圆柱的两个底面积为 2πr2，∴圆柱的表面积为 2πr2+2πrh=2πr2+4π2r2， 所以这个圆柱的侧面积与表面积之比为  2π : 1 2π 故选 A 8.直线3 3 0x y   与直线 6 1 0x my   平行，则它们之间的距离为( ) A. 4 B. 2 1313 C. 5 1326 D. 7 1020 【答案】D 【解析】因为直线3 3 0x y   与直线 6 1 0x my   平行，则 3 3 0 6 2 6 0x y x y       ，则 m=2,它们之间的距离为 7 1020 ,选 D 9.给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( ) A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④ 【答案】D 【解析】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误； 由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者 异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个 平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④. 故选 D 10.如图，在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，已知 1AB  ，D 在棱 1BB 上，且 1BD  ，则 AD 与平面 1 1BB C C 所成角的正弦值为（ ） A. 6 4 B. 3 4 C. 6 3 D. 3 3 【答案】A 【解析】如下图所示，取 BC 的中点 E ，连接 AE 、 DE ， 在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1BB  平面 ABC ， ABC 为等边三角形， AE  平面 ABC ， 1AE BB  ， E 为 BC 的中点， AE BC  ， 1BB BC B  ， AE 平面 1 1BB C C ， DE  平面 1 1BB C C ， AE DE  . 所以，直线 AD 与平面 1 1BB C C 所成的角为 ADE ， 1AB  ， 3sin 60 2AE AB   ， 2 2 2AD AB BD   ， 6sin 4 AEADE AD     ，即 AD 与平面 1 1BB C C 所成角的正弦值为 6 4 . 故选：A. 11.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC且AB=BC=1， SA= 2 ，则球 O 的表面积是（ ） A. 4π B. 3 π4 C. 3π D. 4 3 π 【答案】A 【解析】如图，三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ∵SA⊥平面 ABC，SA= 2 , AB⊥BC 且 AB=BC=1， ∴AC= 1 1 2  ∴SA⊥AC，SB⊥BC， SC= 2 2 2  ∴球 O 的半径 R= 1 2 SC =1∴球 O 的表面积 S=4πR2=4π． 故选 A 12.如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1，线段 1 1B D 上有两个动点 E、F，且 1 2EF  ， 则下列结论中错误的是（ ） A. AC BE B. //EF ABCD平面 C. 三棱锥 A BEF 的体积为定值 D. AEF BEF 的面积与 的面积相等 【答案】D 【解析】可证 1 1AC D DBB AC BE 平面 ，从而 ，故 A 正确；由 ∥平面 ABCD， 可知 / /EF ABCD平面 ，B 也正确；连结 BD 交 AC 于 O，则 AO 为三棱锥 A BEF 的高， ，三棱锥 A BEF 的体积为 为定值，C 正确；D 错误．选 D． 二、解答题（本大题共 4 题，共 40 分，写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 13.已知 ABC 中，  1,1A 、  2, 3B  、  3,5C ，写出满足下列条件的直线方程（要求最 终结果都用直线的一般式方程表示）. （1） BC 边上的高线的方程； （2） BC 边的垂直平分线的方程. 解：（1）直线 BC 的斜率为 3 5 82 3BCk    ，所以， BC 边上的高线的方程为  11 18y x    ，即 8 9 0x y   ； （2）线段 BC 的中点为 5 ,12M      ，所以，BC 边的垂直平分线的方程为 1 51 8 2y x       ， 即 2 16 21 0x y   . 14.已知点  2, 1P  . （1）若一条直线经过点 P ，且原点到直线的距离为 2 ，求该直线的一般式方程； （2）求过点 P 且与原点距离最大的直线的一般式方程，并求出最大距离是多少？ 解：（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 2 0x   ，此时原点到直线l 的距离为 2 ， 合乎题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为  1 2y k x   ，即 2 1 0kx y k    ， 由题意可得 2 2 1 2 1 k k     ，解得 3 4k  ，则直线l 的方程为 3 4 10 0x y   . 综上所述，直线l 的一般式方程为 2 0x   或 3 4 10 0x y   ； （2）由题意可得过点 P 与原点O 距离最大的直线是过点 P 且与 OP 垂直的直线， 直线 OP 的斜率为 1 2OPk   ，则所求直线的斜率为 2 ， 所以，所求直线的方程为  1 2 2y x   ，即 2 5 0x y   ，最大距离为  22 5 5 2 1    . 15.如图为一简单组合体，其底面 ABCD 为正方形，棱 PD 与 EC 均垂直于底面 ABCD ， 2PD EC ，求证：平面 //EBC 平面 PDA . 解：由于四边形 ABCD 是正方形， //BC AD ， BC  平面 PDA ， AD 平面 PDA ， //BC 平面 PDA ， PD  平面 ABCD ，CE  平面 ABCD ， //CE PD ， CE  平面 PDA ， PD  平面 PDA ， //CE 平面 PDA ， BC CE C  ，平面 //EBC 平面 PDA . 16.如图，在三棱锥 P ABC 中， PA AB ， PA BC ， AB BC ， D 为线段 AC 的中 点. 求证： BD  平面 PAC . 解： PA AB ， PA BC ， AB BC B  ， PA  平面 ABC ， BD Q 平面 ABC ， BD PA  . AB BC ， D 为 AC 的中点， BD AC  . PA AC AQ I ，因此， BD  平面 PAC . B 卷 一、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 17. 平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内直线的关系是________ 【答案】相交、异面 【解析】利用线面的位置关系可知，平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内直线的关 系是异面或相交． 18.若 m 取任何实数，直线 : 1 2 0l mx y m    恒过一定点，则该点的坐标为________. 【答案】 2,1 【解析】将直线l 的方程变形为  2 1 0m x y    ，得 2 0 1 0 x y      ，解得 2 1 x y     . 因此，直线l 所过定点的坐标为 2,1 . 故答案为： 2,1 . 19.若直线 : 2 0l x ay   与直线 2 3 0x y   平行，则直线l 在坐标轴上的截距之和为 ________. 【答案】 2 【解析】由于直线 : 2 0l x ay   与直线 2 3 0x y   平行，则 2 1 3 2 a a      ，解得 1 2a   ， 所以，直线l 的方程为 2 4 0x y   ，该直线与 x 轴的交点坐标为  2,0 ，与 y 轴的交点 坐标为 0,4 . 因此，直线l 在坐标轴上的截距之和为 2 4 2   . 故答案为： 2 . 20.已知一个空心密闭（表面厚度忽略不计）的正四面体工艺品的棱长为 3 6 ，若在该工艺 品内嵌入一个可以在其内部任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值为____． 【答案】 3 【解析】在该正四面体内嵌入一个正方体，且正方体可以任意转动，说明正方体在正四面体 的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长. 设求的半径为 r ，四面体的高为 2 3 3 6 3 23 2    ，则根据正四面体的体积关系 2 2 2 21 3 1 34 (3 6) (3 6) (3 6) (3 2)3 4 3 4r         ，得 3 2r  ，设正方体的最 大 棱长为 a ，则 3 2 3a r  ， 3a  ． 二、解答题（本大题共 2 题，共 30 分，写出文字说明、演算步骤或证明过程） 21.如图： PA  平面 ABCD ， ABCD 是矩形， 1 PA AB ， 3AD  ，点 F 是 PB 的 中点，点 E 在边 BC 上移动. （Ⅰ）求三棱锥 E PAD 的体积； （Ⅱ）当点 E 为 BC 的中点时，试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系，并说明理由； （Ⅲ）证明：无论点 E 在边 BC 的何处，都有 PE AF . 解：（Ⅰ） ADE 的面积为 1 3 2 2ADES AD AB    ， PA  平面 ABCD ， 1 3 3 6E PAD P ADE ADEV V PA S       ； （Ⅱ）直线 //EF 平面 PAC ，证明如下： 由于 E 、 F 分别为 BC 、 PB 的中点， //EF PC ， EF  平面 PAC ， PC  平面 PAC ， //EF 平面 PAC ； （Ⅲ） PA AB ， F 为 PB 的中点， AF PB  ， PA  平面 ABCD ， BC 平面 ABCD ， BC PA  ， 又四边形 ABCD 为矩形， BC AB  ， PA AB A  ， BC  平面 PAB ， AF  平面 PAB ， AF BC  ， PB BC B  ， AF  平面 PBC ， PE Q 平面 PBC ， PE AF  ， 因此，无论点 E 在边 BC 的何处，都有 PE AF . 22.如图，正方形 ABCD 所在平面与四边形 ABEF 所在平面互相重直， ABE 是等腰直角三 角形， AB AE ， FA FE ， 45AEF   . （1）求证： EF  平面 BCE ； （2）设线段 CD 、 AE 的中点分别为 P 、 M ，求 PM 与 BC 所成角的正弦值； （3）求二面角 F BD A  的平面角的正切值. 解：1）因为四边形 ABCD 为矩形，则 BC AB ， 因为平面 ABEF  平面 ABCD ，平面 ABEF  平面 ABCD AB ， BC 平面 ABCD ， BC  平面 ABEF ， EF  平面 ABEF ， EF BC  . 因为 ABE 为等腰直角三角形， AB AE ，所以 45AEB   ， 又因为 45AEF   ， 90BEF AEB AEF       ，即 EF BE ， BC BE BQ I ，因此， EF  平面 BCE ； （2）取 BE 的中点 N ，连接 CN 、 MN ， 四边形 ABCD 为正方形，则 //AB CD 且 AB CD ， M 、 N 分别为 AE 、 BE 的中点， //MN AB 且 1 2 MN AB ， P 为 CD 的中点， //PC AB 且 1 2PC AB ， //PC MN 且 PC MN ， 则四边形 PCNM 为平行四边形， //PM CN ， 所以 PM 与 BC 所成的角为 BCN 或其补角， 由（1）知， BC ⊥平面 ABEF ， BE  平面 ABEF ， BC BE  ， 设 AE a ，则 2BE a ， 1 2 2 2BN BC a  ， 2 2 6 2CN BC BN a   ， 在 Rt BCN 中， 3sin 3 BNBCN CN    . 因此， PM 与 BC 所成角的正弦值为 3 3 ； （3） AE AB ，平面 ABEF  平面 ABCD ，平面 ABEF  平面 ABCD AB ， AE  平面 ABEF ， AE 平面 ABCD . 作 FG AB ，交 BA 的延长线于G ，则 //FG AE ．从而， FG  平面 ABCD ． 作GH BD 于 H ，连接 FH ， FG  平面 ABCD ， BD  平面 ABCD ， BD FG  ， BD GH ， FG GH G ， BD  平面 FGH ， FH  平面 FGH ， BD FH  ，所以， FHG 为二面角 F BD A  的平面角． AF EF ， 45AEF   ， 90AFE  o ， 45FAG   ， 设 1AB  ，则 1AE  ， 2 2AF  ， 1sin 2FG AF FAG   ， 在 Rt BGH 中， 1 31 2 2BG AB AG     ， 3 2sin 4GH BG ABD   ， 在 Rt FGH 中， 1 4 2tan 2 33 2 FGFHG GH      . 因此，二面角 F BD A  的平面角的正切值为 2 3 .