2019高考数学（理）冲刺大题提分（讲义+练习）大题精做8 立体几何：动点与设未知量（理）

2019高考数学（理）冲刺大题提分（讲义+练习）大题精做8 立体几何：动点与设未知量（理）

立体几何：动点与设未知量大题精做二 数列 大题精做八 精选大题 ‎[2019·遵义航天中学]如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，且侧面底面，为线段的中点，在线段上．‎ ‎（1）当是线段的中点时，求证：平面；‎ ‎（2）是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）存在．‎ ‎【解析】（1）证明：连接交于点，连接，‎ ‎∵四边形是菱形，∴点为的中点，‎ 又∵为的中点，∴，‎ 又∵平面，平面，∴平面．‎ ‎（2）∵是菱形，，是的中点，∴，‎ ‎·8·‎ 又∵平面，‎ 以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，．‎ 假设棱上存在点，设点坐标为，，‎ 则，∴，‎ ‎∴，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，解得．‎ 令，则，得．‎ ‎∵平面，∴平面的法向量，‎ ‎∴，‎ ‎∵二面角的大小为，‎ ‎∴，即，解得，或（舍去）‎ ‎∴在棱上存在点，当时，二面角的大小为．‎ ‎·8·‎ 模拟精做 ‎1．[2019·跃华中学]如图所示，正四棱椎中，底面的边长为2，侧棱长为．‎ ‎（1）若点为上的点，且平面，试确定点的位置；‎ ‎（2）在（1）的条件下，点为线段上的一点且，若平面和平面所成的锐二面角的余弦值为，求实数的值．‎ ‎2．[2019·湖北联考] 如图，在四棱锥中，，，，且 ‎，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎·8·‎ ‎3．[2019·西城44中]如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，，分别为，的中点，点在线段上．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若为的中点，求证：平面；‎ ‎（3）如果直线与平面所成的角和直线与平面所在的角相等，求的值．‎ 答案与解析 ‎1．【答案】（1）为中点；（2）．‎ ‎【解析】（1）设交于点，连结，‎ ‎∵平面，平面平面，∴，‎ 又为的中点，∴在中，为中点．‎ ‎·8·‎ ‎（2）连结，由题意得平面，且，‎ ‎∴以为原点，、、所成直线为，，轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎，‎ ‎∴，，，，，‎ 则，，，，‎ 设平面的法向量，‎ 则，令，得平面的一个法向量，‎ 设平面的法向量，‎ 由，得，，‎ ‎∴，令，得，‎ ‎∵平面和平面所成的锐二面角的余弦值为，‎ ‎∴，解得．‎ ‎2．【答案】（1）见证明；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）∵在底面中，，，且，‎ ‎∴，，∴，‎ 又∵，，平面，平面，∴平面，‎ 又∵平面，∴，‎ ‎∵，，∴，‎ 又∵，，平面，平面，‎ ‎·8·‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）方法一：在线段上取点，使，则，‎ 又由（1）得平面，∴平面，‎ 又∵平面，∴，作于，‎ 又∵，平面，平面，∴平面，‎ 又∵平面，∴，‎ 又∵，∴是二面角的一个平面角，‎ 设，则，，‎ 这样，二面角的大小为，‎ 即，‎ 即，∴满足要求的点存在，且．‎ 方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直 ‎∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系，‎ 且由（1）知是平面的一个法向量，‎ ‎·8·‎ 设，则，，‎ ‎∴，，‎ 设是平面的一个法向量，则，‎ ‎∴，‎ 令，则，它背向二面角，‎ 又∵平面的法向量，它指向二面角，这样，二面角的大小为，‎ 即，‎ 即，∴满足要求的点存在，且．‎ ‎3．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．‎ ‎【解析】（1）证明：在平行四边形中，‎ ‎∵，，，∴，‎ ‎∵，分别为，的中点，∴，∴，‎ ‎∵侧面底面，且，∴底面，∴，‎ 又∵，平面，平面，∴平面．‎ ‎（2）证明：∵为的中点，为的中点，∴，‎ 又∵平面，平面，∴平面，‎ 同理，得平面，‎ 又∵，平面，平面，∴平面平面，‎ 又∵平面，∴平面．‎ ‎（3）解：∵底面，，∴，，两两垂直，‎ 故以，，分别为轴，轴和轴建立如图空间直角坐标系，‎ ‎·8·‎ 则，，，，，，‎ ‎∴，，，‎ 设，则，‎ ‎∴，，‎ 易得平面的法向量，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 即，令，得，‎ ‎∴直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，解得或（舍去），‎ 故．‎ ‎·8·‎