河北省5月大联考2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试卷(2)

河北省5月大联考2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试卷(2)

‎2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试 理科数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数的共轭复数是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎2．集合，集合，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下图是2020年2月15日至3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图，则下列说法不正确的是（ ）．‎ ‎2020年2月15日－3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例 A．2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数 B．武汉市疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低 C．2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天 D．2020年2月15日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人 ‎4．若，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎5．角谷猜想，也叫猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1．如：取，根据上述过程，得出6，3，10，5，16，8，4，2，1，共9个数．若，根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则两个数都是奇数的概率为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知函数是偶函数，为奇函数，并且当时，，则下列选项正确的是（ ）．‎ A．在上为减函数，且 B． 在上为减函数，且 C．在上为增函数，且 D．在上为增函数，且 ‎7．已知双曲线的两条渐近线的倾斜角成2倍关系，则该双曲线的离心率为（ ）．‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，则输出的为（ ）．‎ A．2020 B．1010 C．1011 D．‎ ‎9．已知，．若，且，则的值为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知是函数，的极小值点，则的值为（ ）．‎ A．0 B． C． D．‎ ‎11．把圆心角为的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎12．抛物线的焦点为，点在上且在准线上的投影为，直线交轴于点，以为圆心，为半径的圆与轴相交于，两点，为坐标原点．若，则圆的半径为（ ）．‎ A．3 B． C．2 D．‎ 二、填空题：‎ ‎13．命题，的否定为______．‎ ‎14．直线与曲线相切，则切点的横坐标为______．‎ ‎15．对于函数的叙述，正确的有______（写出序号即可）．‎ ‎①若，则；②若有一个零点，则；③在上为减函数．‎ ‎16．已知，，分别为的三个内角，，的对边，，，为内一点，且，，则______．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题 ‎17．已知数列满足，，且数列为等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎18．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求线段的长．‎ ‎19．已知椭圆的焦距为4，且过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设，，，，过点且斜率为的直线交于另一点，交轴于点，直线与直线相交于点．证明：．‎ ‎20．2019年第十三届女排世界杯共12支参赛球队，比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军．积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以或取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以取胜的球队积2分，负队积1分．9轮过后，积分榜上的前2名分别为中国队和美国队，中国队积26分，美国队积22分．第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为．‎ ‎（1）第10轮比赛中，记中国队取胜的概率为，求的最大值点．‎ ‎（2）以（1）中的作为的值．‎ ‎（ⅰ）在第10轮比赛中，中国队所得积分为，求的分布列；‎ ‎（ⅱ）已知第10轮美国队积3分，判断中国队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，中国队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）证明：当时，．‎ ‎（二）选考题：‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，曲线，曲线（为参数）．在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．与，分别交于异于极点的，两点，且．‎ ‎（1）写出曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）求实数的值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若函数的图象与直线围成的图形的面积为6，求实数的值．‎ 参考答案 ‎1．B 2．A 3．D 4．D 5．A 6．C 7．C 8．D 9．B 10．C ‎11．C 12．B ‎13．， 14．3 15．①② 16．‎ ‎17．解：（1）由，，可求得，，‎ ‎∴数列是以为首项，为公差的等差数列，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2），‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎18．（1）证明：∵平面，平面，∴．‎ 取的中点，连接，‎ ‎∵，∴．‎ 又∵平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ 又平面，∴．‎ ‎∵，∴平面．‎ ‎（2）解：设，由（1）知平面，∴．‎ 如图，分别以，所在的直线为轴，轴，过点作轴，‎ 建立空间直角坐标系，易得，，，，．‎ 平面的法向量为．‎ 设平面的法向量为，，，‎ ‎∴，∴．‎ ‎∴，解得，即．‎ 从而求得．‎ 在中，，∴线段的长为3．‎ ‎19．（1）解：由题可知，即，‎ ‎∴椭圆的左、右焦点分别为，，‎ 由椭圆的定义知，‎ ‎∴，，‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（另解：由题可知，解得）‎ ‎（2）证明：易得，，，‎ 直线与椭圆联立，得，‎ ‎∴，从而，．‎ 直线的斜率为，直线的方程为．‎ 令，得，‎ ‎∴直线的斜率，‎ 直线的斜率，‎ ‎∴，从而．‎ ‎20．解：（1）．‎ 因此．‎ 令，得，‎ 当时，，在上为增函数；‎ 当时，，在上为减函数．‎ 所以的最大值点．‎ ‎（2）由（1）知．‎ ‎（ⅰ）的可能取值为3，2，1，0．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以的分布列为 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎（ⅱ）若，则中国队10轮后的总积分为29分，美国队即便第10轮和第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是28分，，‎ 所以，中国队如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为．‎ ‎21．（1）解：当时，，，‎ 令，，‎ 令，得，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，，‎ ‎∴在上恒成立，‎ ‎∴在上为减函数．‎ ‎（2）证明：，‎ 令，，‎ 令，得，‎ ‎∴在上恒成立，∴在上单调递增，‎ 即在上单调递增．‎ 当时，，，‎ 由于，∴，∴存在，‎ 使，即，，，‎ ‎，∴，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，‎ 令，恒成立，‎ ‎∴在上为减函数，，‎ 从而，∴命题得证．‎ ‎22．解：（1）把曲线化成普通方程为，‎ 即，‎ ‎∴的极坐标方程为．‎ ‎（2）把曲线化成极坐标方程为，‎ 把分别代入和得，‎ ‎，．‎ ‎∵，∴，解得．‎ ‎23．解：（1），‎ 当时，由，得，解得；‎ 当时，由，得，无解；‎ 当时，由，得，解得．‎ ‎∴的解集为．‎ ‎（2）由（1）知，方程的解为或，‎ 根据函数的图象可知，‎ 函数的图象与直线围成的图形为三角形，面积为，‎ ‎∴，得．‎ ‎∵，∴．‎