高考真题与高考等值卷（选修系列-坐标系与参数方程）（理数）-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

高考真题与高考等值卷（选修系列-坐标系与参数方程）（理数）-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

‎2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)‎ 三年高考真题与高考等值卷( 选修系列--坐标系与参数方程 )(理科数学)‎ ‎1.坐标系 ‎(1)理解坐标系的作用.‎ ‎(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.‎ ‎(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点 的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.‎ ‎(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.‎ ‎(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.‎ ‎2.参数方程 ‎(1)了解参数方程,了解参数的意义.‎ ‎(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.‎ ‎(3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.‎ ‎(4)了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.‎ ‎1．【2019年北京理科03】已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由（t为参数），消去t，可得4x﹣3y+2＝0．‎ 则点（1，0）到直线l的距离是d．‎ 故选：D． ‎ ‎2．【2019年天津理科12】设a∈R，直线ax﹣y+2＝0和圆（θ为参数）相切，则a的值为　　．‎ ‎【解答】解：∵a∈R，直线ax﹣y+2＝0和圆（θ为参数）相切，‎ ‎∴圆心（2，1）到直线ax﹣y+2＝0的距离：‎ d2＝r，‎ 解得a．‎ 故答案为：． ‎ ‎3．【2018年北京理科10】在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ＝a（a＞0）与圆ρ＝2cosθ相切，则a＝　　　　．‎ ‎【解答】解：圆ρ＝2cosθ，‎ 转化成：ρ2＝2ρcosθ，‎ 进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2＝1，‎ 把直线ρ（cosθ+sinθ）＝a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a＝0．‎ 由于直线和圆相切，‎ 所以：利用圆心到直线的距离等于半径．‎ 则：1，‎ 解得：a＝1±．a＞0‎ 则负值舍去．‎ 故：a＝1．‎ 故答案为：1． ‎ ‎4．【2018年天津理科12】已知圆x2+y2﹣2x＝0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为　　　　．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2﹣2x＝0化为标准方程是（x﹣1）2+y2＝1，圆心为C（1，0），半径r ‎＝1；‎ 直线化为普通方程是x+y﹣2＝0，‎ 则圆心C到该直线的距离为d，‎ 弦长|AB|＝222，‎ ‎∴△ABC的面积为S•|AB|•d．‎ 故答案为：． ‎ ‎5．【2017年北京理科11】在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为　　　　．‎ ‎【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0，‎ 再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1；‎ 如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：‎ ‎|AP|min＝|CP|﹣rC＝2﹣1＝1，‎ 故答案为：1． ‎ ‎6．【2017年天津理科11】在极坐标系中，直线4ρcos（θ）+1＝0与圆ρ＝2sinθ 的公共点的个数为　　　　．‎ ‎【解答】解：直线4ρcos（θ）+1＝0展开为：4ρ1＝0，化为：2x+2y+1＝0．‎ 圆ρ＝2sinθ即ρ2＝2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2＝2y，配方为：x2+（y﹣1）2＝1．‎ ‎∴圆心C（0，1）到直线的距离d1＝R．‎ ‎∴直线4ρcos（θ）+1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点的个数为2．‎ 故答案为：2． ‎ ‎7．【2019年新课标3理科22】如图，在极坐标系Ox中，A（2，0），B（，），C（，），D（2，π），弧，，所在圆的圆心分别是（1，0），（1，），（1，π），曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧．‎ ‎（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；‎ ‎（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标．‎ ‎【解答】解：（1）由题设得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝﹣2cosθ，‎ 则M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，（0≤θ），M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，（θ），‎ M3的极坐标方程为ρ＝﹣2cosθ，（θ≤π），‎ ‎（2）设P（ρ，θ），由题设及（1）值，‎ 若0≤θ，由2cosθ得cosθ，得θ，‎ 若θ，由2sinθ得sinθ，得θ或，‎ 若θ≤π，由﹣2cosθ得cosθ，得θ，‎ 综上P的极坐标为（，）或（，）或（，）或（，）． ‎ ‎8．【2019年全国新课标2理科22】在极坐标系中，O为极点，点M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为P．‎ ‎（1）当θ0时，求ρ0及l的极坐标方程；‎ ‎（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．‎ ‎【解答】解：（1）当θ0时，，‎ 在直线l上任取一点（ρ，θ），则有，‎ 故l的极坐标方程为有；‎ ‎（2）设P（ρ，θ），则在Rt△OAP中，有ρ＝4cosθ，‎ ‎∵P在线段OM上，∴θ∈[，]，‎ 故P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈[，]．‎ ‎ ‎ ‎9．【2019年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθρsinθ+11＝0．‎ ‎（1）求C和l的直角坐标方程；‎ ‎（2）求C上的点到l距离的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）由（t为参数），得，‎ 两式平方相加，得（x≠﹣1），‎ ‎∴C的直角坐标方程为（x≠﹣1），‎ 由2ρcosθρsinθ+11＝0，得．‎ 即直线l的直角坐标方程为得；‎ ‎（2）设与直线平行的直线方程为，‎ 联立，得16x2+4mx+m2﹣12＝0．‎ 由△＝‎16m2‎﹣64（m2﹣12）＝0，得m＝±4．‎ ‎∴当m＝4时，直线与曲线C的切点到直线的距离最小，为． ‎ ‎10．【2019年江苏22】在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin（θ）＝3．‎ ‎（1）求A，B两点间的距离；‎ ‎（2）求点B到直线l的距离．‎ ‎【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得 AB2＝OA2+OB2﹣2OA，‎ ‎∴AB；‎ ‎（2）由直线1的方程ρsin（θ）＝3，知 直线l过（3，），倾斜角为，‎ 又B（，），‎ ‎∴点B到直线l的距离为． ‎ ‎11．【2018年江苏23】在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（θ）＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎【解答】解：∵曲线C的方程为ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，⇒x2+y2＝4x，‎ ‎∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r＝2得圆．‎ ‎∵直线l的方程为ρsin（θ）＝2，∴2，‎ ‎∴直线l的普通方程为：xy＝4．‎ 圆心C到直线l的距离为d，‎ ‎∴直线l被曲线C截得的弦长为2． ‎ ‎12．【2018年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．‎ ‎（1）求C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．‎ 转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3＝0，‎ 转换为标准式为：（x+1）2+y2＝4．‎ ‎（2）由于曲线C1的方程为y＝k|x|+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．‎ 由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．‎ 所以：必有一直线相切，一直线相交．‎ 则：圆心到直线y＝kx+2的距离等于半径2．‎ 故：，或 解得：k或0，‎ 当k＝0时，不符合条件，故舍去，‎ 同理解得：k或0‎ 经检验，直线与曲线C2没有公共点．‎ 故C1的方程为：． ‎ ‎13．【2018年新课标2理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．‎ ‎（1）求C和l的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），‎ 转换为直角坐标方程为：．‎ 直线l的参数方程为（t为参数）．‎ 转换为直角坐标方程为：xsinα﹣ycosα+2cosα﹣sinα＝0．‎ ‎（2）把直线的参数方程（t为参数），‎ 代入椭圆的方程得到：1‎ 整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8＝0，‎ 则：，（由于t1和t2为A、B对应的参数）‎ 由于（1，2）为中点坐标，‎ 所以利用中点坐标公式，‎ 则：8cosα+4sinα＝0，‎ 解得：tanα＝﹣2，‎ 即：直线l的斜率为﹣2． ‎ ‎14．【2018年新课标3理科22】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．‎ ‎（1）求α的取值范围；‎ ‎（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．‎ ‎【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），‎ ‎∴⊙O的普通方程为x2+y2＝1，圆心为O（0，0），半径r＝1，‎ 当α时，过点（0，）且倾斜角为α的直线l的方程为x＝0，成立；‎ 当α时，过点（0，）且倾斜角为α的直线l的方程为y＝tanα•x，‎ ‎∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，‎ ‎∴圆心O（0，0）到直线l的距离d1，‎ ‎∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，‎ ‎∴或，‎ 综上α的取值范围是（，）．‎ ‎（2）l的参数方程为，（t为参数，），‎ 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则，‎ 且tA，tB满足，‎ ‎∴，‎ ‎∵P（x，y）满足，‎ ‎∴AB中点P的轨迹的参数方程为：，（α为参数，）． ‎ ‎15．【2017年江苏23】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．‎ ‎【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8＝0，‎ ‎∴P到直线l的距离d，‎ ‎∴当s时，d取得最小值． ‎ ‎16．【2017年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）．‎ ‎（1）若a＝﹣1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：y2＝1；‎ a＝﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3＝0；‎ 联立方程，‎ 解得或，‎ 所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（，）．‎ ‎（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4＝0，‎ 椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），‎ 所以点P到直线l的距离d为：‎ d，φ满足tanφ，且的d的最大值为．‎ ‎①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，‎ ‎|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|＝|5+a+4|＝17‎ 解得a＝8和﹣26，a＝8符合题意．‎ ‎②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时 ‎|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|＝|5﹣a﹣4|＝17，‎ 解得a＝﹣16和18，a＝﹣16符合题意． ‎ ‎17．【2017年新课标2理科22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4．‎ ‎（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x＝4，‎ 设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0，‎ ‎∵|OM||OP|＝16，‎ ‎∴16，‎ 即（x2+y2）（1）＝16，‎ ‎∴x4+2x2y2+y4＝16x2，即（x2+y2）2＝16x2，‎ 两边开方得：x2+y2＝4x，‎ 整理得：（x﹣2）2+y2＝4（x≠0），‎ ‎∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2＝4（x≠0）．‎ ‎（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|＝2，‎ ‎∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d，‎ ‎∴△AOB的最大面积S|OA|•（2）＝2． ‎ ‎18．【2017年新课标3理科22】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）写出C的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），‎ ‎∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y＝k（x﹣2）①；‎ 又直线l2的参数方程为，（m为参数），‎ 同理可得，直线l2的普通方程为：x＝﹣2+ky②；‎ 联立①②，消去k得：x2﹣y2＝4，即C的普通方程为x2﹣y2＝4（y≠0）；‎ ‎（2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）0，‎ ‎∴其普通方程为：x+y0，‎ 联立得：，‎ ‎∴ρ2＝x2+y25．‎ ‎∴l3与C的交点M的极径为ρ． ‎ 方程的互化和几何意义的应用是考查的重点，解题时常用到参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，利用几何意义将原问题转化三角函数的问题，考查学生的数学逻辑推理能力、数学运算能力，题型以选择填空题和解答题为主，中等难度.‎ ‎ 1．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）设曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，求三条曲线，，所围成图形的面积.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由条件得圆的直角坐标方程为，‎ 得，将，代入，‎ 得，‎ 即，则，‎ 所以圆的极坐标方程为.‎ ‎（2）由条件知曲线和是过原点的两条射线，设和分别与圆交于异于点的点和，‎ 将代入圆的极坐标方程，得，所以；‎ 将代入圆的极坐标方程，得，所以.‎ 由（1）得圆的圆心为，其极坐标为，故射线经过圆心，‎ 所以，.‎ 所以，‎ 扇形的面积为,‎ 故三条曲线，，所围成图形的面积为.‎ ‎2．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线与有两个不同的交点、，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 解：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，即，‎ 又，，，‎ 所以曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）联立射线与曲线，得，设， ，‎ ‎，‎ 又圆心的极坐标为，所以的取值范围是，‎ 所以，，，‎ 所以的取值范围为．‎ ‎3．选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），点的坐标为．‎ ‎（1）若点在曲线上运动，点在线段上运动，且，求动点的轨迹方程．‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设，， ‎ 则由，得， ‎ 即 ‎ 消去，得，此即为点的轨迹方程. ‎ ‎（2）曲线的普通方程为，直线的普通方程，‎ 设为直线的倾斜角，则，，‎ 则直线的参数方程可设为（为参数）， ‎ 代入曲线的普通方程，得， ‎ 由于， ‎ 故可设点对应的参数为，，‎ 则．‎ ‎4．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知，与的交点为，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）20‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由，得，‎ ‎∴，即.‎ ‎（2）设，‎ 把代入，‎ 得，则是该方程的两个实数根，‎ ‎∴，故．‎ ‎5．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与轴交于点，与曲线交于两点，．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 解：（1）由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，‎ 把ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入，可得x2+y2﹣2y＝0．‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0；‎ ‎（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，得t2+（2cosα﹣2sinα）t+1＝0．‎ 由△＝（2cosα﹣2sinα）2﹣4＞0，得sin2α＜0，‎ 且t1+t2＝﹣2cosα+2sinα，t1t2＝1．‎ ‎∴．‎ ‎ sin2α＜0∴‎ 即的取值范围是（2，6]．‎ ‎6．在直角坐标系中，圆的参数方程为 （为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的极坐标方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）射线与圆的交点为，，与直线的交点为，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）圆的极坐标方程为.直线的直角坐标方程为.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）圆的普通方程是，‎ 将，代入上式：，化简得：，‎ 所以圆的极坐标方程为.‎ 直线的极坐标方程为，‎ 将，代人上式，得：，‎ ‎∴直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）设，因为点在圆上，则有，‎ 设，因为点在直线，则有，‎ 所以，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴，即，‎ 故的范围为.‎ ‎7．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为，（ 为参数）.直线与曲线分别交于、两点.‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若点的直角坐标为，，求的值.‎ ‎【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为.(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由，得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，即，‎ 由直线的参数方程得直线的普通方程为.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入，‎ 化简并整理，得.‎ 因为直线与曲线分别交于、两点，所以，‎ 解得，由一元二次方程根与系数的关系，得 ‎，，‎ 又因为，所以.‎ 因为点的直角坐标为，且在直线上，‎ 所以，‎ 解得，此时满足，故.‎ ‎8．曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线与曲线，的交点分别为、（、异于原点），当斜率时，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎(1) 由题曲线的参数方程为（为参数），消去参数，‎ 可得曲线的直角坐标方程为，即，‎ 则曲线的极坐标方程为，即，‎ 又因为曲线的极坐标方程为，即，‎ 根据，代入即可求解曲线的直角坐标方程.‎ ‎(2)解法1：设直线的倾斜角为，‎ 则直线的参数方程为（为参数，），‎ 把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，‎ 解得，，，‎ 把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，‎ 解得，，，‎ ‎，‎ ‎，即，，，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时去等号，‎ 故的最小值为.‎ 解法2：设直线的极坐标方程为），‎ 代入曲线的极坐标方程，得，，‎ 把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得：，‎ ‎，即，，‎ 曲线的参，即，‎ ‎，，，‎ 当且仅当，即时去等号，‎ 故的最小值为.‎ ‎9．在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），把曲线向左平移2个单位，再把图象上的每一点纵坐标缩短为原来的一半（横坐标不变），得到曲线，直线的普通方程是，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）记射线与交于点，与交于点，求的值.‎ ‎【答案】（1）,；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)曲线C的普通方程为：，经过变换后得到的方程为：，‎ 即的普通方程为：.‎ 直线的极坐标方程为：，即：.‎ ‎(2)由(1)可求的极坐标方程为：，令解得：，即：，∴，‎ 同理直线的极坐标方程中令有：， ‎ 故.‎ ‎10．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，倾斜角为的直线经过点.‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）,；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由可得，，即.‎ 设点，则，，即点，‎ ‎∴直线的参数方程为（为参数）‎ ‎（2）将直线的参数方程代入得，，‎ 恒成立，‎ 设点对应的参数为，点对应的参数为，‎ 则，，‎ 则 ‎.‎ ‎11．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）已知射线，若与圆交于点（异于点），与直线交于点，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由圆的参数方程为消去参数，‎ 得到圆的普通方程为，即，‎ 所以其极坐标方程为，即；‎ ‎（2）由题意，将代入圆的极坐标方程得；‎ 将代入线的极坐标方程，得，‎ 所以 ‎，‎ 因为，‎ 所以，‎ 因此，当，即时，取得最大值3.‎ ‎12．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（1）求直线和曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于，两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）：，：；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由得，所以的极坐标方程为，‎ 由得，‎ 又因为，，，‎ 所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）将代入，‎ 可得，即，‎ 所以，，‎ 由极坐标几何意义得.‎ ‎13．在直角坐标系中，曲线的方程为，过点且斜率为的直线与曲线相切于点．‎ ‎（1）以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程和点的极坐标；‎ ‎（2）若点在曲线上，求面积的最大值．‎ ‎【答案】(1) ；点的极坐标为或．(2) ‎ ‎【解析】‎ 解（1）由得 故曲线的极坐标方程为，即，‎ 如图：当与圆相切时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴为等边三角形，‎ ‎∴，，‎ ‎∴点的极坐标为或．‎ ‎（2）由于圆、点、点均关于轴对称，‎ 故不论点A在何处，都不会影响面积最大值的取得.‎ 不妨取，设，‎ 则，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即时，面积取得最大值．‎ ‎14．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的圆心为．‎ ‎（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）过原点且与直线 （为参数，）平行的直线与的交点为，，且的面积为2，求的值．‎ ‎【答案】（1）是以为圆心，为半径的圆；极坐标方程为；（2）或 ‎【解析】‎ ‎（1）消去参数得到的普通方程为：‎ 是以为圆心，为半径的圆 将，代入的普通方程中 得到的极坐标方程为：‎ ‎（2）直线的极坐标方程为，与的交点分别为，‎ ‎，得 得：或 ‎15．在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数，）．以坐标原点 为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（l）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程：‎ ‎（2）若直线与曲线C相交于A，B两点，且．求直线 的方程．‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由消去参数t得（），‎ 由得曲线C的直角坐标方程为：‎ ‎（2）由得，圆心为（1，0），半径为2，‎ 圆心到直线的距离为，‎ ‎∴，即，整理得 ‎，∵，∴，，，‎ 所以直线l的方程为：．‎