【数学】2020届一轮复习人教B版　坐标系与参数方程学案

【数学】2020届一轮复习人教B版　坐标系与参数方程学案

考查角度1　坐标系与参数方程 ‎　　分类透析一　方程互化与相交弦长问题 例1 (河北衡水中学2018届高三数学复习题)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=3cosφ,‎y=3+3sinφ(φ为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求圆C的普通方程;‎ ‎(2)直线l的极坐标方程是2ρsinθ-‎π‎6‎=4‎3‎,射线OM:θ=‎5π‎6‎与圆C的交点为P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.‎ 分析 (1)利用cos2φ+sin2φ=1消去φ即可.‎ ‎(2)先求出圆C的极坐标方程,再由直线l和圆C的极坐标方程得到P,Q两点的极径,它们的差的绝对值就是线段PQ的长.‎ 解析 (1)∵圆C的参数方程为x=3cosφ,‎y=3+3sinφ(φ为参数),又cos2φ+sin2φ=1,‎ ‎∴圆C的普通方程为x2+(y-3)2=9.‎ ‎(2)化圆C的普通方程为极坐标方程得ρ=6sin θ,‎ 设P(ρ1,θ1),则由ρ=6sinθ,‎θ=‎5π‎6‎ ‎得ρ‎1‎‎=3,‎θ‎1‎‎=‎5π‎6‎.‎ 设Q(ρ2,θ2),则由‎2ρsinθ-‎π‎6‎=4‎3‎,‎θ=‎‎5π‎6‎得ρ‎2‎‎=4,‎θ‎2‎‎=‎5π‎6‎.‎ ‎∵θ1=θ2,∴|PQ|=|ρ2-ρ1|=1.‎ 方法技巧 化曲线的参数方程为普通方程的方法有反解消参、平方消参等,注意消参后变量的取值范围.化普通方程为极坐标方程,则需利用关系式x=ρcos θ,y=ρsin θ来转化.在极坐标系中求线段的长度、图形的面积等问题时,注意观察几何对象隐含的特点(如三点共线等),从而得到解决问题的合理方法.‎ ‎　　分类透析二　方程互化与参数几何意义的应用 例2 (福建省三明市第一中学2018届高三适应性试题)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=‎5‎‎5‎t,‎y=9+‎2‎‎5‎‎5‎t(t为参数),在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sin θ.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C1与C2交于A,B两点,点P的坐标为(0,9),求‎1‎‎|PA|‎+‎1‎‎|PB|‎.‎ 分析 (1)消元法解出直线C1的普通方程,利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆C2的直角坐标方程.‎ ‎(2)将直线C1的参数方程代入圆C2的直角坐标方程,并化简整理得关于t的一元二次方程,利用|t|的几何意义求解问题.‎ 解析 (1)由曲线C2的极坐标方程为ρ=8sin θ,即ρ2=8ρsin θ,得x2+y2=8y,‎ 故曲线C2的直角坐标方程为x2+(y-4)2=16.‎ 由曲线C1的参数方程为x=‎5‎‎5‎t,‎y=9+‎2‎‎5‎‎5‎t(t为参数),可得y-9=2x,即曲线C1的普通方程为2x-y+9=0.‎ ‎(2)显然点P在直线C1上,‎ 又直线C1的参数方程为x=‎5‎‎5‎t,‎y=9+‎2‎‎5‎‎5‎t(t为参数),‎ 将其代入x2+(y-4)2=16中并化简,得t2+4‎5‎t+9=0.‎ 设点A对应的参数为t1,点B对应的参数为t2,则t1+t2=-4‎5‎,t1t2=9,‎ 从而‎1‎‎|PA|‎+‎1‎‎|PB|‎=‎1‎‎|t‎1‎|‎+‎1‎‎|t‎2‎|‎=‎|t‎1‎|+|t‎2‎|‎‎|t‎1‎t‎2‎|‎=‎-t‎1‎+(-t‎2‎)‎‎|t‎1‎t‎2‎|‎=‎4‎‎5‎‎9‎.‎ 方法技巧 利用|t|的几何意义求解问题是解决直线上的定点与交点问题的常规解法.注意|PA|=|t1|,|PB|=|t2|,要去绝对值符号,需判断交点与定点的位置关系,上方为正,下方为负.‎ ‎　　分类透析三　方程互化与最值问题 例3 (安徽省六安市第一中学2018届高三适应性试题)在直角坐标系xOy中,C1:x=t,‎y=k(t-1)‎(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C2:ρ2+10ρcos θ-6ρsin θ+33=0.‎ ‎(1)求C1的普通方程及C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若P,Q分别为C1,C2上的动点,且|PQ|的最小值为2,求k的值.‎ 分析 (1)消去参数可得C1的普通方程;由互化公式可得曲线C2的直角坐标方程.‎ ‎(2)利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d,利用d-r=2即可得出.‎ 解析 (1)由x=t,‎y=k(t-1)‎可得其普通方程为y=k(x-1),它表示过定点(1,0),斜率为k的直线.由ρ2+10ρcos θ-6ρsin θ+33=0可得其直角坐标方程为x2+y2+10x-6y+33=0,整理得(x+5)2+(y-3)2=1,它表示圆心为(-5,3),半径为1的圆.‎ ‎(2)因为圆心(-5,3)到直线y=k(x-1)的距离d=‎|6k+3|‎‎1+‎k‎2‎,所以|PQ|的最小值为‎|6k+3|‎‎1+‎k‎2‎-1,故‎|6k+3|‎‎1+‎k‎2‎-1=2,得3k2+4k=0,解得k=0或k=-‎4‎‎3‎.‎ 方法技巧 求解与极坐标有关的问题的主要方法:‎ ‎(1)直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合使用;‎ ‎(2)转化为直角坐标系,用直角坐标求解.‎ 使用后一种方法时,应注意若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.‎ ‎1.(2017年全国Ⅰ卷,文22改编)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=cosθ,‎y=3sinθ(θ为参数,θ∈[0,2π)),曲线C2的参数方程为x=-2-‎1‎‎2‎t,‎y=‎3‎‎2‎t(t为参数).‎ ‎(1)求曲线C1,C2的普通方程;‎ ‎(2)求曲线C1上一点P到曲线C2距离的取值范围.‎ 分析 (1)直接消去参数即得普通方程.(2)求曲线C1上一点P到曲线C2距离的取值范围,可借助参数方程设此点为(cos α,3sin α),然后根据点到直线的距离公式得出表达式转化为三角函数求最值问题即可.‎ 解析 (1)直接消去参数得C1的普通方程为x2+y‎2‎‎9‎=1,‎ 直接消去参数得C2的普通方程为y=-‎3‎(x+2),即‎3‎x+y+2‎3‎=0.‎ ‎(2)设P(cos α,3sin α),‎ 则点P到C2的距离d=‎|‎3‎cosα+3sinα+2‎3‎|‎‎2‎=‎2‎3‎sinα+‎π‎6‎+2‎‎3‎‎2‎=‎3‎sinα+‎π‎6‎+1‎.‎ ‎∵α∈[0,2π),∴当sinα+‎π‎6‎=1,即α=π‎3‎时,dmax=2‎3‎;‎ 当sinα+‎π‎6‎=-1,即α=‎4π‎3‎时,dmin=0.‎ ‎∴曲线C1上一点P到曲线C2距离的取值范围为[0,2‎3‎].‎ ‎2.(2018年全国Ⅰ卷,文22改编)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=4cosα,‎y=a+4sinα(α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=4sin θ.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C1和曲线C2有三个公共点,求以这三个点为顶点的三角形的面积.‎ 解析 (1)由曲线C1:x=4cosα,‎y=a+4sinα(α为参数),消去参数α,得曲线C1的普通方程为x2+(y-a)2=16.‎ 由曲线C2:ρcos2θ=4sin θ,得ρ2cos2θ=4ρsin θ,化为直角坐标方程为x2=4y.‎ ‎(2)因为曲线C1和曲线C2都是关于y轴对称的图形,它们有三个公共点,所以原点为其中的一个公共点.将原点O(0,0)代入x2+(y-a)2=16,得a=4或a=-4(舍去),此时,曲线C1的方程为x2+(y-4)2=16,‎ 故曲线C1和曲线C2的三个公共点坐标为(0,0),(4,4),(-4,4),易得以这三个点为顶点的三角形的面积为‎1‎‎2‎×4×[4-(-4)]=16.‎ ‎3.(2018年全国Ⅱ卷,文22改编)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cosθ,‎y=sinθ(θ为参数).‎ ‎(1)求曲线C的普通方程;‎ ‎(2)经过点P‎1,‎‎1‎‎2‎(直角坐标系xOy中的点)作直线l交曲线C于A,B两点,若P恰好为线段AB的中点,求直线l的方程.‎ 解析 (1)由曲线C的参数方程,得cosθ=x‎2‎,‎sinθ=y,‎ 所以cos2θ+sin2θ=x‎2‎‎2‎+y2=1,‎ 所以曲线C的普通方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)设直线l的倾斜角为θ1,则直线l的参数方程为x=1+tcos θ‎1‎,‎y=‎1‎‎2‎+tsin ‎θ‎1‎(t为参数),‎ 将其代入曲线C的直角坐标方程,得(cos2θ1+4sin2θ1)t2+(2cos θ1+4sin θ1)t-2=0,‎ 所以t1+t2=-‎2cos θ‎1‎+4sin ‎θ‎1‎cos‎2‎θ‎1‎+4sin‎2‎θ‎1‎.由题意知t1=-t2,‎ 所以2cos θ1+4sin θ1=0,得直线l的斜率k=-‎1‎‎2‎,‎ 所以直线l的方程为x+2y-2=0.‎ ‎1.(福建省两大名校2018届高三下学期第一次模拟题)已知直线l的参数方程为x=1+t,‎y=‎3‎+‎3‎t(t为参数),在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ2=4ρcos θ+2‎3‎ρsin θ-4.‎ ‎(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,求|OA|·|OB|的值.‎ 解析 (1)∵直线l的参数方程为x=1+t,‎y=‎3‎+‎3‎t(t为参数),‎ ‎∴直线l的普通方程为y=‎3‎+‎3‎(x-1),‎ 即y=‎3‎x,∴直线l的极坐标方程为θ=π‎3‎.‎ ‎∵曲线C的极坐标方程为ρ2=4ρcos θ+2‎3‎ρsin θ-4,‎ ‎∴x2+y2=4x+2‎3‎y-4,即(x-2)2+(y-‎3‎)2=3,‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-‎3‎)2=3.‎ ‎(2)将直线l:θ=π‎3‎代入曲线C的极坐标方程:ρ2=4ρcos θ+2‎3‎ρsin θ-4,得ρ2-5ρ+4=0.‎ 设直线l与曲线C的两个交点A,B的极坐标分别为A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),∴ρ1ρ2=4,‎ ‎∴|OA|·|OB|=|ρ1|·|ρ2|=|ρ1ρ2|=4.‎ ‎2.(山东、湖北部分重点中学2018届高三高考冲刺模拟题)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=5+tcosα,‎y=tsinα(t为参数,α为直线的倾斜角).以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.‎ ‎(1)当α=45°时,求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知点C的直角坐标为C(2,0),直线l与曲线C交于A,B两点,当△ABC面积最大时,求直线l的普通方程.‎ 解析 (1)当α=45°时,直线l的参数方程为x=5+‎2‎‎2‎t,‎y=‎2‎‎2‎t,‎ 消去t得直线l的普通方程为x-y-5=0.‎ 曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ,两边乘以ρ为ρ2=4ρcos θ,可得x2+y2-4x=0,‎ 所以曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.‎ ‎(2)因为直线l与曲线C交于A,B两点,由参数方程设直线l的普通方程为y=k(x-5).曲线C是以C(2,0)为圆心,2为半径的圆,‎ S△ABC=‎1‎‎2‎|CA||CB|sin∠ACB=2sin∠ACB.‎ 当∠ACB=90°时,△ABC的面积最大,此时点C到直线l的距离为‎2‎,所以‎2‎=‎|2k-5k|‎k‎2‎‎+1‎,解得k=±‎14‎‎7‎,‎ 所以直线l的普通方程为y=±‎14‎‎7‎(x-5).‎ ‎3.(江西省抚州市临川区一中2018届模拟)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ+cosθ+‎‎1‎ρ.‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程;‎ ‎(2)在曲线C上任取一点P,过点P分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为A,B,求矩形OAPB的面积的最大值.‎ 解析 (1)由ρ=2sinθ+cosθ+‎‎1‎ρ得ρ2=2(ρsin θ+ρcos θ+1),所以x2+y2=2x+2y+2,即(x-1)2+(y-1)2=4,‎ 故曲线C的参数方程为x=1+2cosφ,‎y=1+2sinφ(φ为参数).‎ ‎(2)由(1)可设点P的坐标为(1+2cos φ,1+2sin φ),φ∈[0,2π),则矩形OAPB的面积S=|(1+2cos φ)(1+2sin φ)|=|1+2sin φ+2cos φ+4sin φcos φ|.‎ 令t=sin φ+cos φ=‎2‎sinφ+‎π‎4‎,‎ 则t∈[-‎2‎,‎2‎],t2=1+2sin φcos φ,‎ 所以S=|1+2t+2t2-2|=‎2t+‎‎1‎‎2‎‎2‎-‎‎3‎‎2‎,故当t=‎2‎时,Smax=3+2‎2‎.‎ ‎4.(河北省石家庄二中2018届高三三模试题)在直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,1),其参数方程为x=a-‎2‎‎2‎t,‎y=1-‎2‎‎2‎t(t为参数,a∈R).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+3cos θ-ρ=0.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知曲线C1和曲线C2交于A,B两点,且|PA|=3|PB|,求实数a的值.‎ 解析 (1)由C1的参数方程x=a-‎2‎‎2‎t,‎y=1-‎2‎‎2‎t,‎消参得其普通方程为x-y-a+1=0,‎ 由C2的极坐标方程易得ρ2cos2θ+3ρcos θ-ρ2=0,从而得其直角坐标方程为y2=3x.‎ ‎(2)将曲线C1的参数方程x=a-‎2‎‎2‎t,‎y=1-‎2‎‎2‎t(t为参数,a∈R)代入曲线C2:y2=3x,得t2+‎2‎t+2-6a=0,‎ 由Δ=(-‎2‎)2-4×1×(2-6a)>0,得a>‎1‎‎4‎.‎ 设A,B对应的参数为t1,t2,由题意得|t1|=3|t2|,即t1=3t2或t1=-3t2.‎ 当t1=3t2时,t‎1‎‎=3t‎2‎,‎t‎1‎‎+t‎2‎=-‎2‎,‎t‎1‎t‎2‎‎=2-6a,‎解得a=‎13‎‎48‎;‎ 当t1=-3t2时,t‎1‎‎=-3t‎2‎,‎t‎1‎‎+t‎2‎=-‎2‎,‎t‎1‎t‎2‎‎=2-6a,‎解得a=‎7‎‎12‎.‎ 综上所述,a=‎13‎‎48‎或a=‎7‎‎12‎.‎