【数学】河北省邯郸市永年第二中学2019-2020学年高一下学期期中考试试题（解析版）

【数学】河北省邯郸市永年第二中学2019-2020学年高一下学期期中考试试题（解析版）

河北省邯郸市永年第二中学2019-2020学年高一下学期 期中考试数学试题 ‎（时间：120分钟）‎ 一、选择题（共12题，每题5分，共60分）‎ ‎1.设集合，，则等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，集合，‎ 又由集合，所以.‎ 故选：A.‎ ‎2.如果两条直线与没有公共点，那么与（ ）‎ A. 共面 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面 ‎【答案】D ‎【解析】如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，则与平行或异面.‎ 故选：D.‎ ‎3.在等比数列中，，，则与的等比中项为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，，所以与的等比中项为.‎ 故选：D ‎4.若、、为实数，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】对于选项A，当a<0，b>0时，不成立 对于选项B，当时，不成立 对于选项C，当c=0时，不成立 故选：D ‎5.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 故选：C ‎6.已知高为3的棱柱的底面是边长为的正三角形（如图），则三棱锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】.故选：D.‎ ‎7.函数最小值是（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】,即,‎ 当且仅当即时取等号,‎ 所以函数最小值是4,‎ 故选:D.‎ ‎8.若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得，‎ 设截面圆的半径为r，球的半径为R，‎ 因为截面圆的面积为，可得，解得，‎ 又由，所以，‎ 所以球的表面积为.‎ 故选：A.‎ ‎9.等差数列的前项和为，若，是和的等比中项，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知可得，，∴ ∴或，由等差数列的前项和公式可得，‎ 或. 故选：C.‎ ‎10.已知不等式在时恒成立，则实数a的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设函数，‎ 则不等式在上恒成立，即对于恒成立，‎ 当时，，显然成立；‎ 当时，要使在上恒成立，‎ 需函数开口向上，且与x轴没有交点，‎ 即，解得，‎ 综上知，实数a的取值范围为.故选：B.‎ ‎11.一船沿北偏西方向航行，正东有两个灯塔A,B, 海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东，另一灯塔在船的南偏东，则这艘船的速度是每小时 （ ）‎ A. 5海里 B. 海里 C. 10海里 D. 海里 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图所示,∠COA=135°,∠ACO=∠ACB=∠ABC=15°,∠OAC=30°，AB=10，∴AC=10.‎ ‎△AOC中,由正弦定理可得，∴，‎ ‎∴，∴这艘船的速度是每小时海里，‎ 故选D.‎ ‎12.已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】是等比数列，，即，‎ 也是等比数列，且，‎ ‎，‎ 可得：‎ ‎，当且仅当时取等号，‎ 的最小值为.‎ 故选：B 二、填空题（共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13.________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原式.‎ 故答案为：‎ ‎14.不等式组，则表示区域的面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出不等式组表示的区域，如图，‎ 求得，，，所以.‎ 故答案为：‎ ‎15.如图，在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面.若圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于_____. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】挖去的圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积等于，‎ 圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面面积为，‎ 所以组合体的表面积为.‎ 故答案为：‎ ‎16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的最大角的大小是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，‎ 所以设，‎ 所以角C是最大角，‎ 因为，所以，‎ 则最大角是.‎ 故答案为：‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ 解：（1）因为.则，‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 所以 ‎18.已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.‎ ‎(1)若,求的值;‎ ‎(2)若,求b,c的值.‎ 解：(1)∵,且，‎ ‎∴，‎ 由正弦定理得，‎ ‎∴；‎ ‎(2)∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴.‎ ‎19.如图，已知四棱锥，底面四边形为正方形，，M，N分别是线段、的中点.‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求异面直线MN与BC所成角的大小.‎ 解：（1）如图所示，连接，在中，分别是的中点，‎ 所以是三角形的中位线，所以，‎ 又由平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）由（1）知，可得异面直线与所成的角即为直线与所成的角，即是异面直线与所成角，‎ 因为四边形是正方形，所以，‎ 即异面直线与所成的角为.‎ ‎20.已知的内角的对边分别为，且.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.‎ 解：（Ⅰ）由得 再由正弦定理得 因此，‎ 又因为，所以.‎ ‎（Ⅱ）当时，的周长有最大值，且最大值为3，‎ 理由如下：‎ 由正弦定理得，‎ 所以，‎ 所以.‎ 因，所以，‎ 所以当即时，取到最大值2，‎ 所以的周长有最大值，最大值为3.‎ ‎21.投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设表示前n年的纯利润总和（前年总收入-前年的总支出 -投资额72万元）‎ ‎（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？‎ ‎（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值.‎ 解：(Ⅰ)依题意前年总收入- 前年的总支出- 投资额72万元,可得 由得,解得 由于,所以从第3年开始盈利. ‎ ‎(Ⅱ)年平均利润 当且仅当,即时等号成立 ‎ 即第6年, 投资商平均年平均纯利润最大,最大值为16万元 ‎22.设数列前项和为，，且1，，成等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）求数列的前项和为 解：（1）因为1，，成等差数列，‎ 所以，①；‎ 所以，②；‎ ‎①减②得：‎ 所以，‎ 又，‎ 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以 ‎（2）‎ 所以③‎ ‎④‎ ‎③减④得：‎ 所以